2018-4-5 丘成桐---现代几何学与计算机科学---自我总结

CNCC 2017 特邀报告

视频以及PDF课件来源：

音视频详情页

http://dl.ccf.org.cn/audioVideo/detail.html?id=3712087377283072

在下方有相应的PDF的课件

五条几何公理

1.过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。

2.线段(有限直线)可以任意地延长。

3.以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)。

4.凡是直角都相等(角公理)。

5.两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小于两个直角，则两直线作延长时在此侧会相交。

自己的感受：

（1）这五条定理我在小的时候就已经都学过了

（2）今天来看仍然不知道它的伟大，在哪里

对称的概念

几何学能够提供很多重要的想法，可以讲其影响是无所不在的。几何学的很多概念在高能物理和一般的物理学领域都产生重要的影响。其中一个重要的概念叫做“对称”。“对称”的概念是在1820年到1890年间由几个重要的数学家发展出来的。我们中国喜欢讲的阴阳，其实就是一个属于对称。在数学上有一个叫庞加莱对偶的概念，其实就是阴阳，但这个概念要比阴阳具体得多，同时也真正用在了数学的发展上。

平行移动

另外一个很重要的概念，我想是很多做工程的人都没有注意到的，就是平行移动的概念。这个概念影响了整个数学界两千年。平行移动的概念其实就是一点和另外一点要有一个很好的比较的方法；计算机也好，图形学也好，在某一点上看到的事情要和其他点进行比较，比较的方法就叫平行移动。这也是一个很广泛、很重要的概念。现在在计算数学里面还没有大量的引进，但是在物理学界已经被大量地使用上了。所以我期望这些基本的概念以后能在计算机里面大量地使用。

二、几何学与计算机科学的相互影响

仅仅是自己摘抄的几条

（1）现代集合有望用来理解人工智能的黑箱。例如深度学习，生成对抗网络和机器定理证明等

人工智能黑箱：让AI自己解释自己的行为。未来的一天AI可以充当老师的职业吗？？在一个大方向的引导下，可以向着教化学生品德，怎么做人吗？？我觉的有一天AI自己总结该怎么做人，就真的厉害了！！！

文章：AI黑箱怎么破？神经网络算法使机器学习透明化_网易科技
http://tech.163.com/16/1117/08/C62E1JVC00097U80.html

Ai的学习方法被称为批量学习，如果要对AI加入一个新模式或新注解必须从头开始把所有的新旧模式重新教一遍。（就是说AI第是需要追根溯源的才能解释？？）

人工智能黑箱：

人工智能黑箱藏隐忧：如何让AI解释自身行为？_机器人,人工智能,AI,智能制造及工业4.0-中国智能制造网
http://www.gkzhan.com/news/detail/99128.html

（2）社交网络和大数据的发展，催生了持续同调理论的发展

（3）机器学习的发展推动了“最优传输理论”的发展

来源：

科学网—海天讲座（一）最优传输理论 - 顾险峰的博文
http://blog.sciencenet.cn/blog-2472277-950946.html

最优传输映射就是所有保测度的映射中，使得传输代价最小者

查询最优传输理论的过程中又看了一篇顾先生的博文。时间是2016-3-10写的

科学网—奇点降临 - 人工智能对决人类 - 顾险峰的博文

http://blog.sciencenet.cn/blog-2472277-961739.html

三、几何学在计算机科学的应用案例：

图论：

图论_百度百科

https://baike.baidu.com/item/%E5%9B%BE%E8%AE%BA/1433806?fr=aladdin

数据结构中的图：

图论（一）基本概念 - CSDN博客

https://blog.csdn.net/saltriver/article/details/54428685

1、图论

图是有顶点和边组成的，允许重边和过单顶点的圈。通过研究定义在顶点和边上的函数就可以研究图的组合问题。

图，就是一大堆顶点、一大堆边把它们连起来，这是最简单不过的事情。对于一个图，譬如交通图，我们要找出它们有着怎么样一个结构，什么地方比较拥挤。有时候我们也要研究怎么将这个图切成小部分，然后分解成简单的子图；如何衡量各个连通分支间的连接度；如何将图染色等。这些问题实际上都跟图上的特征函数有密切的关系。

图上的特征函数跟光滑图形上的特征函数有很类似的地方。我在40年前跟几个朋友，郑绍远、李伟光，做了一个工作，将光滑黎曼流形的特征函数推广到图上，得到了很好的结果。这些结果可以用来决定图上的连结的生成，研究图上的边创造过程，尤其是有个量的估值来控制在图上发散的过程。约束发散的过程可以应用到许多实际的过程中。我们还研究了图上的薛定谔方程，定义了图上的量子隧道概念。这些概念都是从物理上来的，被借用到图上。

假如我们在考虑有向图，就是每个点、每个边，给它一个方向，我们就可以将拓扑学整个引用到图上去，定义了图上的同调群。同调群可以用来研究图上密切的关系和它的内容。

现在我们来讲讲我们做的关于博弈理论的一个事情。进化图论为表达种群结构提供了数学工具：顶点代表个体，边代表个体的交互作用。图可以用来代表各种具有空间结构的群，例如细菌、动植物、组织结构、多细胞器官和社交网络。在进化过程中，每个个体依据自身的适应程度，进行繁殖病侵占到邻近顶点。图的拓扑反映了基因的演化——变异和选择的平衡。类似的，互联网是一个大网，一个非常复杂的网络，我可以在上面研究它的变化。社交行为的进化可以用进化博弈论来研究。个体和邻居博弈，根据收益而繁殖。个体繁殖速率受到自身与其他个体的交互作用影响，从而产生博弈的动态演化。其中心的问题就在于对于给定的图如何决定哪种策略会取得成功。

我们在今年年初的时候在nature上发了篇文章，我们得到一个结果，就是在任何给定的图上进行弱选择，自然选择从两种彼此竞争的策略中如何进行挑选，这个理论框架适用于人类决策，也适用于任何集群组织的生态演化。

我们从弱选择极限得到的结果，解释了何种组织结构导致何种行为。我们发现，如果存在成对的强纽带结构，合作就会大规模出现。我们用数学证明了社会学方面的一个结论：稳定的伙伴或者伴侣，对于形成合作型的社会起到了骨干作用。

四、

人工智能

目前机器学习算法需要大量的样本。虽然现在比从前进步得多了，但规模还是很庞大。所以我们的想法是，让理论来帮忙处理这种复杂的数据学习。

在机器学习中有很多统计的内容，但是很多内容我们都不是很了解它是如何产生的。所以我们需要用一些比较严格的数学的理论来从这些复杂的现象中抽取出它们的本质。我们今天介绍一下用几何的方法来研究对抗生成网络（GAN）的事情。

机器学习算法中的深度神经网络需要数十亿个参数，需要昂贵的硬件支持和漫长的计算时间，训练难度很大。机器学习算法等价于能量优化。由于规模巨大，无法使用二阶优化，因为一般是用随机梯度下降法。由于深度神经网络层数过深，经常出现梯度消失和梯度爆炸的问题，因此训练过程困难。

目前以神经网络为代表的统计机器学习在工程实践中取得了成功，但是理论基础薄弱，被称为黑箱算法。-------不可解释性

生成对抗网络GAN（Generative Adversarial Networks）其实就是以己之矛克己之盾，在矛盾中发展，使得矛更加锋利，盾更加强韧。这里的盾就被称为判别器（Descriminator），矛被称为生成器（Generator）。生成器G一般是将一个随机变量（例如高斯分布或者均匀分布），通过参数化的概率生成模型（通常是用一个深度神经网进行参数化），进行概率分布的逆变换采样，从而得到一个生成的概率分布。判别器D也通常采用深度卷积神经网络。