最大流最小割经典例题_hiho 第116周,最大流最小割定理,求最小割集S,T
小Hi:在上一周的Hiho一下中我们初步讲解了网络流的概念以及常规解法,小Ho你还记得内容么?
小Ho:我记得!网络流就是给定了一张图G=(V,E),以及源点s和汇点t。每一条边e(u,v)具有容量c(u,v)。网络流的最大流问题求解的就是从s到t最多能有多少流量。
小Hi:那这个问题解决办法呢?
小Ho:解决网络流的基本思路就是寻找增广路,不断更新残留网络。直到找不到新的增广路,此时得到的流就是该网络的最大流。
小Hi:没错,看来你记得很牢嘛。
小Ho:哎嘿嘿,不过这里我有一个问题,为什么找不到增广路时就已经找到了最大流呢?
小Hi:这一次我就来解决你的疑惑,首先我们要从网络流的割开始讲起。
对于一个网络流图G=(V,E),其割的定义为一种点的划分方式:将所有的点划分为S和T=V-S两个部分,其中源点s∈S,汇点t∈T。
对于一个割(S,T),我们定义净流f(S,T)表示穿过割(S,T)的流量之和,即:
f(S,T) = Σf(u,v) | u∈S,v∈T
举个例子(该例子选自算法导论):
净流f = f(2,4)+f(3,4)+f(3,5) = 12+(-4)+11 = 19
同时我们定义割的容量C(S,T)为所有从S到T的边容量之和,即:
C(S,T) = Σc(u,v) | u∈S,v∈T
同样在上面的例子中,其割的容量为:
c(2,4)+c(3,5)=12+11=23
小Ho:也就是说在计算割(S,T)的净流f(S,T)时可能存在反向的流使得f(u,v)<0,而容量C(S,T)一定是非负数。
小Hi:你这么说也没错。实际上对于任意一个割的净流f(S,T)总是和网络流的流量f相等。比如上面例子中我们改变一下割的方式:
可以计算出对于这两种情况净流f(S,T)仍然等于19。
一个直观的解释是:根据网络流的定义,只有源点s会产生流量,汇点t会接收流量。因此任意非s和t的点u,其净流量一定为0,也即是Σ(f(u,v))=0。而源点s的流量最终都会通过割(S,T)的边到达汇点t,所以网络流的流f等于割的静流f(S,T)。
严格的证明如下:
f(S,T) = f(S,V) - f(S,S)
从S到T的流等于从S到所有节点的流减去从S到S内部节点的流
f(S,T) = f(S,V)
由于S内部的节点之间存在的流一定有对应的反向流,因此f(S,S)=0
f(S,T) = f(s,V) + f(S-s,V)
再将S集合分成源点s和其他属于S的节点
f(S,T) = f(s,V)
由于除了源点s以外其他节点不会产生流,因此f(S-s,V)=0
f(S,T) = f(s,V) = f
所以f(S,T)等于从源点s出来的流,也就是网络的流f。
小Ho:简单理解的话,也就是说任意一个割的净流f(S,T)都等于当前网络的流量f。
小Hi:是这样的。而对于任意一个割的净流f(S,T)一定是小于等于割的容量C(S,T)。那也即是,对于网络的任意一个流f一定是小于等于任意一个割的容量C(S,T)。
而在所有可能的割中,存在一个容量最小的割,我们称其为最小割。
这个最小割限制了一个网络的流f上界,所以有:
对于任一个网络流图来说,其最大流一定是小于等于最小割的。
小Ho:但是这和增广路又有什么关系呢?
小Hi:接下来就是重点了。利用上面讲的知识,我们可以推出一个最大流最小割定理:
对于一个网络流图G=(V,E),其中有源点s和汇点t,那么下面三个条件是等价的:
1. 流f是图G的最大流
2. 残留网络Gf不存在增广路
3. 对于G的某一个割(S,T),此时f = C(S,T)
首先证明1 => 2:
我们利用反证法,假设流f是图G的最大流,但是残留网络中还存在有增广路p,其流量为fp。则我们有流f'=f+fp>f。这与f是最大流产生矛盾。
接着证明2 => 3:
假设残留网络Gf不存在增广路,所以在残留网络Gf中不存在路径从s到达t。我们定义S集合为:当前残留网络中s能够到达的点。同时定义T=V-S。
此时(S,T)构成一个割(S,T)。且对于任意的u∈S,v∈T,有f(u,v)=c(u,v)。若f(u,v)0,s可以到达v,与v属于T矛盾。
因此有f(S,T)=Σf(u,v)=Σc(u,v)=C(S,T)。
最后证明3 => 1:
由于f的上界为最小割,当f到达割的容量时,显然就已经到达最大值,因此f为最大流。
这样就说明了为什么找不到增广路时,所求得的一定是最大流。
小Ho:原来是这样,我明白了。
输入
第1行:2个正整数N,M。2≤N≤500,1≤M≤20,000。
第2..M+1行:每行3个整数u,v,c(u,v),表示一条边(u,v)及其容量c(u,v)。1≤u,v≤N,0≤c(u,v)≤100。
给定的图中默认源点为1,汇点为N。可能有重复的边。
输出
第1行:2个整数A B,A表示最小割的容量,B表示给定图G最小割S集合的点数。
第2行:B个空格隔开的整数,表示S集合的点编号。
若存在多个最小割可以输出任意一个的解。
#include
using namespacestd;#define maxn 505
#define INF 0x3f3f3f3f
structEdge
{int from,to,cap,flow;
};structDinic
{intn,m,s,t;
vectoredge;
vectorG[maxn];boolvis[maxn];intd[maxn];intcur[maxn];void addEdge (int from,int to,intcap)
{
edge.push_back((Edge){from,to,cap,0});
edge.push_back((Edge){to,from,0,0});
m=edge.size();
G[from].push_back(m-2);
G[to].push_back(m-1);
}boolBFS()
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
queueQ;
Q.push(s);
d[s]= 0;
vis[s]= 1;while(!Q.empty())
{int x =Q.front();
Q.pop();for(int i=0; i
{
Edge& e =edge[G[x][i]];if(!vis[e.to]&&e.cap>e.flow)
{
vis[e.to]= 1;
d[e.to]= d[x] + 1;
Q.push(e.to);
}
}
}returnvis[t];
}int DFS(int x,inta)
{if(x==t||a==0) returna;int flow = 0,f;for(int & i = cur[x]; i
{
Edge& e =edge[G[x][i]];if(d[x] + 1==d[e.to]&&(f=DFS(e.to,min(a,e.cap-e.flow)))>0)
{
e.flow+=f;
edge[G[x][i]^1].flow -=f;
flow+=f;
a-=f;if(a==0) break;
}
}returnflow;
}int Maxflow (int s,intt) {this->s = s;this->t =t;int flow = 0;while(BFS()) {
memset(cur,0,sizeof(cur));
flow+=DFS(s,INF);
}returnflow;
}//求最小割S,T;
void new_BFS(int s,intn)
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
d[s]= 0;
vis[s]= 1;
queueQ;
Q.push(s);while(!Q.empty())
{int u =Q.front();
Q.pop();for(int i=0;i
{
Edge& e =edge[G[u][i]];if(!vis[e.to]&&e.cap>e.flow)
{
vis[e.to]= 1;
d[e.to]= d[u] + 1;
Q.push(e.to);
}
}
}int cnt = 0;for(int i=1;i<=n;i++)
{if(vis[i]) cnt++;
}
printf("%d\n",cnt);for(int i=1;i<=n;i++)if(vis[i]) printf("%d",i);
puts("");
}
}sol;intmain()
{intn,m;
scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=0;i
scanf("%d%d%d",&u,&v,&cap);
sol.addEdge(u,v,cap);
}
printf("%d",sol.Maxflow(1,n));
sol.new_BFS(1,n);return 0;
}
View Code
我的理解:
首先一个任意的净流f(s,t)都等于当前网络的流量f.
割的容量C(s,t),为所有从s到t的边容量之和。就有c(s,t)>=f(s,t),那么改变割的定义就会产生一个最小割。
而这个最小割限制了整个网络的流f的上界,所以有:
最大流=最小割。
然后就是求最小割集:
Dinic算法,不停分层,按层增广。求的最大流最小割。
然后就是求最小割集,一遍分层,标记分割s,t;
最大流最小割经典例题_hiho 第116周,最大流最小割定理,求最小割集S,T相关推荐
- 最大流最小割经典例题_C/C++知识点之最大流最小割C++实现
using namespace std; const int MAX=100; const int inf=1<<30; queueQ; int ShortestAugmentingPat ...
- 复合函数求导经典例题_【2017年整理】多元函数求导经典例题.ppt
[2017年整理]多元函数求导经典例题 多元函数习题课;一 学习要求;(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要和充分条件,了解全微分形式不变性;;偏导数的应用;二.主要内容; ...
- 最大流最小割经典例题_最大流, 最小割问题及算法实现
本博客采用创作共用版权协议, 要求署名.非商业用途和保持一致. 转载本博客文章必须也遵循署名-非商业用途-保持一致的创作共用协议. 由于博文中包含一些LaTex格式数学公式, 在简书中显示不好, 所以 ...
- 最大流最小割经典例题_算法: 最大流与最小割
什么是最大流 最大流要解决的问题是从 S 到 T 怎么才能最大地将数据运到另一边.这个"数据"可以是水,或者网络数据包.举个例子 在上面这个图中将数据从 S 运到 T,其中边的权值 ...
- mysql经典例题50道52
mysql经典例题50道52 初学mysql写了50道例题 初学mysql写了50道例题 建表:create table Student(SId varchar(10),Sname varchar(1 ...
- ヾ(o◕∀◕)ノヾ各种动态规划经典例题(新手向、多类型)
ヾ(o◕∀◕)ノヾ各种动态规划经典例题(新手向.多类型) 一.前言 ヾ(・ω・`。)我把比较常见的类型的动态规划找了一些经典的例题,适合作为新手的入门例题,用于帮助我们对各种不同的动态规划有所了解,很 ...
- [二分查找] 二:二分查找的经典例题
1.何时应该会使用二分查找 当题目中出现有序数组时 当时间复杂度要求为log(n)时 搜索范围可以一次缩小一半时 2. 经典例题1 给定一个排序数组和一个目标值,在数组中找到目标值,并返回其索引.如果 ...
- 双指针算法(三):力扣【167.两数之和 | 经典例题
本文将讲述双指针算法的一个经典例题,167.两数之和 [题目描述] 给定一个已按照 升序排列 的整数数组 numbers ,请你从数组中找出两个数满足相加之和等于目标数 target . 函数应该以长 ...
- c语言 异或_C语言经典例题来袭!5大方法告诉你答案
各位,今天我们来看一个C语言的经典例题,因为最近有不少人后台问的问题都跟这个或多或少有点关系,所以今天咱们拿出来对这类问题进行一个总结,话不多说,就问下面的代码会输出什么? #include 意图很明 ...
- 华为杯数学建模优秀论文_数学建模经典例题(2011年国赛A题与优秀论文)
数学建模经典例题 (更多往期经典例题可点击文章最后相关推荐哦) 试题中的附件1.2和3请点击"阅读原文"查看 相关推荐数学建模经典例题(2000年国赛A题与优秀论文)数学建模经典例 ...
最新文章
- IDC报告:谁是桌面虚拟化的王者
- redis mysql主从延迟_MySQL主从延迟问题解决
- 线程同步:Condition
- 4.2.1 磁盘的结构
- 一种 Android 应用内全局获取 Context 实例的装置
- 电脑下面的任务栏怎么取消隐藏_电脑桌面右下方任务栏的小图标如何隐藏
- cocos2dx 3.0 windows平台 中文乱码解决
- 【转】extern “C“和__declspec(dllexport)以及__declspec(dllimport) 和def的简单解析
- iCloud怎么协同作业文? iCloud怎么协同编辑文档?
- Vue 单文件中的数据传递
- 延迟任务调度系统—技术选型与设计(上篇)
- [文艺节目/礼仪大赛策划方案]图:选手出场时?如何用Flash透明渲染PPT?展示排行榜时如何使用PPT及Flash渲染?
- bwlabel函数和regionprops函数用法详解
- 悼念《人月神话》作者 Fred Brooks
- php红包现金,php实现微信支付之现金红包
- 本地JAVA开发页面使用AzureAD(AAD)验证登录
- 原奶周期与伊利、蒙牛的兼并战争
- 剑指offer 手刷python 汇总整理版本~
- Google analytics是什么,有什么作用
- 关于智能语音机器人使用中可能出现的问题