摘要：针对TSINGHUAZHUOQING公众号留言中同学给出一个高校电赛的题目进行讨论。其中涉及到关于物体振动的光电检测，信号频谱分析，数据建模等内容。

关键字： FFT，电赛，光电检测，谱分析

▓ 公众号TSINGHUAZHUOQING有同学提出一个问题：

卓大大，我问您一个问题。这题您怎么看？

一、任务

设计并制作一个依靠红外对管测皮筋长度的装置。如下图所示：

1. 系统有显示功能。
2. 检测范围 10cm到50cm 。

二、要求

1. 基本要求

（1）铁钉上挂载皮筋，随意波动皮筋，显示有物体挂载；

（2）任意调整铁钉位置，使得皮筋拉伸长度在10cm到50cm内变化，拨动皮筋根据光的回拨显示皮筋长度，即两铁钉之间的距离，精度达到 1cm ；

（3）任意调整铁钉位置，使得皮筋在10cm到50cm内变化，拨动皮筋，显示皮筋长度，精度达到 2mm ；

2. 基本要求发挥部分

（1）同时挂载两根皮筋，且长度拉伸长度不同。同时拨动两根皮筋，同时显示两根皮筋长度，精度达到1cm；

（2）同时挂载两根皮筋，且长度拉伸不同。同时拨动两根皮筋，同时显示两根皮筋长度，精度达到2面。

三、说明

（1）除光电对管外，不得使用其他传感器；

（2）调试时间小于10分钟。

四、评分标准

01 基本理论分析

1.琴弦频率

在一篇有趣研究古弦乐器的论文 Effects of String Tension to Fundamental Frequency of Sound and Body Vibration of Sape 介绍了震动琴弦上机械波传动速度ccc的公式：c=Tμc = \sqrt {{T \over \mu }}c=μT

其中：

TTT: 琴弦张力
μ\muμ：琴弦质量线密度

^{▲ 萨佩传统乐器三弦琴}

波速同样与震动频率fff以及波长λ\lambdaλ之间存在：c=f⋅λc = f \cdot \lambdac=f⋅λ 的关系。

那么琴弦震动的最低频率，对应驻波的波长等于两倍的琴弦长度LLL。因此琴弦震动的频率为：f=12LTμf = {1 \over {2L}}\sqrt {{T \over \mu }}f=2L1μT

2.橡皮筋长度与频率

如果将橡皮筋看成一个琴弦，它的震动频率与琴弦振动频率公式相同。当橡皮筋长度在 10cm～50cm 之间变化的时候，假设它属于弹性变形，即张力TTT与琴弦长度LLL之间满足线性方程：T=a⋅L+bT = a \cdot L + bT=a⋅L+b

琴弦质量线密度μ\muμ与长度之间成反比：μ=cL\mu = {c \over L}μ=Lc
因此，橡皮筋震荡频率与长度之间的关系为：f=12La⋅L+bc/L=12ac+bc⋅Lf = {1 \over {2L}}\sqrt {{{a \cdot L + b} \over {c/L}}} = {1 \over 2}\sqrt {{a \over c} + {b \over {c \cdot L}}}f=2L1c/La⋅L+b=21ca+c⋅Lb

所以，L=b4cf2−aL = {b \over {4cf^2 - a}}L=4cf2−ab

在实际测量中，如果针对一条皮筋，在一组不同的长度夏，{l1,l2,⋯,ln}\left\{ {l_1 ,l_2 , \cdots ,l_n } \right\}{l1,l2,⋯,ln}，n≥3n \ge 3n≥3下，测量对应的不同震动频率{f1,f2,⋯fn}\left\{ {f_1 ,f_2 , \cdots f_n } \right\}{f1,f2,⋯fn}，通过最小二乘拟合得到对应的参数{a,b,c}\left\{ {a,b,c} \right\}{a,b,c}。之后便可以通过测量皮筋的振动频率fxf_xfx得到对应橡皮筋的长度LxL_xLx了。

3. 橡皮筋振动频率

（1）单根橡皮筋

单根橡皮筋情况下，相对比较简单。可以通过光电管测量橡皮筋震动引起接收光线的变化，获得对应的基频信号就是对应的弦震荡频率。

一种最为简单的方法就是对于震动波形放大整形之后，使用周期法（T），脉冲个数（M）法，或者T+M混合方法测量脉冲周期（倒数就是频率）。

也可以通过采集反射管的震动波形，通过DFT求出基频信号的频率。

（2）两条或者多条橡皮筋

当超过一条橡皮筋时，如果简单使用脉冲方法就无法得到准确的频率。最合适的方法就是通过测量返回光强信号变化波形，利用DFT求出其中存在的谐波频率，寻找其中最低的两个频率作为计算橡皮筋的频率数据。

（3）DFT采集数据方式

利用DFT求取信号频谱，需要确定两个参数：

信号采集频率：fsf_sfs；
信号采集时间长度：TAT_ATA；

那么采集信号的个数N=TA⋅fsN = T_A \cdot f_sN=TA⋅fs。

根据信号采样定理，选择fsf_sfs应该大于信号中最高频率的两倍以上。通常可以取五倍以上的采样频率；

采样时间长度TAT_ATA应该大于频率分辨率，也就是频谱谱线之间的频率间隔所对应的时间长度。比如如果希望计算出的频率分辨率为1Hz，那么TAT_ATA应该取大于1秒钟。

频率分辨率与求取橡皮筋的长度精度成正比。

02 系统硬件方案

根据上述分析，就需要确定系统硬件方案的几个主要方面：

1.光电信号调理电路

将光电信号进行转换、放大，送到MCU进行采集；

2.MCU电路

使用MCU，DSP，FPGA或者其它可以进行信号采样的模块。考虑它对应的采集信号范围，采集最大频率，采集数据存储最大数量等。

3.人机界面

用于显示机器测量结果，使用操作按钮等。

4.其他辅助电路

包括电源、接插件等。

好吧，这个问题就先聊到这儿吧。

03 后续工作

关于这个问题的后续讨论请参见博文： 弦，震动的琴弦 。

^{▲ 将光敏三极管放置在橡皮筋的附近}

^{▲ 测量得到的橡皮筋振荡的信号}
^{▲ 采集信号的FFT结果}

■ 相关文献链接:

Effects of String Tension to Fundamental Frequency of Sound and Body Vibration of Sape
弦，震动的琴弦
本博文对应的TSINGHUAZHUOQING公众号推文链接

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1. 基本要求

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1.琴弦频率

2.橡皮筋长度与频率

3. 橡皮筋振动频率

（1）单根橡皮筋

（2）两条或者多条橡皮筋

（3）DFT采集数据方式

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