关于近十年来N-S方程的研究结果

总结一下近十年关于NS方程的相关研究成果，后面会继续补充。首先将问题分为两大类：1、有界域上的问题 2、无界域上的问题。我们先来看有界域的情况。
1、第一篇（PAN, RONGHUA, ZHANG, WEIZHE. COMPRESSIBLE NAVIER-STOKES EQUATIONS WITH TEMPERATURE DEPENDENT HEAT CONDUCTIVITY[J]. Communications in mathematical sciences,2015,13(2):401-425.）主要证明了当热传导系数依赖于温度时(κ=θb\kappa =\theta^{b}κ=θb), 一维可压缩NS方程强解的整体存在性。
（1）我们来看一下方程的具体形式以及初边值。
{vt−ux=0ut+px=(μuxv)x(e+12u2)t+(pu)x=[(κθx+μuux)v]x(v,u,θ)(x,0)=(v0,u0,θ0)(x)u(0,t)=u(1,t)=0,θx(0,t)=θx(1,t)=0\begin{cases}v_{t}-u_{x}=0&\\ u_{t}+p_{x}=\left( \frac{\mu u_{x}}{v} \right)_{x} &\\ \left( e+\frac{1}{2} u^{2}\right)_{t} +\left( pu\right)_{x} =\left[ \frac{\left( \kappa \theta_{x} +\mu uu_{x}\right) }{v} \right]_{x} &\\ \left( v,u,\theta \right) \left( x,0\right) =\left( v_{0},u_{0},\theta_{0} \right) \left( x\right) &\\ u\left( 0,t\right) =u\left( 1,t\right) =0,\ \theta_{x} \left( 0,t\right) =\theta_{x} \left( 1,t\right) =0&\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧vt−ux=0ut+px=(vμux)x(e+21u2)t+(pu)x=[v(κθx+μuux)]x(v,u,θ)(x,0)=(v0,u0,θ0)(x)u(0,t)=u(1,t)=0, θx(0,t)=θx(1,t)=0
其中状态方程如下：
p=Rθv,e=cvθp=\frac{R\theta }{v} ,\ e=c_{v}\thetap=vRθ, e=cvθ
（2）主要结果如下：
如果初值与边界条件兼容并且满足
(v0,u0,θ0)(x)∈H1×H2×H2,∫01v0(x)dx=M>0,\left( v_{0},u_{0},\theta_{0} \right) \left( x\right) \in H^{1}\times H^{2}\times H^{2},\ \int^{1}_{0} v_{0}\left( x\right) dx=M>0,(v0,u0,θ0)(x)∈H1×H2×H2, ∫01v0(x)dx=M>0,
以及存在v1,v2,θ1,θ2v_{1},v_{2,}\theta_{1} ,\theta_{2}v1,v2,θ1,θ2使得 v1≤v0≤v2,θ1,≤θ0≤θ2v_{1}\leq v_{0}\leq v_{2,}\ \theta_{1} ,\leq \theta_{0} \leq \theta_{2}v1≤v0≤v2, θ1,≤θ0≤θ2成立，那么这个NS方程存在唯一的全局强解，这个解存在于如下的空间：
v∈L∞([0,T];H1(0,1)),u∈L∞([0,T];H2(0,1)),θ∈L∞([0,T];H2(0,1))v\in L^{\infty }\left( \left[ 0,T\right] ;H^{1}\left( 0,1\right) \right) ,u\in L^{\infty }\left( \left[ 0,T\right] ;H^{2}\left( 0,1\right) \right) ,\theta \in L^{\infty }\left( \left[ 0,T\right] ;H^{2}\left( 0,1\right) \right)v∈L∞([0,T];H1(0,1)),u∈L∞([0,T];H2(0,1)),θ∈L∞([0,T];H2(0,1))
并且对于任意的(x,t)∈[0,1]×[0,T]\left( x,t\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,T\right](x,t)∈[0,1]×[0,T], 方程的解具有如下的正则性（直接粘的图片）：

其中C>0C>0C>0 依赖于初值和TTT,并且对于任意有限的TTT, CCC也是有限的。
除此之外如果初值进一步满足如下的条件：
那么方程的解是经典的，对任意固定的T>0T>0T>0, 有
并且经典解也具有上面解的正则性。
(3) 主要证明思路
第一步通过用常规方法得到比容vvv的表达式，并得到它关于空间是一致的。利用所得结果得到θ\thetaθ有一个正的下界。第二步利用所得结果计算(v,u,θ)(v,u,\theta)(v,u,θ)的相关导数的估计(关于时间和空间)。第三步通过对以下两个量的估计
Z(t)=sup⁡0≤t≤T∫01uxx2dx,Y(t)=sup⁡0≤t≤T∫01θ2bθx2dxZ\left( t\right) =\sup_{0\leq t\leq T} \int^{1}_{0} u^{2}_{{}xx}dx,\ Y\left( t\right) =\sup_{0\leq t\leq T} \int^{1}_{0} \theta^{2b} \theta^{2}_{x} dxZ(t)=sup0≤t≤T∫01uxx2dx, Y(t)=sup0≤t≤T∫01θ2bθx2dx
得到θ\thetaθ的下界。第四步利用v,θv,\thetav,θ的一致性(关于空间的)得到解的正则性的估计。
论文中主要利用了holder不等式，cauchy不等式牛顿莱布尼茨公式以及一些巧妙的方法得到了关于解的一些先验估计。

2、第二篇(Huang B , Shi X . Nonlinearly exponential stability of compressible Navier-Stokes system with degenerate heat-conductivity[J]. Journal of Differential Equations, 2020, 268(5):2464-2490.) 在第一篇的基础之上做了两方面的内容：首先将初值条件放宽了，由之前的
(v0,u0,θ0)(x)∈H1×H2×H2\left( v_{0},u_{0},\theta_{0} \right) \left( x\right) \in H^{1}\times H^{2}\times H^{2}(v0,u0,θ0)(x)∈H1×H2×H2变为(v0,θ0)∈H1(0,1),u0∈H01(0,1)\left( v_{0},\theta_{0} \right) \in H^{1}\left( 0,1\right) ,\ u_{0}\in H^{1}_{0}\left( 0,1\right)(v0,θ0)∈H1(0,1), u0∈H01(0,1)。其次研究了解的大时间行为。
(1)主要结果
由于初值条件发生了变化所以方程的解空间以及其正则性也发生了变化。其主要结果如下：

方程解的大时间行为如下：
(2)主要证明以及遇到的困难
论文证明的关键在于得到v,θv, \thetav,θ的一致有界性(不依赖于时间)。与粘性系数和热传导系数为常数的情况相比，论文里的主要困难在于当β>0\beta>0β>0时，热传导系数会出现退化以及非线性的情况。所以为了得到θ\thetaθ的一致有界性需要新的方法。第一步：利用标准的能量估计我们可以得到vvv的一致性(与时间无关)。第二步：证明θ\thetaθ的一致有界性。在这一步遇到一些困难，但是通过观察

我们可以证明θ−1\theta^{-1}θ−1的L∞(0,∞;Lp)L^{\infty }\left( 0,\infty ;L^{p}\right)L∞(0,∞;Lp)范数是有界的，反过来不仅可以证明

还可以得到当β>1\beta >1β>1时，θx\theta_{x}θx的L2((0,1)×(0,T))L^{2}\left( \left( 0,1\right) \times \left( 0,T\right) \right)L2((0,1)×(0,T))范数是有界的。

最后对于β∈(0,1]\beta \in \left( 0,1\right]β∈(0,1]的情况，我们发现，θx\theta_{x}θx的L2((0,1)×(0,T))L^{2}\left( \left( 0,1\right) \times \left( 0,T\right) \right)L2((0,1)×(0,T))范数可以被uxu_{x}ux的L4(0,T;L2(0,1))L^{4}\left( 0,T;L^{2}\left( 0,1\right) \right)L4(0,T;L2(0,1))范数控制。
这里之所以讨论θx\theta_{x}θx的L2((0,1)×(0,T))L^{2}\left( \left( 0,1\right) \times \left( 0,T\right) \right)L2((0,1)×(0,T))范数是因为我们在证明θ\thetaθ的一致有界的时候这是关键的一步。(具体可以去查阅这篇论文。)由于篇幅的问题，其余的就放在下一篇文章中。欢迎大家批评指正！

关于近十年来N-S方程的研究结果相关推荐

近十年的VI-SLAM算法综述与发展（附链接）
本文转载自INDEMIND,作者半不闲居士@CSDN.文章仅用于学术分享. 本文约7000字,建议阅读14分钟本文为作者在从事Slam相关工作中对这几年遇到以及改进过相关VIO算法内容总结. 1.背 ...
近十年的VI-SLAM算法综述与发展
作者:半不闲居士@CSDN(已授权) 编辑:3D视觉开发者社区本文为作者在从事Slam相关工作中对这几年遇到以及改进过相关VIO算法内容总结. 1.背景介绍一个完整的 SLAM(simultane ...
清华姚班陈丹琦获斯隆奖！与去年得主马腾宇是同班同学，博士毕业论文是近十年最热之一...
点击上方"AI遇见机器学习",选择"星标"公众号重磅干货,第一时间送达杨净丰色发自凹非寺量子位 | 公众号 QbitAI 清华姚班大神陈丹琦,刚刚有 ...
里程碑！SpaceX 载人首飞发射成功，马斯克填补美国载人飞行近十年空白
来源:雷锋网作者 | 付静 1 代表着首次,标志着政府与企业持续合作前往国际空间站的开始. 终于,美国太空探索技术公司(SpaceX)的首次正式载人飞行任务拉开大幕! 美东时间 2020 年 11 ...
近十年和近三年智能车竞赛国赛奖项在各赛区的分布分析
今天,杭州电子科技大学戴绍港老师将智能车竞赛近十年和近三年来国赛奖项在各分赛区分布的比例进行统计.通过这些数据为智能车竞赛全国组委会更加科学制定今年竞赛的全国奖项名额提供依据. 01 2009-2 ...
C++ 20 是近十年来影响最大的一个版本，新的特性众多
C++ 20 是近十年来影响最大的一个版本,新的特性众多,包括: 模组(Modules) 协程(Coroutines) 标准库 Concepts 的概念范围(range) constexpr支持:n ...
NLP：自然语言处理技术近十年发展技术更迭的简介、案例之详细攻略(持续更新)
NLP:自然语言处理技术近十年发展技术更迭的简介.案例之详细攻略(持续更新) 目录自然语言处理技术近十年发展技术更迭的简介.案例
「第三篇」全国电子设计竞赛，这些你必须知道的比赛细节，文末附上近十年电赛题目下载...
点击上方"大鱼机器人",选择"置顶/星标公众号" 福利干货,第一时间送达! 0 前言我们先聊聊比赛的形式. 每年都有电子设计竞赛,奇数年是国赛(全国大学生电 ...
微博air客户端_打磨近十年，接近「完美」的 macOS 第三方微博客户端：Maipo
2020年11月13日,macOS Big Sur正式推送当天,Maipo for 微博也迎来了4.0.0大版本更新.从Weibo for Mac(2011年).WeiboX(2014年)到Maipo ...
A股市场统计（营业收入增长率、净利润增长率及净利润比市值近十年的平均数、中位数）
从资产配置的角度讲,投资A股资产报酬率是多少,作为一种长期资产是否有配置价值,本文将从营业收入增长.净利润增长以及估值方面进行探讨,本文衡量资产报酬率的公式为: 资产报酬率=净利润比市值0.31+净利 ...

关于近十年来N-S方程的研究结果

关于近十年来N-S方程的研究结果相关推荐

最新文章

热门文章