一道腾讯面试题：厉害了我的杯

题目描述

有一种玻璃杯质量确定但未知，需要检测。

题目解析

2 个杯子的脆弱程度是一样的
如果杯子从 N 楼扔下来没有碎，那么它从小于 N 楼扔下来，也不会碎
如果杯子从 N 楼扔下来碎了，那么它从大于 N 楼扔下来，也一定会碎
一个扔出去但没有碎的杯子，可以继续被用于试验
碎了的杯子将无法再继续试验。

举个?：

那么问题来了：怎样才能最快速的找到这个楼层？

问题的解决有很多种方案，注意点就是找到的最佳方案是能在各种情况下都能快速地找到目标楼层。

总结一下：我们的终极目的是要找出连续的两层楼 x 与 x + 1 ，在楼层 x 杯子没有摔碎，在楼层 x + 1 杯子碎了，问题的关键之处在于，测试之前，并不知道杯子会在哪一层摔碎，需要找到的是一种测试方案，这种测试方案，无论杯子会在哪层被摔碎，都至多只需要 m 次测试，在所有这些测试方案中， m 的值最小。

弄清题意后下面进行分析，事实上，学习过算法或者程序的人很容易想到这是一个搜索问题，那么完全可以使用二分法。

方案一：二分法

从 50 楼扔下，没碎的话，再扔 75 楼，再没碎我扔 88 楼，依次下去貌似很快就可以锁定楼层。

不过，很不巧，第一次从 50 层楼扔下去就碎了，这个时候就只能从 1 层开始慢慢的的一层一层地扔，如果杯子的质量是刚好在 49 层碎掉的话，那么最差的情况是需要扔 50 次。

方案二：分段查找区间法

核心点：先分区间的扔，再慢慢地一层一层地扔。

举个?：先从第 10 楼扔，再从第 20 楼扔，依次下去，如果到某一层碎掉，比如 60 层碎掉了，我再从 51 楼开始扔，这样比前面的二分法更快，因为即使又很不巧，杯子的质量比较好，在 99 楼才会刚好碎掉。这样的话，在这种最差的情况下，也只需要扔 19 次就能找到目标楼层。

方案三：基于数学方程的方法

事实上，这算是一道趣味问题，可以从数学的角度进行分析。

假设最少尝试次数为 x ，那么，第一个杯子必须要从第 x 层扔下，因为：如果碎了，前面还有 x - 1 层楼可以尝试，如果没碎，后面还有 x-1 次机会。

如果没碎，第一个杯子，第二次就可以从 x +（x - 1）层进行尝试，这里加上 x - 1，是因为当此时，第一个杯子碎了，第二个杯子还有可以从 x + 1 到（ x + (x - 1) - 1 ）层进行尝试，有 x - 2 次机会。
如果还没碎，那第一个杯子，第三次从 x + (x - 1) + (x - 2)层尝试。不管杯子碎或者没碎，都有 x - 3 次尝试机会，依次类推。

那么经过 x 次的尝试可以确定最高的楼层为 x + (x - 1) + (x - 2) + … + 1 = x(x+1) / 2 。

那反过来，当最高楼层是100层，最少需要多少次呢？即 x(x+1)/2 >= 100, 得到 x >= 14 ，最少要尝试 14 次。

方案四：动态规划

先思考上面的 分段查找区间法 ，如果杯子的质量没那么好，在第 19 层就碎了，那么需要扔 11 次，这样比 99 楼刚好碎的情况要少很多次。

那么问题来了：能否无论杯子的质量如何，不管是很好还是很差，都可以快速地找到。

能！

上面的分析都是从杯子的角度出发的，这样想要得到最少的尝试次数，似乎比较难。我们可以换个角度，从每个高度的楼层来看：如果，某个楼层是可以安全落下的，那么最少需要多少次尝试呢？

事实上，这就是一个求最优解的问题了。

而我们编程解决问题的过程中，如果遇到最优问题的时候，往往可以先尝试一下动态规划的方法。

动态规划的一个出发点就是去 找到构成这个最优问题的最优子问题。

我们可以将这样的问题简记为 W(n,k) ，其中 n 代表可用于测试的杯子数，k 代表被测试的楼层数。对于问题 W(2,10)，我们可以如此考虑

将第 1 个杯子，在第 i 层扔下（ i 可以为 1～k 的任意值），如果碎了，则我们需要用第 2 个杯子，解决从第 1 层到第 i-1 层楼的 子问题 W(1,i-1)；
如果这个杯子没碎，则我们需要用这两个杯子，解决从 i+1 层到第 100 层的子问题 W(2,100-i)。

解决这两个问题，可以分别得到一个尝试次数 p 与 q，我们取这两个次数中的较大者(假设是 p )，将 p 与第 1 次在 i 层执行测试的这一次相加，则 p+1 就是第一次将杯子扔在 i 层来解决 W(2，100) 所需的最少测试次数，将其表示为ti。

对于这 100 层楼的问题，第一次，我们可以把杯子扔在 100 层中的任何一层，所以可以得到 100 中解决方案的测试次数 T{t1,t2,t3,……,t100} ，在这些结果中，我们选取最小的 ti，使得对于集合 T 中任意的值 tj(1 <= j <= 100,j != i)，都有ti <= tj，则 ti 就是这个问题的答案。

用公式来描述就是：

W(n, k) = 1 + min{max(W(n -1, x -1), W(n, k - x))}, x in {2, 3, ……，k}

其中x是第一次的测试的楼层位置

其中W(1,k) = k（相当于 1 个杯子测试 k 层楼问题），W(0,k) = 0，W(n, 0) = 0

所以在计算 W(2,100) 之前，我们需先计算出所有 W(1,0) ,……, W(1,100) , W(2,0),……,W(2,99)这些的值。

使用递推的方法实现，代码如下：

 unsigned int DroppingCups(unsigned int cups, unsigned int floors){unsigned int i, j, k, t, max;unsigned int temp[cups + 1][floors + 1];for(i = 0; i &lt; floors + 1; ++i){temp[0][i] = 0;temp[1][i] = i;}for(i = 2; i &lt; cups + 1; ++i){temp[i][0] = 0;temp[i][1] = 1;}for(i = 2; i &lt; cups + 1; ++i){for(j = 2; j &lt; floors + 1; ++j){for(k = 1, max = UINT_MAX; k &lt; j; ++k){t = temp[i][j - k] &gt; temp[i - 1][k -1] ?  temp[i][j - k] : temp[i - 1][k -1];if(max &gt; t){max = t;}}temp[i][j] = max + 1;}}return temp[cups][floors];}

未完待续

这个问题实际上能延伸下去进行研究，比如进阶版：假设 f{n,m} 表示n层楼、m个杯子时找到最高楼层的最少尝试次数。还有上面代码时间复杂度和空间复杂度的也能进一步优化，这些内容放在下一篇进行分析。