“利用Matlab实践关联矩阵与邻接矩阵的转换”

假设网络图G＝(V,E)的顶点集为V={v1，v2，…，vn}，边集为E={e1，e2，…，em}，则该网络图的关联矩阵L就是一个n×m矩阵，其中元素gij表示顶点vi与边ej相关联，而邻接矩阵A是一个n阶方阵，其中元素aij表示连接顶点vi与vj的边。从关联矩阵和邻接矩阵的定义来看，二者均是以矩阵形式表示网络图结构，同一网络图可以有关联矩阵和邻接矩阵的两种表达方式，即可依据其各自定义进行关联矩阵和邻接矩阵的相互转换。通过Matlab进行脚本编码实现无向图与有向图中的关联矩阵和邻接矩阵的转换，进一步熟悉二者矩阵的定义与含义，并掌握用计算机语言操作矩阵运算的编码方法。

首先在无向图中实现关联矩阵和邻接矩阵的转换，定义一个转换函数，通过控制参数实现“关联矩阵->邻接矩阵”与“邻接矩阵->关联矩阵”的转换功能。然后考虑连接边的方向问题，在有向图中同样定义一个转换参数，实现“关联矩阵->邻接矩阵”与“邻接矩阵->关联矩阵”的转换功能。

01

—

无向图中关联矩阵和邻接矩阵的转换函数

在无向图中，由于连接边的无向性，因而对于顶点连接关系与顶点/边关联关系的转换相对较为容易。

“邻接矩阵->关联矩阵”：先由邻接矩阵得出网络图中所有连接边的数量与顶点的数量，然后在邻接矩阵中搜索不为0的元素，即对应某一条连接边，邻接矩阵不为0的某元素aij，对应某条边k的行向量中第i个与第j个元素分别为1。

“关联矩阵->邻接矩阵”：先有关联矩阵获取连接边和顶点的数量，然后依次搜索每一条连接边，如某条边k的行向量中第i个与第j个元素分别为1，说明顶点i与j存在邻接关系，即邻接矩阵的元素aij值为1。代码：function W=incandadf(F,f) %无向图中关联与邻接矩阵的转换if f==0 % 邻接-关联m=sum(sum(F))/2; %在邻接矩阵中计算边的数量n=size(F,1); %节点数量W=zeros(n,m);k=1;for i=1:nfor j=i:nif F(i,j)~=0 %邻接矩阵中元素不为0说明有连接边W(i,k)=1; %给边的起点赋值为1W(j,k)=1; %给边的终点赋值为1k=k+1; %依次定义每一条边endendendelseif f==1 % 关联->邻接m=size(F,2); %在关联矩阵中获取边的数量n=size(F,1); %在关联矩阵中获取顶点的数量W=zeros(n,n);for i=1:ma=find(F(:,i)~=0);%寻找每一条边即每一列对应不为0的两个元素W(a(1),a(2))=1; %存在边，即邻接矩阵对应值为1W(a(2),a(1))=1; %存在边，即邻接矩阵对应值为1endelsedisp("please input the right value of f");endW;

02

—

有向图中关联矩阵和邻接矩阵的转换函数

类似定义一个转换函数mattransf(F,f)，其中，F为输入矩阵，f=0表示F是邻接矩阵，f=1表示F是关联矩阵。

矩阵转换方法基本与无向图中类似，但是在有向图网络中，有以下几个注意问题：

1)有向图的关联矩阵中，列向量代表有向边，值为1 表示起点，值为-1表示终点；

2)无向图的关联矩阵直接对应有向图，则需要用多一倍的列来表示双向边；

3)在实现邻接至关联矩阵转换时，Aij与Aji不一定相等，对应的有向边i->j和j->i需要分别计算和定义；

4)在实现关联至邻接矩阵转换时，需要根据元素值为1或-1判定起点和终点，从而决定是给Aij或Aji赋值为1。代码：function W=mattransf(F,f)%有向图的关联与邻接矩阵的转换if f==0 % 邻接-关联m=sum(sum(F)); %在有向图中计算边的数量，此时Wij!=Wjin=size(F,1); %顶点数量W=zeros(n,m);k=1;for i=1:nfor j=1:nif F(i,j)~=0 %由i出发的有向边，起点W(i,k)=1; %起点赋值为1W(j,k)=-1; %终点赋值为-1k=k+1;endendendelseif f==1 % 关联-邻接m=size(F,2); %边数n=size(F,1); %顶点数W=zeros(n,n);for i=1:ma=find(F(:,i)~=0); %找到有向边的两个顶点if F(a(1),i)==1W(a(1),a(2))=1; %值为1，为起点，a(1)->a(2)elseW(a(2),a(1))=1; %值为-1，为终点，a(2)->a(1)endendelsedisp("please input the right value of f");endW;

03

—

算例无向图中关联矩阵和邻接矩阵的转换

代码：%无向图中邻接矩阵与关联矩阵的转换A=[0 1 1 0 1;1 0 1 0 0;1 1 0 1 1;0 0 1 0 1;1 0 1 1 0];fprintf("原无向图的邻接矩阵为：\n")AW=incandadf(A,0);fprintf("由邻接矩阵转换成关联矩阵为：\n")WL=[1 1 1 0 0 0 0;1 0 0 1 0 0 0;0 1 0 1 1 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 0 0 1 1];fprintf("原无向图的关联矩阵为：\n")LW=incandadf(L,1);fprintf("由关联矩阵转换成邻接矩阵为：\n")W结果：原无向图的邻接矩阵为：A =0     1     1     0     11 0 1 0 01 1 0 1 10 0 1 0 11 0 1 1 0由邻接矩阵转换成关联矩阵为：W =1     1     1     0     0     0     01 0 0 1 0 0 00 1 0 1 1 1 00 0 0 0 1 0 10 0 1 0 0 1 1原无向图的关联矩阵为：L =1     1     1     0     0     0     01 0 0 1 0 0 00 1 0 1 1 1 00 0 0 0 1 0 10 0 1 0 0 1 1由关联矩阵转换成邻接矩阵为：W =0     1     1     0     11 0 1 0 01 1 0 1 10 0 1 0 11 0 1 1 0有向图中关联矩阵和邻接矩阵的转换

代码：A=[0 0 0 0 0;1 0 0 0 0;1 1 0 0 0;0 0 1 0 0;1 0 1 1 0];fprintf("原有向图的邻接矩阵为：\n")AW= mattransf (A,0);fprintf("由邻接矩阵转换成关联矩阵为：\n")WL=[-1 -1 0 0 -1 0 0;1 0 -1 0 0 0 0;0 1 1 -1 0 -1 0;0 0 0 1 0 0 -1;0 0 0 0 1 1 1];fprintf("原有向图的关联矩阵为：\n")LW=mattransf(L,1);fprintf("由关联矩阵转换成邻接矩阵为：\n")W结果：原有向图的邻接矩阵为：A =0     0     0     0     01 0 0 0 01 1 0 0 00 0 1 0 01 0 1 1 0由邻接矩阵转换成关联矩阵为：W =-1    -1     0     0    -1     0     01 0 -1 0 0 0 00 1 1 -1 0 -1 00 0 0 1 0 0 -10 0 0 0 1 1 1原有向图的关联矩阵为：L =-1    -1     0     0    -1     0     01 0 -1 0 0 0 00 1 1 -1 0 -1 00 0 0 1 0 0 -10 0 0 0 1 1 1由关联矩阵转换成邻接矩阵为：W =0     0     0     0     01 0 0 0 01 1 0 0 00 0 1 0 01 0 1 1 0