无标度网络的生成模型

1999 年 Barabási 和 Albert 提出了无标度网络模型（简称 BA 模型）。无标度网络的重要特征为：无标度网络的节点度分布服从幂律分布。

无标度网络的度分布 p(d)p(d)p(d) 满足p(d)∼d−α，p(d)\sim d^{-\alpha}，p(d)∼d−α，其中 ddd 代表度的大小， α\alphaα 为度分布的幂律指数。真实网络 α\alphaα 值一般介于 2~3之间。

近年来越来越多的研究表明，真实世界网络既不是规则网络，也不是随机网络，而是兼具小世界和无标度特性的复杂网络，具有与规则网络和随机网络截然不同的统计特性。

本文采用的无标度网络生成模型是由 Barabási 和 Albert 于 1999 年提出的增长网络网络模型（BA 模型）。在该模型中，网络初始时具有 m0m_0m0 个节点，两两互连。之后每过一个时间单位增加一个新节点。新节点从当前网络中选择m(m≤m0)m(m ≤ m_0)m(m≤m0) 个节点与之连接，某节点 viv_ivi 被选中的概率 p(vi)p(v_i)p(vi) 与其节点度 did_idi 的大小成正比，即p(vi)=di∑jdjp(v_i) = \frac{d_i}{\sum_j d_j}p(vi)=∑jdjdi经过 t 个时间单位后，网络中含有 m0+tm_0+tm0+t 个节点，m0(m0−1)/2+mtm_0(m_0-1)/2+mtm0(m0−1)/2+mt条边。可以证明当 t 足够大时，按此规律增长的网络的度分布为幂指数等于 3 的幂律分布。

依据新节点的连接规律，建立节点度演化的动力学模型：

其中最后一个等式在 ttt 足够大时近似成立。将节点 iii 加入网络的时间记为 tit_iti，
则有初始条件 di(ti)=md_i(t_i) = mdi(ti)=m。解得

在 ttt 足够大，对任意节点 iii，其度的大小满足

其中第三个等式成立的原因是加入节点的时间是等间隔的。上式正是网络节点度的概率分布函数，可以求出节点度的概率密度函数 p(d)p(d)p(d) 为

可知所生成网络的幂律分布的指数为 3。下面的matlab程序模拟了BA网络的演化过程：

function scale_free(N,m0,m)
%
%param  N: num of vertices 期望节点数
%param m0: num of initial vertices 初始边数
%param  m: num of vertices a new node try to connect 新节点连接的边数
%
tic;I = 2 ;    %生成的网络个数，只为统计需要realization_of_distribution = sparse( I , N ) ;
for J = 1 : I   format long;%初始化邻接矩阵，前m0个节点两两互连adjacent_matrix = sparse( m0 , m0 ) ;   parfor i = 1 : m0for j = 1 : m0if j ~= iadjacent_matrix( i , j ) = 1 ;endendendadjacent_matrix = sparse( adjacent_matrix ) ;  % 计算当前节点度分布node_degree = sparse( 1 , m0 ) ; for p = 1 : m0node_degree( p ) = sum( adjacent_matrix( 1 : m0 , p ) ) ;end% 开始演化for iteration = m0 + 1 : Ntotal_degree = 2 * m * ( iteration - m0 -1 ) + m0*(m0-1) ; % m*2degree_frequency = node_degree / total_degree ;  cum_distribution = cumsum( degree_frequency ) ;  choose = zeros( 1 , m ) ;  for new_edge = 1:mr = rand(1) ;   choose_edge = find( cum_distribution >= r ,1) ;while any(choose == choose_edge)r = rand(1) ;choose_edge = find(  cum_distribution >= r,1) ;endchoose(new_edge) = choose_edge;endfor k = 1 : madjacent_matrix( iteration , choose(k) ) = 1 ;adjacent_matrix( choose(k) , iteration ) = 1 ;endfor p = 1 : iterationnode_degree(p) = sum( adjacent_matrix( 1 : iteration , p ) ) ;  endend  number_of_nodes_with_equal_degree = zeros( 1 , N ) ;   parfor i = 1 : Nnumber_of_nodes_with_equal_degree(i) = length( find( node_degree == i ) ) ;  endrealization_of_distribution( J , : ) = number_of_nodes_with_equal_degree ;save(['adj_',num2str(J)],'adjacent_matrix');
end  %{
%plot degree distribution 在双对数坐标下画图average = sum( realization_of_distribution )/ ( I * N );
loglog( 1:N , average , '*' )
axis([1 N 0.0000001 0.9])
hold on;
x = 1:N;
y = 2 * m^2 * x .^ ( -3 ) ;
loglog( x , y , 'r' ) ;  %  p(k)=2*m^2*k^(-3)%}
toc;end

人工生成网络的概率质量函数（网络节点数 NNN 分别为 50、 100、 200、 400）

图中直线为理论结果： p(d)=2m2d3p(d)=2\frac{m^2}{d^3}p(d)=2d3m2。

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