第2章阵列信号处理基础

2.6阵列天线的统计模型

2.6.1 前提及假设

接收天线阵：接收阵列由位于空间已知坐标处的无源阵元按一定的形式排列而成。假设阵元的接受特性仅与其位置有关而与其尺寸无关（化为点），并且阵元都是全向阵元，增益均相等，相互之间的互耦忽略不计。阵元接收信号时将产生噪声，假设其为加性高斯白噪声，各阵元上的噪声相互统计独立，且噪声与信号是统计独立的。
空间源信号：假设空间信号的传播介质是均匀且各向同性的，这时空间信号在介质中将按直线传播；同时假设阵列处于空间信号辐射的远场中，所以空间源信号到达阵列时可被看作一束平行的平面波，则空间源信号到达阵列各阵元在时间上的不同时延，可由阵列的几何结构和空间波的来向决定。空间波的来向在三维空间中常用仰角θ\thetaθ和方位角ϕ\phiϕ来表征。
窄带信号：相对于信号的载频而言，信号
包络的带宽很窄。因此，在同一时刻该类信号对阵列各阵元的不同影响仅仅在于因其到达各阵元的波程不同而导致的相位差异。

2.6.2 阵列的基本概念

信号的载波为ejωte^{j\omega t}ejωt，以平面波形式在空间沿波束向量k\pmb{k}kkk的方向传播，设基准点处的信号为s(t)ejωts(t)e^{j\omega t}s(t)ejωt，则距离基准点rrr处的阵元接收的信号为
sr(t)=s(t−1crTα)e[j(ωt−rTk)]s_r(t)=s(t-\frac {1}{c} r^{T} \pmb{\alpha}) e^{[j(\omega t-r^T \pmb{k})]} sr(t)=s(t−c1rTααα)e[j(ωt−rTkkk)]

单位向量α=k/∣k∣\pmb{\alpha}=\pmb{k}/|\pmb{k}|ααα=kkk/∣kkk∣为电磁波传播方向；∣k∣=ω/c=2π/λ|\pmb{k}|=\omega/c=2\pi/\lambda∣kkk∣=ω/c=2π/λ为波数，ccc为光速，λ\lambdaλ为电磁波波长；1crTα\frac {1}{c} r^{T} \pmb{\alpha}c1rTααα为信号相对于基准点的延迟时间；rTkr^T \pmb{k}rTkkk为电磁波传播到rrr处的相对基准点的滞后相位。
θ\thetaθ为相对于xxx轴逆时针旋转方向的电磁波传播方向角，因此波束向量可以表示为k=k[cos⁡θ,sin⁡θ]T\pmb{k}=k[\cos{\theta},\sin{\theta}]^Tkkk=k[cosθ,sinθ]T
电磁波从点辐射源以球面波向外传播，只要离辐射源足够远，在接收的局部区域，球面波就可以近似为平面波。雷达和通信信号的传播一般都满足这一远场条件。
设在空间有MMM个阵元组成阵列，将阵元从1到MMM编号，以阵元1 作为基准或参考点。设各阵元无方向性（全向），相对于基准点的位置向量分别为ri(i=1,⋯,M;r1=0)r_i(i=1,\cdots,M;r_1=0)ri(i=1,⋯,M;r1=0)。若基准点处的接收信号为s(t)ejωts(t)e^{j\omega t}s(t)ejωt，则各阵元上的接收信号分别为
si(t)=s(t−1criTα)e[j(ωt−riTk)]s_i(t)=s(t-\frac {1}{c} r_i^{T} \pmb{\alpha}) e^{[j(\omega t-r_i^T \pmb{k})]} si(t)=s(t−c1riTααα)e[j(ωt−riTkkk)]

在通信中，信号的频带BBB比载波值ω\omegaω小得多，所以s(t)s(t)s(t)的变化相对缓慢，信号包络在各阵元上的差异可忽略，称为窄带信号。
此外，阵列信号总是变换到基带再进行处理，因而可将阵列信号用向量形式表示为
s(t)=[s1(t),s2(t),⋯,sM(t)]T=s(t)[e−jr1Tk,e−jr2Tk,⋯,e−jrMTk]T\pmb{s}(t)=[s_1(t),s_2(t),\cdots,s_M(t)]^T=s(t)[e^{-jr_1^T\pmb{k}},e^{-jr_2^T\pmb{k}},\cdots,e^{-jr_M^T\pmb{k}}]^T sss(t)=[s1(t),s2(t),⋯,sM(t)]T=s(t)[e−jr1Tkkk,e−jr2Tkkk,⋯,e−jrMTkkk]T

上式中的向量部分称为方向向量，因为当波长和阵列的几何结构确定时，该向量只与到达波的空间角向量θ\thetaθ有关，方向向量记作a(θ)\pmb{a}(\theta)aaa(θ)。例如，若选第1个阵元为基准点，则方向向量为
a(θ)=[1,e−jr‾2Tk,⋯,e−jr‾MTk]T\pmb{a}(\theta)=[1,e^{-j\overline{r}_2^T\pmb{k}},\cdots,e^{-j\overline{r}_M^T\pmb{k}}]^T aaa(θ)=[1,e−jr2Tkkk,⋯,e−jrMTkkk]T

式中r‾i=ri−r1(i=2,⋯,M)\overline{r}_i=r_i-r_1(i=2,\cdots,M)ri=ri−r1(i=2,⋯,M)。
当有KKK个信源时，到达波方向向量可分别用a(θ)\pmb{a}(\theta)aaa(θ)表示，这KKK个方向向量组成的矩阵A=[a(θ1),a(θ2),⋯,a(θK)]\pmb{A}=[\pmb{a}(\theta_1),\pmb{a}(\theta_2),\cdots,\pmb{a}(\theta_K)]AAA=[aaa(θ1),aaa(θ2),⋯,aaa(θK)]称为阵列的方向矩阵或相应矩阵，表示所有信源的方向。改变空间角θ\thetaθ，使方向向量a(θ)\pmb{a}(\theta)aaa(θ)在MMM维空间内扫描形成阵列流型，常用A\pmb{A}AAA表示，即A={a(θ)∣θ∈Θ}\pmb{A}=\{\pmb{a}(\theta)|\theta\in\Theta\}AAA={aaa(θ)∣θ∈Θ}，其中Θ=[0,2π)\Theta=[0,2\pi)Θ=[0,2π)。

2.6.3 天线阵模型

X(t)=A(Θ)S(t)+N(t)\pmb{X}(t)=\pmb{A}(\Theta)\pmb{S}(t)+\pmb{N}(t) XXX(t)=AAA(Θ)SSS(t)+NNN(t)

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