椭球面多项式拟合公式转换模型变换关系理解

{ΔL=a0+a1L+a2B+a3LB+a4L2+a5B2ΔB=b0+b1L+b2B+b3LB+b4L2+b5B2(1)\tag{1} \begin{dcases} \varDelta{L} = a_0 + a_1L + a_2B + a_3LB + a_4L^2 + a_5B^2 \\ \varDelta{B} = b_0 + b_1L + b_2B + b_3LB + b_4L^2 + b_5B^2 \end{dcases} {ΔL=a0+a1L+a2B+a3LB+a4L2+a5B2ΔB=b0+b1L+b2B+b3LB+b4L2+b5B2(1)
式中：式中：式中：
B,L：维度、经度，单位为弧度(rad)；B,L：维度、经度，单位为弧度(rad)；B,L：维度、经度，单位为弧度(rad)；
ai,bi：多项式拟合系数，通过最小二乘求解。a_i,b_i：多项式拟合系数，通过最小二乘求解。ai,bi：多项式拟合系数，通过最小二乘求解。

(1)式转为矩阵方程式为：(1)式转为矩阵方程式为：(1)式转为矩阵方程式为：
[ΔLΔB]=[1LBLBL2B20000000000001LBLBL2B2][a0a1a2a3a4a5b0b1b2b3b4b5](2)\tag{2} \begin{bmatrix} \varDelta{L} \\ \varDelta{B} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & L & B & LB & L^2 & B^2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & L & B & LB & L^2 & B^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \\ b_0 \\ b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \\ b_5 \end{bmatrix} [ΔLΔB]=[10L0B0LB0L20B20010L0B0LB0L20B2]⎣⎡a0a1a2a3a4a5b0b1b2b3b4b5⎦⎤(2)

基于最小二乘与多对同名点对计算参数

设存在n对同名点对：(La,Ba)1→(Lb,Bb)1，⋯，(La,Ba)n→(Lb,Bb)n.设存在n对同名点对：(L_a,B_a)_1 \rarr (L_b,B_b)_1，\cdots，(L_a,B_a)_n \rarr (L_b,B_b)_n.设存在n对同名点对：(La,Ba)1→(Lb,Bb)1，⋯，(La,Ba)n→(Lb,Bb)n.
令令令
θ=[a0a1a2a3a4a5b0b1b2b3b4b5]\theta = \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \\ b_0 \\ b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \\ b_5 \end{bmatrix} θ=⎣⎡a0a1a2a3a4a5b0b1b2b3b4b5⎦⎤
vi=(Lb−La,Bb−Ba)iT，v_i=(L_b - L_a,B_b - B_a)^T_i，vi=(Lb−La,Bb−Ba)iT，
Pi=[1LaBaLaBaLa2Ba20000000000001LaBaLaBaLa2Ba2]i，P_i= \begin{bmatrix} 1 & L_a & B_a & L_aB_a & L_a^2 & B_a^2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & L_a & B_a & L_aB_a & L_a^2 & B_a^2 \end{bmatrix}_i， Pi=[10La0Ba0LaBa0La20Ba20010La0Ba0LaBa0La20Ba2]i，
i=1,⋯,ni=1,\cdots,ni=1,⋯,n

根据式(3)，代入样本值得到方程组如下：根据式(3)，代入样本值得到方程组如下：根据式(3)，代入样本值得到方程组如下：
{P1θ=v1P2θ=v2⋮Pnθ=vn\begin{dcases} P_1\theta = v_1 \\ P_2\theta = v_2 \\ \vdots \\ P_n\theta = v_n \end{dcases} ⎩⎨⎧P1θ=v1P2θ=v2⋮Pnθ=vn
则变换为矩阵方程为：则变换为矩阵方程为：则变换为矩阵方程为：
v=Pθv = P\theta v=Pθ
P=[P1P2⋮Pn]，v=[v1v2⋮vn]P= \begin{bmatrix} P_1 \\ P_2 \\ \vdots \\ P_n \end{bmatrix}， v= \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} P=⎣⎡P1P2⋮Pn⎦⎤，v=⎣⎡v1v2⋮vn⎦⎤

考虑v=Pθ无解，需要从P的列空间中找出最接近v的向量u（u可以理解为v在P的列空间中的投影，理解如下图所示：）考虑v = P\theta无解，需要从P的列空间中找出最接近v的向量u（u可以理解为v在P的列空间中的投影，理解如下图所示：）考虑v=Pθ无解，需要从P的列空间中找出最接近v的向量u（u可以理解为v在P的列空间中的投影，理解如下图所示：）

如上图所示，p是b在[a1a2]列空间中的投影。如上图所示，p是b在\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \end{bmatrix} 列空间中的投影。如上图所示，p是b在[a1a2]列空间中的投影。
令e=v−u，最小二乘就是找到∥e∥2最小的点，最小二乘就是指向量长度的最小平方。令e=v-u，最小二乘就是找到\parallel e \parallel^2最小的点，最小二乘就是指向量长度的最小平方。令e=v−u，最小二乘就是找到∥e∥2最小的点，最小二乘就是指向量长度的最小平方。

由上可知，u位于P的列空间中，即u是P的各列的线性组合：由上可知，u位于P的列空间中，即u是P的各列的线性组合：由上可知，u位于P的列空间中，即u是P的各列的线性组合：
令P的列空间为P=[C1C2⋯Cm]令P的列空间为 P= \begin{bmatrix} C_1 & C_2 & \cdots & C_m \end{bmatrix}令P的列空间为P=[C1C2⋯Cm]
故存在u=C1θ1~+C2θ2~+⋯+Cmθm~故存在 u=C_1\tilde{\theta_1} + C_2\tilde{\theta_2} + \cdots + C_m\tilde{\theta_m}故存在u=C1θ1~+C2θ2~+⋯+Cmθm~
即Pθ~=u有解。即P\tilde{\theta}=u有解。即Pθ~=u有解。

e=v−u=v−Pθ~e=v-u=v-P\tilde{\theta}e=v−u=v−Pθ~
e正交于P的列空间，存在：e正交于P的列空间，存在：e正交于P的列空间，存在：
e⊥C1,e⊥C2,⋯,e⊥Cme \perp C_1,e \perp C_2,\cdots,e \perp C_me⊥C1,e⊥C2,⋯,e⊥Cm

由向量点积关系式可得：由向量点积关系式可得：由向量点积关系式可得：

⇒{C1T(v−Pθ~)=0C2T(v−Pθ~)=0⋮CmT(v−Pθ~)=0\Rarr \begin{dcases} C_1^T(v-P\tilde{\theta})=0 \\ C_2^T(v-P\tilde{\theta})=0 \\ \vdots \\ C_m^T(v-P\tilde{\theta})=0 \end{dcases} ⇒⎩⎨⎧C1T(v−Pθ~)=0C2T(v−Pθ~)=0⋮CmT(v−Pθ~)=0

⇒[C1TC2TC3T⋮CmT](v−Pθ~)=[000⋮0]\Rarr \begin{bmatrix} C_1^T \\ C_2^T \\ C_3^T \\ \vdots \\ C_m^T \end{bmatrix} (v-P\tilde{\theta})= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} ⇒⎣⎡C1TC2TC3T⋮CmT⎦⎤(v−Pθ~)=⎣⎡000⋮0⎦⎤

∵P=[C1C2⋯Cm]\because P= \begin{bmatrix} C_1 & C_2 & \cdots & C_m \end{bmatrix}∵P=[C1C2⋯Cm]
∴PT=[C1TC2T⋮CmT]\therefore P^T = \begin{bmatrix} C_1^T \\ C_2^T \\ \vdots \\ C_m^T \end{bmatrix}∴PT=⎣⎡C1TC2T⋮CmT⎦⎤

⇒PT(v−Pθ~)=0\Rarr P^T(v-P\tilde{\theta})=0 ⇒PT(v−Pθ~)=0
⇒PTPθ~=PTv\Rarr P^TP\tilde{\theta}=P^Tv ⇒PTPθ~=PTv
⇒θ~=(PTP)−1PTv\Rarr \tilde{\theta}=(P^TP)^{-1}P^Tv ⇒θ~=(PTP)−1PTv

即θ~=(PTP)−1PTv为基于最小二乘计算出来的最接近实际参数的转换值即\tilde{\theta}=(P^TP)^{-1}P^Tv为基于最小二乘计算出来的最接近实际参数的转换值即θ~=(PTP)−1PTv为基于最小二乘计算出来的最接近实际参数的转换值

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