频谱感知2：衰落信道上未知信号的能量检测

本文主要内容摘自下面文献:
[1] Fadel F. Digham (2007). “On the Energy Detection of Unknown Signals Over Fading Channels.” IEEE TRANSACTIONS ON COMMUNICATION 55(1): 4.
[2] H.Urkowitz (1967). “Energy Detection of Unknown Deterministic Signals.” Proceedings of the IEEE 55(4): 9.【参见博文《合作频谱感知：未知确定信号的能量检测》】
[3] Zhi Quan, S. C., and Ali H. Sayed (2008). “Optimal Linear Cooperation for Spectrum Sensing in Cognitive Radio Networks.” IEEE JOURNAL OF SELECTED TOPICS IN SIGNAL PROCESSING, 2(1): 13.
[4] 博文《卡方分布》

文章目录

1、系统模型
2、AWGN信道上的检测概率与虚警概率

1、系统模型

Urkowitz (1967)一文中，分别讨论了低通和带通两种情况。这里主要集中讨论带通情况。设发送的低通信号为SLP(t)=sc(t)+jss(t)S_{\rm LP}(t)=s_c(t)+js_s(t)SLP(t)=sc(t)+jss(t)，信道为h=αejθh=\alpha e^{j\theta}h=αejθ，则带通接收信号为
r(t)={R{[hsLP(t)+nLP(t)]ej2πfct}:H1R{nLP(t)ej2πfct}:H0(1)\tag{1} r(t)={\Large\{ }\begin{aligned} {\mathcal R}\{[hs_{\rm LP}(t)+n_{\rm LP}(t)]e^{j2\pi f_ct}\}:\mathcal H_1\\ {\mathcal R}\{n_{\rm LP}(t)e^{j2\pi f_ct}\}:\mathcal H_0 \end{aligned} r(t)={R{[hsLP(t)+nLP(t)]ej2πfct}:H1R{nLP(t)ej2πfct}:H0(1)其中nLP=nc(t)+jns(t)n_{\rm LP}=n_c(t)+jn_s(t)nLP=nc(t)+jns(t)为等效低通噪声。此时定义信噪比为γ=α2EsN0\gamma =\frac{\alpha^2 E_s}{N_0}γ=N0α2Es。
根据Urkowitz (1967)，我们可以得到判决变量为
r=2N0∫0Tr2(t)dt.(2)\tag{2} r=\frac{2}{N_0}\int_{0}^{T}r^2(t)dt. r=N02∫0Tr2(t)dt.(2)下面我们分别针对H0\mathcal H_0H0和H1\mathcal H_1H1进行推导。

H0\mathcal H_0H0
带通噪声可以表示为
n(t)=nc(t)cos⁡(2πfct)−ns(t)sin⁡(2πfct),n(t)=n_c(t)\cos(2\pi f_ct)-n_s(t)\sin(2\pi f_ct), n(t)=nc(t)cos(2πfct)−ns(t)sin(2πfct),因此，判决变量为
r=2N0∫0Tn2(t)dt=1N0∫0T[nc2(t)+ns2(t)]dt\begin{aligned} r&=\frac{2}{N_0}\int_{0}^{T}n^2(t)dt\\ &=\frac{1}{N_0}\int_{0}^{T}\left[ n_c^2(t)+n_s^2(t)\right]dt\\ \end{aligned} r=N02∫0Tn2(t)dt=N01∫0T[nc2(t)+ns2(t)]dt进一步，我们把nc(t)n_c(t)nc(t)和ns(t)n_s(t)ns(t)分别用有限个抽样样值表示，注意这时的抽样速率为WWW而非2W2W2W，若N=2WTN=2WTN=2WT，则有nc(t)=∑i=1N/2ncisinc(Wt−i)ns(t)=∑i=1N/2nsisinc(Wt−i),\begin{aligned} n_c(t)&=\sum_{i=1}^{N/2}n_{ci}{\rm sinc}\left(Wt-i \right)\\ n_s(t)&=\sum_{i=1}^{N/2}n_{si}{\rm sinc}\left(Wt-i \right), \end{aligned} nc(t)ns(t)=i=1∑N/2ncisinc(Wt−i)=i=1∑N/2nsisinc(Wt−i),利用sinc函数的性质，我们可以得到

r=1N0W∑i=1N/2[nci2+nsi2]=∑i=1N/2[(nciN0W)2+(nsiN0W)2]r=\frac{1}{N_0W}\sum_{i=1}^{N/2}\left[ n_{ci}^2+n_{si}^2\right]=\sum_{i=1}^{N/2}\left[ \left(\frac{n_{ci}}{\sqrt{N_0W}}\right)^2+\left(\frac{n_{si}}{\sqrt{N_0W}}\right)^2\right] r=N0W1i=1∑N/2[nci2+nsi2]=i=1∑N/2[(N0Wnci)2+(N0Wnsi)2]满足中心χ2\chi^2χ2分布，自由度为2TW2TW2TW。

H1\mathcal H_1H1
低通等效信号为
sLP(t)=sc(t)+jss(t),s_{\rm LP}(t)=s_c(t)+js_s(t), sLP(t)=sc(t)+jss(t),等效低通信道为hLP=αc+jαsh_{\rm LP}=\alpha_c+j\alpha_shLP=αc+jαs，则经过衰落信道后的低通等效接收信号（不含噪声）为
sLP′(t)=αcsc(t)+jαcss(t)+jαssc(t)−αsss(t),s'_{\rm LP}(t)=\alpha_cs_c(t)+j\alpha_c s_s(t)+j\alpha_s s_c(t)-\alpha_ss_s(t), sLP′(t)=αcsc(t)+jαcss(t)+jαssc(t)−αsss(t),则带通信号可以表示为
s′(t)=R[sLP′(t)ej2πfct]=[αcsc(t)−αsss(t)]cos⁡(2πfct)−[αcss(t)+αssc(t)]sin⁡(2πfct)\begin{aligned} s'(t)&={\mathcal R}\left[ s'_{\rm LP}(t)e^{j2\pi f_ct} \right]\\ &=\left[ \alpha_cs_c(t)-\alpha_ss_s(t)\right]\cos(2\pi f_ct)-\left[\alpha_c s_s(t)+\alpha_s s_c(t)\right]\sin(2\pi f_ct)\\ \end{aligned}s′(t)=R[sLP′(t)ej2πfct]=[αcsc(t)−αsss(t)]cos(2πfct)−[αcss(t)+αssc(t)]sin(2πfct)由此，可以得到接收信号为
r(t)=[αcsc(t)−αsss(t)+nc(t)]cos⁡(2πfct)−[αcss(t)+αssc(t)+ns(t)]sin⁡(2πfct)=rc(t)cos⁡(2πfct)−rs(t)sin⁡(2πfct)\begin{aligned} r(t)&=\left[ \alpha_cs_c(t)-\alpha_ss_s(t)+n_c(t)\right]\cos(2\pi f_ct)-\left[\alpha_c s_s(t)+\alpha_s s_c(t)+n_s(t)\right]\sin(2\pi f_ct)\\ &=r_c(t)\cos(2\pi f_ct)-r_s(t)\sin(2\pi f_ct) \end{aligned} r(t)=[αcsc(t)−αsss(t)+nc(t)]cos(2πfct)−[αcss(t)+αssc(t)+ns(t)]sin(2πfct)=rc(t)cos(2πfct)−rs(t)sin(2πfct)同理，可以用抽样样值表示
rc(t)=∑i=1N/2[αcsci−αsssi+nci]sinc(Wt−i)rs(t)=∑i=1N/2[αcssi+αssci+nsi]sinc(Wt−i),\begin{aligned} r_c(t)&=\sum_{i=1}^{N/2}[\alpha_c s_{ci}-\alpha_s s_{si}+n_{ci}]{\rm sinc}\left(Wt-i \right)\\ r_s(t)&=\sum_{i=1}^{N/2}[\alpha_c s_{si}+\alpha_s s_{ci}+n_{si}]{\rm sinc}\left(Wt-i \right), \end{aligned} rc(t)rs(t)=i=1∑N/2[αcsci−αsssi+nci]sinc(Wt−i)=i=1∑N/2[αcssi+αssci+nsi]sinc(Wt−i),由此，我们可以得到
r=2N0∫0Tr2(t)dt=1N0∫0T[rc2(t)+rs2(t)]dt,(2)\tag{2} \begin{aligned} r=&\frac{2}{N_0}\int_{0}^{T}r^2(t)dt\\ &=\frac{1}{N_0}\int_{0}^{T}\left[ r_c^{2}(t)+r_s^{2}(t)\right]dt\\ \end{aligned}, r=N02∫0Tr2(t)dt=N01∫0T[rc2(t)+rs2(t)]dt,(2)即

H1:r=1N0W[∑i=1N/2(αcsci−αsssi+nci)2+∑i=1N/2(αcssi+αssci+nsi)2]=∑i=1N/2(αcsci−αsssi+nciN0W)2+∑i=1N/2(αcssi+αssci+nsiN0W)2\begin{aligned} \mathcal H_1:\qquad r&=\frac{1}{N_0W}\left[ \sum_{i=1}^{N/2}(\alpha_c s_{ci}-\alpha_s s_{si}+n_{ci})^2+\sum_{i=1}^{N/2}(\alpha_c s_{si}+\alpha_s s_{ci}+n_{si})^2\right]\\ &=\sum_{i=1}^{N/2}\left(\frac{\alpha_c s_{ci}-\alpha_s s_{si}+n_{ci}}{\sqrt{N_0W}}\right)^2+\sum_{i=1}^{N/2}\left(\frac{\alpha_c s_{si}+\alpha_s s_{ci}+n_{si}}{\sqrt{N_0W}}\right)^2 \end{aligned}H1:r=N0W1⎣⎡i=1∑N/2(αcsci−αsssi+nci)2+i=1∑N/2(αcssi+αssci+nsi)2⎦⎤=i=1∑N/2(N0Wαcsci−αsssi+nci)2+i=1∑N/2(N0Wαcssi+αssci+nsi)2满足非中心χ2\chi^2χ2分布，方差σ2=1\sigma^2=1σ2=1，非中心参数为μ=2γ\mu=2\gammaμ=2γ，γ=α2EsN0\gamma=\frac{\alpha^2 E_s}{N_0}γ=N0α2Es。

我们来推导下非中心参数：
μ=∑i=1N/2(αc2sci2N0W+αs2ssi2N0W)+∑i=1N/2(αc2ssi2N0W+αs2sci2N0W)=αc2N0∑i=1N/2sci2W+αs2N0∑i=1N/2ssi2W+αc2N0∑i=1N/2ssi2W+αs2N0∑i=1N/2sci2W=2α2EsN0\begin{aligned} \mu&=\sum_{i=1}^{N/2}\left(\frac{\alpha_c^2 s^2_{ci}}{{N_0W}}+\frac{\alpha_s^2 s^2_{si}}{{N_0W}}\right)+\sum_{i=1}^{N/2}\left(\frac{\alpha_c^2 s^2_{si}}{{N_0W}}+\frac{\alpha_s^2 s^2_{ci}}{{N_0W}}\right)\\ &=\frac{\alpha_c^2}{N_0} \sum_{i=1}^{N/2}\frac{s^2_{ci}}{{W}}+\frac{\alpha_s^2}{N_0} \sum_{i=1}^{N/2}\frac{s^2_{si}}{{W}}+\frac{\alpha_c^2}{N_0} \sum_{i=1}^{N/2}\frac{s^2_{si}}{{W}}+\frac{\alpha_s^2}{N_0} \sum_{i=1}^{N/2}\frac{s^2_{ci}}{{W}}\\ &=\frac{2\alpha^2 E_s}{N_0} \end{aligned} μ=i=1∑N/2(N0Wαc2sci2+N0Wαs2ssi2)+i=1∑N/2(N0Wαc2ssi2+N0Wαs2sci2)=N0αc2i=1∑N/2Wsci2+N0αs2i=1∑N/2Wssi2+N0αc2i=1∑N/2Wssi2+N0αs2i=1∑N/2Wsci2=N02α2Es

因此，rrr的概率密度函数可以表示为
pR(r)={rN2−1e−r2σ2σN2N2Γ(N2),H012σ2(rμ)N−24e−μ+r2σ2IN2−1(μrσ2),H1,p_R(r)=\left\{\begin{aligned} &\frac{r^{\frac{N}{2}-1}e^{-\frac{r}{2\sigma^2}}}{\sigma^N2^{\frac{N}{2}}\Gamma(\frac{N}{2})},&\quad {\mathcal H}_0\\ &\frac{1}{2\sigma^2}(\frac{r}{\mu})^{\frac{N-2}{4}}e^{-\frac{\mu+r}{2\sigma^2}}I_{\frac{N}{2}-1}(\frac{\sqrt{\mu r}}{\sigma^2}),&\quad {\mathcal H}_1, \end{aligned}\right. pR(r)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧σN22NΓ(2N)r2N−1e−2σ2r,2σ21(μr)4N−2e−2σ2μ+rI2N−1(σ2μr),H0H1,这里的Iv(⋅)I_v(\cdot)Iv(⋅)为vvv阶第一类修正贝塞尔函数。

2、AWGN信道上的检测概率与虚警概率

为了计算检测与虚警概率，有很多近似方法。下面我们主要讨论高斯分布来近似。我们知道，随着样本数NNN的增大，根据中心极限定理，可以认为rrr的分布接近高斯分布。
我们知道检测变量rrr满足如下分布：
r∼{χN2,H0χN2(μ),H1r\sim \left\{\begin{aligned} \chi_N^2,&\quad \mathcal H_0\\ \chi_N^2(\mu),&\quad \mathcal H_1 \end{aligned} \right. r∼{χN2,χN2(μ),H0H1这里μ=2Esα2N0=2γ\mu=\frac{2E_s\alpha^2}{N_0}=2\gammaμ=N02Esα2=2γ，显然γ\gammaγ为信噪比。

用高斯分布近似卡方分布：
若m=∑i=1Nri2m=\sum_{i=1}^{N}r_i^2m=∑i=1Nri2，其中ri∼N(0,σ2)r_i\sim {\mathcal N}(0,\sigma^2)ri∼N(0,σ2)，显然mσ2\frac{m}{\sigma^2}σ2m为自由度等于NNN的卡方分布。当NNN足够大时，我们可以把卡方分布近似成高斯分布。由于(riσ2)2∼N(0,1)(\frac{r_i}{\sigma^2})^2\sim \mathcal N(0,1)(σ2ri)2∼N(0,1)，因此mσ2\frac{m}{\sigma^2}σ2m的均值为NNN，方差为2N2N2N。将mmm近似为高斯分布，有
m∼N(Nσ2,2Nσ4).m\sim {\mathcal N}(N\sigma^2,2N\sigma^4). m∼N(Nσ2,2Nσ4).
若m=∑i=1Nri2m=\sum_{i=1}^{N}r_i^2m=∑i=1Nri2，其中ri∼N(μ,σ2)r_i\sim {\mathcal N}(\mu,\sigma^2)ri∼N(μ,σ2)，显然mσ2\frac{m}{\sigma^2}σ2m为自由度等于NNN的非中心卡方分布，其均值为N+μN+\muN+μ，方差为2(N+2μ)2(N+2\mu)2(N+2μ)，这里μ\muμ为非中心参数。同样当NNN足够大时，我们将mmm近似为高斯分布，有
m∼N((N+μ)σ2,2(N+2μ)σ4)).m\sim {\mathcal N}\left((N+\mu)\sigma^2,2(N+2\mu)\sigma^4)\right). m∼N((N+μ)σ2,2(N+2μ)σ4)).

当NNN足够大时，我们可以把卡方分布近似成均值为
mr={Nσ2;H0(N+μ)σ2;H1m_r=\left\{ \begin{aligned} N\sigma^2;&\quad H_0\\ (N+\mu)\sigma^2;&\quad H_1 \end{aligned}\right. mr={Nσ2;(N+μ)σ2;H0H1方差为
σr2={2Nσ4;H02(N+2μ)σ4;H1\sigma^2_r=\left\{ \begin{aligned} 2N\sigma^4;&\quad H_0\\ 2(N+2\mu)\sigma^4;&\quad H_1 \end{aligned}\right. σr2={2Nσ4;2(N+2μ)σ4;H0H1
的高斯分布，即r∼N(mr,σr2)r\sim {\mathcal N}(m_r,\sigma^2_r)r∼N(mr,σr2)。
若判决门限设为η\etaη，则检测概率为
Pd=Pr(r>η∣H1)=Q[η−E(r∣H1)Var(r∣H1)],P_d={\rm Pr}(r>\eta|H_1)=Q\left[\frac{\eta-{\rm E}(r|H_1)}{\sqrt{{\rm Var}(r|H_1)}} \right],Pd=Pr(r>η∣H1)=Q[Var(r∣H1)η−E(r∣H1)],虚警概率为
Pf=Pr(r>η∣H0)=Q[η−E(r∣H0)Var(r∣H0)].P_f={\rm Pr}(r>\eta|H_0)=Q\left[\frac{\eta-{\rm E}(r|H_0)}{\sqrt{{\rm Var}(r|H_0)}} \right]. Pf=Pr(r>η∣H0)=Q[Var(r∣H0)η−E(r∣H0)].
显然，不同门限值大小，会影响PdP_dPd与PfP_fPf。此外，我们还有漏检概率为
Pm=1−Pd.P_m=1-P_d. Pm=1−Pd.
图1给出了漏检概率PmP_mPm随虚检概率(PfP_fPf)变化的曲线，这里没有考虑衰落，即α=1\alpha=1α=1。显然，PmP_mPm随着PfP_fPf的增加而减少。我们还可以发现，随着信噪比γ\gammaγ的增大，曲线下面积在减少，因此检测性能变好。
图1 漏检概率(PmP_mPm)与虚检概率(PfP_fPf)关系曲线