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作者：李祖贤，Datawhale高校群成员，深圳大学

在机器学习中，有很多的问题并没有解析形式的解，或者有解析形式的解但是计算量很大（譬如，超定问题的最小二乘解），对于此类问题，通常我们会选择采用一种迭代的优化方式进行求解。

负梯度方法与Newton型方法在最优化方法中发挥着重要作用，也在现代金融科技，大规模的机器学习发挥不可或缺的作用。接下来，我们将针对这两种优化方法在机器学习中的应用进行讨论。

一、最速下降法

1.1 最速下降法的原理

假定在第k步的迭代点，我们想求处使得  下降最快的方向。由上一章可知：这个方向应首先满足下降条件。虽然下降方向有无穷多个，但是根据Cauchy-Schwarz不等式：当且仅当时等式成立，达到最小。由于在方向上要考虑步长，故取为负梯度方向：。

特别的，我们称采用负梯度方向以及精确线搜索的方法称为最速下降法。

我们从上面可以看到，不同的G矩阵使用最速下降法的迭代速度有明显的差异，原因在后文给出。

1.2 最速下降法的收敛速度

1.2.1  收敛性

最速下降法具有全局收敛性！

1.2.2  预备知识

• 向量u在矩阵G度量下的范数：

• 矩阵G度量下的Cauchy-Schwarz不等式：

• Kantorovich不等式：

1.2.3  收敛速度的上界

正定二次函数： 

收敛速度的上界:

由此可知，最速下降法的收敛速度是线性的，这个速度依赖于G的最大最小特征值。

1.2.4  收敛速度的差异性来源

我们假设G和b产生了微小扰动变成了 ,正定二次函数： 的导函数方程相应变成了  ，方程的解记为 ,其中非奇异， 满足 非零。那么：

条件数与范数有关，因此是G的相对误差与b的相对误差之和的放大倍数。若矩阵G的条件数很大，扰动对解的影响很大，我们称这个问题是病态的，或G是病态的。若矩阵G的条件数不大，扰动对解的影响程度不大，我们就成这样的问题是良性的，或G是良性的。

因此：

这说明最速下降法的收敛速度依赖G的条件数，当G的条件数接近于1时，接近于0，最速下降法的收敛速度接近于超线性收敛；而当G的条件数很大时，接近于1，则收敛很慢。

1.2.5  最速下降法的优缺点

优点：算法每次迭代的计算量少，储存量也少，从一个不太好的初始点出发也能靠近极小点。

缺点：

• 收敛慢：线性收敛。

• Zigzag现象（收敛慢的原因）：若迭代步  是  的精确最小点，则，因此：  ，也就是上一步的方向与下一步的方向垂直。

• 没有二次终止性：即不具备对于任意的正定二次函数，从任意点出发，都可以经过有限步迭代取得极小值的性质。

二、Newton方法

2.1 基本Newton方法

设 具有连续二阶偏导数，当前迭代点是 。 在  的泰勒展开为：

其中。在点的邻域内，用二次函数去近似，求解问题 。

若正定，则迭代方向为问题的唯一解。我们称为Newton方向。(Hesse的逆矩阵度量下的最速下降法)

我们来看看牛顿迭代的方向和梯度下降的方向有什么不一样？（黑色为牛顿下降方向，红色为负梯度下降方向）

下面我们用一个具体的例子来看看牛顿迭代法的效果：

从上面的例子我们可以看到：

（1）当初始点接近极小点时，迭代序列收敛于极小点，并且收敛很快（二阶收敛）；

（2）当初始点不接近极小点时，迭代序列容易收敛到鞍点或者极大点（局部收敛性而不是全局收敛）。

（3）迭代过程可能会出现奇异矩阵或者病态，以至于求逆很困难，导致迭代失败。

• 当的特征值，求不出来。

• 当的特征值

  

  不一定小于0，牛顿方向未必是下降方向。

（4）每一步迭代需要计算Hesse矩阵，即计算n(n+1)/2个二阶偏导数，相当于求解一个线性方程组，计算量为O()

2.2 阻尼Newton方法

为了改善基本Newton方法的局部收敛准则，我们采用带一维线搜索的的Newton方法，即

其中是一维搜索的结果，该方法叫做阻尼Newton方法。此方法能保证对正定矩阵， 单调下降；即使  离x稍远，由该方法产生的点列仍能收敛到。（对严格凸函数具有全局收敛性）

2.3 混合方法

基本Newton方法在迭代过程中会出现Hesse矩阵奇异、不正定的情形，基本Newton方法还会出现与几乎正交的情形。为了解决这个问题，我们可以采用基本Newton方法与最速下降法相互混合的方式。

该方法采用Newton方法，但是在Hesse矩阵奇异或者与几乎正交时，采用负梯度方向；在负定，但是存在时，取 。

2.4 LM方法

LM方法是处理奇异、不正定等情况的一个最简单有效的方法，它是指求解 来确定迭代方向的Newton型方法，这里的是单位阵。显然，若足够大，可以保证正定。

（1）  的大小对于方向的影响：

• 当  很小，求出的步长偏向于Newton方向。

• 当  很大，求出的步长则偏向于负梯度方向。

（2）当不正定时，可以简单取

三、拟牛顿方法

Newton方法的优缺点：

（1）当初始点接近极小点时，迭代序列收敛于极小点，并且收敛很快（二阶收敛）；

（2）当初始点不接近极小点时，迭代序列容易收敛到鞍点或者极大点（局部收敛性而不是全局收敛）。

（3）迭代过程可能会出现奇异矩阵或者病态，以至于求逆很困难，导致迭代失败。

• 当的特征值，求不出来。

• 当的特征值,

  

  不一定小于0，牛顿方向未必是下降方向。

（4）每一步迭代需要计算Hesse矩阵，即计算n(n+1)/2个二阶偏导数，相当于求解一个线性方程组，计算量为O()

为此，我们考虑构造一种方法，她既不需要计算二阶偏导数，又有较快的收敛速度。

3.1 拟牛顿条件

假定当前迭代点为，已知条件为，我们使用拉格朗日中值定理：

我们可以使用矩阵似得到  n个方程，n(n+1)/2个变量。

令得到：

因此拟牛顿条件为：

满足这两个方程的矩阵有很多，因此拟牛顿方法是一类方法。

在上述算法中，初始矩阵一般取单位矩阵，第一步迭代方向取为负梯度方向。

那么，算法的核心就是怎么由去修正，即，而的取法是多种多样的，但是他应该具有简单、计算量小、有效的特点。

3.2 拟牛顿方法的修正公式

3.2.1 对称秩1公式

即取为对称秩1矩阵，即有

。

将代入拟牛顿方程  得到：

即有： 。

由于是一个数，因此u与共线，从而存在使得： 。

将代入得到

因此,由此得到

 .

最终得到对称秩1公式：

如果我们想将换成等价的，则需要用到SMW公式：

最终得到对称秩1公式：

3.2.2 对称秩2公式

若为对称秩2矩阵，即，其中 待定。

将代入中，得到的修正公式。

（1）DFP方法

在中，化简为

由于的选择不是唯一的，为了计算方便，我们选择:

代入公式中可得  ，得到DFP公式：

根据SMW公式：

（2）BFGS公式（对偶）

考虑的修正公式： 用相同的推断实现：

根据SMW公式：

（3）Broyden族公式

DFP方法与BFGS公式的线性组合：

3.3 三种拟牛顿方法的对比试验

（1）扩展Rosenbrock问题

(BFGS与DFP差异不大，SR1差些)（迭代次数与函数调用次数）

（2）由人工神经网络解微分方程的问题：

四、使用牛顿法优化Rosenbrock函数实例（基于python）

Rosenbrock函数的数据探索：

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import time
%matplotlib inline
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
class Rosenbrock():def __init__(self):self.x1 = np.arange(-100, 100, 0.0001)self.x2 = np.arange(-100, 100, 0.0001)#self.x1, self.x2 = np.meshgrid(self.x1, self.x2)self.a = 1self.b = 1self.newton_times = 1000self.answers = []self.min_answer_z = []# 准备数据def data(self):z = np.square(self.a - self.x1) + self.b * np.square(self.x2 - np.square(self.x1))#print(z.shape)return z# 随机牛顿def snt(self,x1,x2,z,alpha):rand_init = np.random.randint(0,z.shape[0])x1_init,x2_init,z_init = x1[rand_init],x2[rand_init],z[rand_init]x_0 =np.array([x1_init,x2_init]).reshape((-1,1))#print(x_0)for i in range(self.newton_times):x_i = x_0 - np.matmul(np.linalg.inv(np.array([[12*x2_init**2-4*x2_init+2,-4*x1_init],[-4*x1_init,2]])),np.array([4*x1_init**3-4*x1_init*x2_init+2*x1_init-2,-2*x1_init**2+2*x2_init]).reshape((-1,1)))x_0 = x_ix1_init = x_0[0,0]x2_init = x_0[1,0]answer = x_0return answer# 绘图def plot_data(self,min_x1,min_x2,min_z):x1 = np.arange(-100, 100, 0.1)x2 = np.arange(-100, 100, 0.1)x1, x2 = np.meshgrid(x1, x2)a = 1b = 1z = np.square(a - x1) + b * np.square(x2 - np.square(x1))fig4 = plt.figure()ax4 = plt.axes(projection='3d')ax4.plot_surface(x1, x2, z, alpha=0.3, cmap='winter')  # 生成表面， alpha 用于控制透明度ax4.contour(x1, x2, z, zdir='z', offset=-3, cmap="rainbow")  # 生成z方向投影，投到x-y平面ax4.contour(x1, x2, z, zdir='x', offset=-6, cmap="rainbow")  # 生成x方向投影，投到y-z平面ax4.contour(x1, x2, z, zdir='y', offset=6, cmap="rainbow")  # 生成y方向投影，投到x-z平面ax4.contourf(x1, x2, z, zdir='y', offset=6, cmap="rainbow")  # 生成y方向投影填充，投到x-z平面，contourf()函数ax4.scatter(min_x1,min_x2,min_z,c='r')# 设定显示范围ax4.set_xlabel('X')ax4.set_ylabel('Y')ax4.set_zlabel('Z')plt.show()# 开始def start(self):times = int(input("请输入需要随机优化的次数："))alpha = float(input("请输入随机优化的步长"))z = self.data()start_time = time.time()for i in range(times):answer = self.snt(self.x1,self.x2,z,alpha)self.answers.append(answer)min_answer = np.array(self.answers)for i in range(times):self.min_answer_z.append((1-min_answer[i,0,0])**2+(min_answer[i,1,0]-min_answer[i,0,0]**2)**2)optimal_z = np.min(np.array(self.min_answer_z))optimal_z_index = np.argmin(np.array(self.min_answer_z))optimal_x1,optimal_x2 = min_answer[optimal_z_index,0,0],min_answer[optimal_z_index,1,0]end_time = time.time()running_time = end_time-start_timeprint("优化的时间:%.2f秒!" % running_time)self.plot_data(optimal_x1,optimal_x2,optimal_z)
if __name__ == '__main__':snt = Rosenbrock()snt.start()

请输入需要随机优化的次数：100

请输入随机优化的步长0.01

优化的时间:8.10秒!

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