图形学基础|球谐光照（Spherical Harmonics Lighting）
球谐光照（Spherical Harmonics Lighting）
文章目录
- 球谐光照（Spherical Harmonics Lighting）
- 一、前言
- 二、球谐函数
- 2.1 基函数
- 2.2 投影与重建
- 2.3 应用
- 三、漫反射环境光
- 3.1 IrradianceMap
- 3.2 数学推导
- 3.3 实践
- 参考博文
一、前言
在学习图形渲染的过程中，一直對球谐函数（球谐光照）有一点了解，但没有亲手实现过。
关于球谐函数的数学概念是比较复杂的，笔者也实在无法完全理解，这篇文章只能从做东西的角度来说，公式是如何和代码进行对应的。
笔者的代码是基于DirectX实现的。期间也遇到了一些坑，也顺便记录一下。
二、球谐函数
2.1 基函数
在数学中，一个基函数是一个函数空间（Function Space）中的一个基底，就像欧拉空间中的一个坐标轴一样。
在函数空间中，每个连续的函数都可以表示为基函数的线性组合。
例如，对于所有的二次多项式，可以用基函数组{1,t,t21,t,t^21,t,t2}进行线性组合得到，即a+bt+ct2a+bt+ct^2a+bt+ct2。这里{a,b,ca,b,ca,b,c}即表示各个基函数的系数。
球谐函数是将谐函数限制于球坐标系下的单位球面的一组基函数yi(t)y_i(t)yi(t)，其各项常数系数为cic_ici，可以用来近似目标函数f(t)f(t)f(t)。
球谐函数的表达式定义如下：
f(t)≈f~=∑l=0∑m=−ll=+lclmylm=∑i=1Nciyif(t)\approx \tilde{f} = \sum_{l=0}\sum_{m=-l}^{l=+l}c_l^my_l^m = \sum_{i=1}^{N}c_iy_if(t)≈f~=l=0∑m=−l∑l=+lclmylm=i=1∑Nciyi
其中，N表示了系数或者说基底函数的数量，一个连续函数，需要无限个基函数的线性组合，才能完全恢复。
而ylmy_l^mylm是一个阶数(l,m)(l,m)(l,m)和角度（法线nnn）相关的量，称作球谐基。clmc_l^mclm为对应球谐基方向上的系数。
球面空间上的球谐函数ylmy_l^mylm可视化如下：
绿色表示球谐函数的值为正值，而红色表示球谐函数的值为负值；矢径越大球谐函数值的绝对值越大，反之矢径越小球谐函数值的绝对值越小。
而在实际的使用中，一般只取前几阶的球谐函数来近似球面上的函数。
例如，前三阶的球谐基函数如下：
l=0：
Y00=s=121πY_0^0 = s = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{\pi}}Y00=s=21π1
l=1：
Y1−1=py=34πyrY_1^-1 = p_y = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \frac{y}{r}Y1−1=py=4π3ry
Y10=pz=34πzrY_1^0 = p_z = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \frac{z}{r}Y10=pz=4π3rz
Y11=px=34πxrY_1^1 = p_x = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \frac{x}{r}Y11=px=4π3rx
l=2：
Y2−2=dxy=1215πxyr2Y_2^-2 = d_{xy} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi}} \frac{xy}{r^2}Y2−2=dxy=21π15r2xy
Y2−1=dyz=1215πyzr2Y_2^-1 = d_{yz} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi}} \frac{yz}{r^2}Y2−1=dyz=21π15r2yz
Y20=dz2=145π−x2−y2+2z2r2Y_2^0 = d_{z^2} = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi}} \frac{-x^2-y^2+2z^2}{r^2}Y20=dz2=41π5r2−x2−y2+2z2
Y21=dxz=1215πzxr2Y_2^1 = d_{xz} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi}} \frac{zx}{r^2}Y21=dxz=21π15r2zx
Y22=dx2−y2=1415πx2−y2r2Y_2^2 = d_{x^2-y^2} = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{\pi}} \frac{x^2-y^2}{r^2}Y22=dx2−y2=41π15r2x2−y2
其中，r=1r=1r=1，更多公式请参考：wiki-Table_of_spherical_harmonics。
2.2 投影与重建
2.1中提到了球谐函数表达式，但还没有介绍其中的系数clmc_l^mclm是如何求解的。
其求解方法如下公式所示：
Clm=∫Sf(s)Ylm(s)dsC_l^m = \int_S{f(s)Y_l^m(s)}dsClm=∫Sf(s)Ylm(s)ds
其中，SSS表示积分区间单位球面。这个公式其实就是用原函数f(s)f(s)f(s)和对应的球谐函数Ylm(s)Y_l^m(s)Ylm(s)在整个球面空间积分即可。这个求解系数（生成球谐系数）的过程，称之为投影。
在实际过程中，投影所得的系数ClmC_l^mClm通过采用蒙特卡洛积分来近似求解。
Clm=∫Sf(s)Ylm(s)ds=1N∑j=1Nf(xj)w(xj)C_l^m = \int_S{f(s)Y_l^m(s)}ds = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N}f(x_j)w(x_j)Clm=∫Sf(s)Ylm(s)ds=N1j=1∑Nf(xj)w(xj)
其中，权重w(xj)=1p(wj)w(x_j)=\frac{1}{p(w_j)}w(xj)=p(wj)1，对于球面均匀采样的而言，有：
w(xj)=1p(wj)=1S球面=14πw(x_j)=\frac{1}{p(w_j)}=\frac{1}{S_{球面}}=\frac{1}{4\pi}w(xj)=p(wj)1=S球面1=4π1
所以，所以球谐系数 (SH Coefficient)的数值估计表达式是：
Ci=∫Slight(v)Yi(v)ds≈1N∑j=1Nlight(xj)Y(xj)⋅4π=4πN∑j=1Nlight(xj)Y(xj)\begin{aligned} C_i = & \int_{S}{light(v)Y_i(v)}ds \\ \approx & \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N}{light(x_j)Y(x_j)\cdot 4\pi}\\ = & \frac{4\pi}{N} \sum_{j=1}^{N}{light(x_j)Y(x_j)} \end{aligned}Ci=≈=∫Slight(v)Yi(v)dsN1j=1∑Nlight(xj)Y(xj)⋅4πN4πj=1∑Nlight(xj)Y(xj)
而重建则是通过一系列的系数ClmC_l^mClm近似恢复函数fff的过程。
正如前面所描述的，因为我们不会存储无穷阶系数，对fff采用lll阶的球谐函数进行恢复。
f(t)≈f~=∑l=0∑m=−ll=+lclmylm=∑i=1Nciyif(t)\approx \tilde{f} = \sum_{l=0}\sum_{m=-l}^{l=+l}c_l^my_l^m = \sum_{i=1}^{N}c_iy_if(t)≈f~=l=0∑m=−l∑l=+lclmylm=i=1∑Nciyi
2.3 应用
在渲染中，球谐函数可以用来重建辐射亮度（Radiance），一般为环境贴图Cubemap。
以下是1阶到6阶SH重建辐射亮度的效果图：
可以看出：
- 当球谐函数的阶数越高，还原的效果越好。
- 球谐函数的结果是比较粗糙的，只能模拟低频信号。
笔者输入了一张HDR的Cubemap，重建辐射亮度如下：
- 效果不好，根本原理是球谐函数只能模拟低频信号，而HDR图像的数值范围较大，无法模拟好。
如果采用一张较为低频的图像，则是以下的结果：
当然，重建辐射亮度（Radiance）并非球谐函数最主要的作用。
其最重要的作用是第三节中要介绍的恢復IrradianceMap！
三、漫反射环境光
3.1 IrradianceMap
这里所说的环境光指的是天空盒/天空球（无限远）所发出的光，如此一来我们可以忽略掉位置信息而只考虑法线信息。
漫反射光照计算公式如下：
L(p,wo)=∫ΩL(p,wi)n⋅widwiL(p,w_o)=\int_{\Omega} L(p,w_i)n\cdot w_idw_iL(p,wo)=∫ΩL(p,wi)n⋅widwi
通常采用预积分的方式来生成一张环境贴图的IrradianceMap（下图右侧）。
在实时渲染时，仅需使用一个法线向量对立方体贴图进行采样，就可以获取该方向上的场景辐照度。
由于辐照度图（IrradianceMap）变化较为缓慢，看起来有点像环境的平均颜色或光照图，可以以较低的分辨率进行存储，例如64x64x6。
3.2 数学推导
这里要对球谐函数近似IrradianceMap的数学理论进行简单的介绍。
这里的数学推导摘錄自以下兩篇博客，寫的實在太棒了！建议观看原文！
筆者在這僅僅摘录了其中的结果！
【论文复现】Spherical Harmonic Lighting:The Gritty Details
【论文复现】An Efficient Representation for Irradiance Environment Maps
首先，对漫反射光照计算公式按照球谐函数进行展开：
KaTeX parse error: No such environment: align* at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ f(x) = & \sum…
其中，系数为clm=∫Ωf(w)Ylm(w)dwc_l^m = \int_{\Omega } f(w)Y_l^m(w)dw clm=∫Ωf(w)Ylm(w)dw
接下来，对光照方程进行简化。
将积分里的函数分为两个部分即：
{light(w)=L(p,w)t(w)=n⋅w\begin{cases} &\text{ } light(w) = L(p,w) \\ &\text{ } t(w) = n \cdot w \end{cases}{ light(w)=L(p,w) t(w)=n⋅w
然后我们分别对着两个函数进行球谐函数展开即：
{light(w)=∑i=0LiYi(w)t(w)=∑j=0tjYj(w)\begin{cases} &\text{ } light(w) = \sum _{i=0} L_i Y_i(w) \\ &\text{ } t(w) = \sum _{j=0} t_j Y_j(w) \end{cases}{ light(w)=∑i=0LiYi(w) t(w)=∑j=0tjYj(w)
其中，LiL_iLi和tjt_jtj都是常数。
将上述带回到光照积分公式中：
L(p,wo)=∫Ωlight(w)t(w)dw=∫Ω(∑i=0LiYi(w))⋅(∑j=0tjYj(w))dw=∫Ω∑i=0∑j=0(LiYi(w)tjYj(w))dw=∑i=0∑j=0Litj∫ΩYi(w)Yj(w)dw\begin{aligned} L(p,w_o) = & \int_{\Omega} light(w) t(w)dw \\ = & \int_{\Omega} (\sum _{i=0} L_i Y_i(w)) \cdot (\sum _{j=0} t_j Y_j(w)) dw \\ = & \int_{\Omega} \sum _{i=0}\sum _{j=0}(L_i Y_i(w) t_j Y_j(w)) dw \\ = & \sum _{i=0}\sum _{j=0} L_i t_j \int_{\Omega} Y_i(w)Y_j(w) dw \end{aligned} L(p,wo)====∫Ωlight(w)t(w)dw∫Ω(i=0∑LiYi(w))⋅(j=0∑tjYj(w))dw∫Ωi=0∑j=0∑(LiYi(w)tjYj(w))dwi=0∑j=0∑Litj∫ΩYi(w)Yj(w)dw
由于球谐系数的正交完备性，有且仅有i==ji == ji==j的时候，∫ΩYi(w)Yj(w)dw=1\int_{\Omega} Y_i(w)Y_j(w) dw=1∫ΩYi(w)Yj(w)dw=1。
则光照积分公式可以简化为：
L(p,wo)=∑i=0LitiL(p,w_o) = \sum_{i=0} L_i t_i L(p,wo)=i=0∑Liti
此时整个光照函数就简化为了常数积分之和。
我们接着分析球谐系数LiL_iLi和tit_iti。
分析LiL_iLi
Li=∫ΩL(p,w)Yi(w)dwL_i= \int_{\Omega } L(p,w)Y_i(w)dw Li=∫ΩL(p,w)Yi(w)dw
函数里面虽然有着色亲P，但实际与具体的着色点无关。因此这一项我们可以直接对整个天空盒进行积分。
伪代码如下：
for(pixel p : cubeMap)Li += p.color * Yi(normalise(p.position))*dw;
这里注意，我们直接将天空盒的位置信息进行归一化后就作为自变量。
因为我们这个积分是球面积分，需要球面上的点，天空盒的位置进行归一化就投影到球面上去了（就好像在球面上去点一样）。
分析tit_iti
ti=∫Ω(n⋅w)Yi(w)dwt_i= \int_{\Omega } (n \cdot w)Y_i(w)dw ti=∫Ω(n⋅w)Yi(w)dw
可惜，求tit_iti时域具体的着色器是有关的。因为我们需要知道法线的信息nnn。
这意味着如果要预计算tit_iti，也就需要对每一个方向的法线nnn都要算一组tit_iti，若采用三阶球谐（需存储9个系数），那就需要三张CubeMap（每一张存3个系数）。
- 还要和IBL的CubeMap一样大小的纹理。
伪代码如下：
// t与法线相关，只能把所有的法线都计算了
for(normal &n: sphere)
{for(pixel &p : Cubemap)ti[n] += dot(n,normalise(p.position)) * Yi(normalise(p.position)) * dw;
}
直接采用球谐系数替代原有光照的问题，即：针对每一个方向的法线都需要预计算出一组球谐系数。
球谐函数旋转
所谓的旋转，不是说直接去改变原函数，而是将传入自变量在三维空间中被旋转之后传入原函数。
// … 这里有一系列公式的推导，笔者也看不完全懂就不摘录了。
经过一系列推导，光照函数表示为：
L(n)=∑l=0∞∑m=−ll4π2l+1LlmtlYlm(n)L(n)=\sum_{l=0}^{\infty } \sum_{m=-l}^{l} \sqrt{\frac{4\pi }{2l+1}} L_l^m t_l Y_l^m(n) L(n)=l=0∑∞m=−l∑l2l+14πLlmtlYlm(n)
可以分为3项：
1）4π2l+1tl\sqrt{\frac{4\pi }{2l+1}} t_l2l+14πtl 为一系列常数。下面列出了前三阶的系数。
// Convolve with SH-projected cosinus lobe
float ConvolveCosineLobeBandFactor[] =
{PI,2.0f * PI/3.0f, 2.0f * PI/3.0f, 2.0f * PI/3.0f,PI/4.0f, PI/4.0f, PI/4.0f, PI/4.0f, PI/4.0f
}
2）LlmL_l^mLlm 为预计算的，Li=∫ΩL(p,w)Yi(w)dwL_i= \int_{\Omega } L(p,w)Y_i(w)dw Li=∫ΩL(p,w)Yi(w)dw。
3）Ylm(n)Y_l^m(n)Ylm(n) 为球谐基函数，参数是具体着色点的法线nnn。可以根据着色器中的法线进行实时计算。
在预计算LlmL_l^mLlm 时，其实可以将第一项也包含进来，一起进行存储cic_ici。如下公式所示：
ci=4π2l+1tl⋅∫ΩL(p,w)Yi(w)dwc_i = \sqrt{\frac{4\pi }{2l+1}} t_l \cdot \int_{\Omega } L(p,w)Y_i(w)dw ci=2l+14πtl⋅∫ΩL(p,w)Yi(w)dw
对这个式子Li=∫ΩL(p,w)Yi(w)dwL_i= \int_{\Omega } L(p,w)Y_i(w)dw Li=∫ΩL(p,w)Yi(w)dw使用蒙特卡洛积分I=∫f(x)dx=∫f(x)p(x)p(x)dx≈1N∑i=1Nf(X)p(x)I=\int f(x)dx = \int \frac{f(x)}{p(x)} p(x) dx \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{f(X)}{p(x)}I=∫f(x)dx=∫p(x)f(x)p(x)dx≈N1∑i=1Np(x)f(X)近似，有：
对于均匀的球面上采样，概率p=14πp=\frac{1}{4\pi}p=4π1，则有：
ci=4π2l+1tl⋅4πN∑LjYjc_i = \sqrt{\frac{4\pi }{2l+1}} t_l \cdot \frac{4\pi}{N}\sum L_jY_j ci=2l+14πtl⋅N4π∑LjYj
则渲染还原时为：
L(n)=∑i=0ciYi(n)L(n)=\sum_{i=0} c_i Y_i(n) L(n)=i=0∑ciYi(n)
此时求出的为SH近似出来的IrradianceMap。
3.3 实践
相较于2.2对Radiance的重建，3.2重建IrradianceMap仅多出来一项，其他完全相同。即4π2l+1tl\sqrt{\frac{4\pi }{2l+1}} t_l2l+14πtl 常数项。
而已仅需在预计算时乘以对应的常数项系数，或者在渲染时乘以对应的常数项系数，都可以获得IrradianceMap。
但是为什么要使用SH替代CubeMap呢？
原因很简单：
- 对于一个大的场景而言，每个位置的环境光都可能不同，如果每个点的环境光都采用一张Cubemap来存储，并且每次在Shader进行采样，那么这种方法无疑是非常昂贵的。
- 而使用球谐函数的话，可以将Cubemap减少到只有9个SH系数（如果是三阶的话）。
下面给出笔者实现的SH重建的Irradiancemap。
原图：
预积分的IrradianceMap：
SH恢复的IrradianceMap：
笔者在实践中使用的DirectX，期间遇到一个读取数据的问题，也记录一下。
笔者通过DirectXTex库的CaptureTexture函数获取了CubeMap在CPU中的数据存储于DirectX::ScratchImage类型中。
DirectX::ScratchImage image;
FCommandQueue& Queue = g_CommandListManager.GetQueue(D3D12_COMMAND_LIST_TYPE_DIRECT);
hr = DirectX::CaptureTexture(Queue.GetD3D12CommandQueue(), m_Resource.Get(), true/*isCubeMap*/, image, m_CurrentState, m_CurrentState);
但由于格式为DXGI_FORMAT_R16G16B16A16_FLOAT，以下是笔者尝试的代码，并不能正确地读取到图像数据。
const Image img = dstSImg.GetImages()[i];
{size_t rowPitch = 0;size_t slicePitch = 0;ComputePitch(img.format, img.width, img.height, rowPitch, slicePitch);for (int rowIndex = 0; rowIndex < img.height; rowIndex++){uint16* dst = (uint16*)(img.pixels + rowPitch * rowIndex);for (int colIndex = 0; colIndex < img.width; colIndex++){// ... 这样并不能读取到正确的数据uint16 R = dst[4*colIndex+0];}}
}
最终，笔者通过将DXGI_FORMAT_R16G16B16A16_FLOAT转为DXGI_FORMAT_R32G32B32A32_FLOAT格式，才可以顺利读取到正确的像素值。代码如下：
/*
* InputImage 输入的R16G16B16A16_FLOAT格式Cubemap
* Width、Height 图像分辨率
* SampleNum 随机采样的总数量
* OutSamples 输出的所有样本点（法线方向、颜色）
*/
class Vertex
{
public:Vector3f pos, color;
};
void RandomSample(const DirectX::ScratchImage& InputImage, int Width, int Height,int SampleNum, std::vector<Vertex>& OutSamples)
{// 通过 DirectX::_ConvertFromR16G16B16A16 将其转成DXGI_FORMAT_R32G32B32A32_FLOAT格式DirectX::ScratchImage dstSImg;dstSImg.Initialize2D(DXGI_FORMAT_R32G32B32A32_FLOAT, InputImage.GetMetadata().width, InputImage.GetMetadata().height, InputImage.GetMetadata().arraySize, InputImage.GetMetadata().mipLevels);for (int i = 0; i < InputImage.GetImageCount(); i++){DirectX::_ConvertFromR16G16B16A16(InputImage.GetImages()[i], dstSImg.GetImages()[i]);}OutSamples.clear();OutSamples.resize(SampleNum);for (int i = 0; i < SampleNum; ++i){float x, y, z;do {x = NormalRandom();y = NormalRandom();z = NormalRandom();} while (x == 0 && y == 0 && z == 0);Vertex vex;Vector3f pos(x, y, z);vex.pos = pos.Normalize();CubeUV cubeuv = XYZ2CubeUV(pos);int colIndex = (int)(cubeuv.u * (Width - 1));int rowIndex = (int)((1.f - cubeuv.v) * (Height - 1));const DirectX::Image* images = dstSImg.GetImages();int Lod0FaceIndex = cubeuv.index * dstSImg.GetMetadata().mipLevels;const DirectX::Image image = images[Lod0FaceIndex];size_t rowPitch = 0;size_t slicePitch = 0;ComputePitch(image.format, image.width, image.height, rowPitch, slicePitch);// 注意强转为float类型float* dst = (float*)(image.pixels + rowPitch * rowIndex);float R = dst[colIndex * 4 + 0];float G = dst[colIndex * 4 + 1];float B = dst[colIndex * 4 + 2];//printf("[%f,%f,%f]\n", R, G, B);vex.color = { R,G,B };OutSamples[i] = vex;}
}
同时需要注意的是对于Cubemap，其Mipmap的存储方式为：
//Face0: Mip0, Mip1, Mip2, ...
//Face1: Mip0, Mip1, Mip2, ...
//...
//Face5: Mip0, Mip1, Mip2, ...
参考博文
SphericalHarmonicsLighting
【论文复现】Spherical Harmonic Lighting:The Gritty Details
【论文复现】An Efficient Representation for Irradiance Environment Maps
球谐光照技术 —— 原理+程序（全网最通俗易懂的版本）
Unity渲染编程(灯光篇)【第一卷：Spherical Harmonics Lighting】
PI or not to PI in game lighting equation
球谐光照-实验篇
球谐光照-应用篇
球谐(SH)和预计算辐射度(PRT)
球谐光照
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