多项式概率分布（Multinomial probability distribution）和分类分布（categorical distribution）

2024-05-06 14:45:46

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多项式概率分布
分类分布

多项式概率分布

其由二项分布推广而来，从而更加普遍。所以我们先回顾一下二项分布。

二项分布的典型例子是扔硬币，设硬币正面朝上概率为ppp, 重复扔nnn次硬币，记硬币正面朝上的次数为XXX，显然XXX是一个随机变量，且服从二项分布，即X∼B(n,p)X\sim B(n,p)X∼B(n,p)。

把二项分布推广至两种以上的状态，就得到了多项分布。

比如做一次实验，结果有k种可能，各自的概率为(p1,…,pk)(p_1,\ldots ,p_k)(p1,…,pk)，同样，重复做n次实验，记各种状态出现的次数为(X1,…,Xk)(X_1,\ldots ,X_k)(X1,…,Xk)，显然，这些都是随机变量，且服从多项分布，即(X1,…,Xk)∼PN(n：p1,…,pk)(X_1,\ldots ,X_k)\sim PN(n：p_1,\ldots ,p_k)(X1,…,Xk)∼PN(n：p1,…,pk)，显然有关系：X1+…+Xk=nX_1+\ldots +X_k=nX1+…+Xk=n，另外，其中PN即poly nomial的意思，也是多项式的意思。

python实战：

import torch
p=torch.tensor([0.2,0.1,0.7])
torch.multinomial(p,2,replacement=True)#表示进行两次重复实验，各个状态的概率分布是p

我们重复运行两次，得到如下结果：

上面表示第一次得到了0.2概率的那个状态，第二次得到了0.7概率的那个状态。下面这个同样分析。

分类分布

分类分布（categorical distribution）好简单，就是多项式概率分布的特殊情况，即n=1的时候；另外一个观点就是扩展了的两点分布，也即扩展了的伯努利分布。

import torch
p=torch.tensor([0.2,0.1,0.7])
torch.multinomial(p,1,replacement=True)#取n=1就是分类分布。

或者，torch里面有一个专门的分类分布，有兴趣可以看看。

cdis=tdc.Categorical(torch.tensor([0.2,0.1,0.7]))
cdis.sample()

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