形如e^(ax^2+bx+c)的积分公式的证明

形如∫ex2dx\int e^{x^2}dx∫ex2dx的积分是一种典型的很难积的函数，普通方法很难把它积出来，得用巧劲。

以下为证明过程：

直接求积分很难，我们先把它平方，将其转为二重积分：
(∫ex2dx)2=∫ex2dx⋅∫ey2dy=∬ex2+y2dxdy(∗)\begin{aligned} \left(\int e^{x^2}dx \right)^2 &=\int e^{x^2}dx \cdot \int e^{y^2}dy \\ & = \iint e^{x^2+y^2}dxdy (*) \end{aligned} (∫ex2dx)2=∫ex2dx⋅∫ey2dy=∬ex2+y2dxdy(∗)
将直角坐标系转为极坐标系，这里有一点要注意，二重积分变量替换或者说变换积分区域的时候在积分函数里还要乘上一个雅可比行列式，我们先算一下雅可比矩阵：

J=∂(x,y)∂(r,θ)=[cos⁡θ−rsin⁡θsin⁡θrcos⁡θ]J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}=\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{array}\right]J=∂(r,θ)∂(x,y)=[cosθsinθ−rsinθrcosθ]

因此要乘的雅可比行列式为∣J∣=rcos⁡2+rsin⁡2=r|J|=r \cos^2+r\sin^2=r∣J∣=rcos2+rsin2=r。有了雅可比行列式，现在就可以算算(∗)(*)(∗)式经坐标变换后的式子，有：
{x2+y2=r2x=rcos⁡θ⇒(∗)=∫02π∫−∞+∞er2⋅r⋅drdθ(∗∗)y=rsin⁡θ\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}=r^{2} \\ x=r \cos \theta \Rightarrow (*)=\int_{0}^{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{r^{2}} \cdot r \cdot d r d \theta \quad(**) \\ y=r \sin \theta \end{array}\right.⎩⎨⎧x2+y2=r2x=rcosθ⇒(∗)=∫02π∫−∞+∞er2⋅r⋅drdθ(∗∗)y=rsinθ

一定要注意转为极坐标的时候θ∈[0,2π)\theta \in[0,2\pi)θ∈[0,2π)，要不然会出问题的。

接(∗∗)(**)(∗∗)，有：

(∗∗)=∫02π12(∫er2dr2)dθ=∫02π12⋅er2dθ=12er2⋅θ∣02π+c=πer2+c(∗∗∗)\begin{aligned} (**)=\int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2} \left(\int e^{r^{2}} d r^{2} \right)d \theta=\int _{0}^{2\pi}\frac{1}{2} \cdot e^{r^{2}} d \theta=&\left.\frac{1}{2} e^{r^{2}} \cdot \theta\right|^{2 \pi}_{0}+c \\ =&\pi e^{r^{2}}+c \end{aligned} (***)(∗∗)=∫02π21(∫er2dr2)dθ=∫02π21⋅er2dθ==21er2⋅θ∣∣∣∣02π+cπer2+c(∗∗∗)

对(∗∗∗)(***)(∗∗∗)开根号，便可得到：
∫ex2dx=πer2+c\int e^{x^2}dx=\sqrt{\pi e^{r^2}+c} ∫ex2dx=πer2+c

证毕。

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