【信号与线性系统】知识点与学习攻略

知识点理解

关于正交分解可以看这个视频：
https://www.bilibili.com/video/BV1qV411C7u6/

记住两个完备正交函数集：
一个是正余弦三角函数，非零不同频率项乘积为0，非零同频率项乘积积分为T/2，零频率项乘积积分为T。
一个是复指数函数，不同项乘积积分为T。
记住这两个以后，公式中的一些常系数值就能记住了。

周期信号对应傅里叶级数，非周期信号对应傅里叶变换。

积分区间：

时域积分：周期信号(-T/2, T/2)；非周期信号周期无穷大，所以是(-∞，+∞)。统一来说就是：时域积分区间是一个周期。
频域积分区间：(0, +∞)。
复频域积分区间：(-∞，+∞)。

什么是复频域？
复频域是一个又包含复数，又包含频率的数值域，即F(jw)，j代表复数，w代表频率，统称复频域。
把它理解成是一个特殊的数值平面即可，把这个平面任意替换成其他任何平面，逻辑都是一样的，只要能从时域映射/变换过去就行了。由此也可以看出，数学就是研究变换的，唯一不变的只有变。
具体含义不用研究。不要尝试理解其物理或者几何意义，没啥意义，只是一个解决问题的数学工具而已。因为代数的一个特点就是将一个常用中间量用一个符号表示，用来参与运算，运算到最后如果被消除掉，就说明结果与此中间量无关，这就是代数中，把无当做有的待定技术。

傅里叶变换是由非周期函数的傅里叶级数推导出来的，那么怎么又可以对周期信号进行傅里叶变换？怎么理解？
对周期信号进行傅里叶变换，就是将周期信号看成是一个巨大的非周期信号来处理。

不知道该怎么利用傅里叶变换的性质解题怎么办？
用一张图来计划你的计算路线：

题目中一般都是由一个函数，求另外一个函数的傅里叶变换，只需要根据上图，应用傅里叶变换的性质，沿着转换路线向目标进行推导即可求解。
题外话：上图有点像线代中的矩阵相似，变换的模型是一样的。

冲激函数解读

误区：

像以下几种说法：

信号f(t)是由一个一个冲激函数组成的
输入信号f(t)可以分解为无限个不同时刻的单位冲激函数放大f(t)倍组成
任意连续信号都可以分解为一系列加权的移位冲激函数之和
等等

以上几种说法，有的来自网络，有的来自课本。
我认为以上描述都是不正确的。冲激函数不是一个又一个无限高的脉冲吗？而f(t)是有限高的，怎么就可以组成f(t)了？
实际上，公式是最靠谱的，根据公式：

上图中x(t)也可以写成f(t)，是一样的。
显而易见，上面的几种说法，直接无视了积分变量dτ。只有冲激函数的无穷大幅度乘上积分变量这个无穷小值，才会变成1（根据单位冲激函数的定义）。这样才会被f(t)加权，变成f(t)函数。

所以不要用以上的描述去理解冲激函数，不然你会误认为冲激函数和单位序列是一样的，不要被某些不正确的描述坑了。正确的描述应该是：

f(τ)对单位冲激函数加权并在(-∞,+∞)对dτ积分才能得到f(t)。

另外，冲激和单位序列的区别：

冲激函数的图像是一个面积为1，高度为无穷大的矩形；
单位序列是高度为1，宽度为0的一个点而已。

关于变换

从级数开始

周期函数可以展开为级数，当周期为无穷大时，级数就成了变换。

级数是属于周期信号特有的，变换可以针对一切信号。因为变换是级数的推广，周期信号也可以看成是非周期信号。
级数可以帮助我们理解频率，所以可以花点时间看看。

几种变换公式的记忆方法

首先提一句，变换是由级数推导出来的。

变换公式的要素总共有5点：

积分、求和类型
积分、求和区间
积分变量
积分函数
基
常系数

下面分别进行描述：

积分还是求和
等号右边的域（时域或频域）连续，就用积分；
等号右边的域离散，就用求和。

记忆口诀：
一个域周期，对应另一个域离散；
一个域非周期，对应另一个域连续；
一个域离散，对应另一个域周期；
一个域连续，对应另一个域非周期。

简记：
离周周离，连非非连

图示：

积分/求和区间
选定等号右边的域，
如果是周期的，区间为一个周期；
如果不是周期的，区间为(-∞,∞)。
积分变量是什么
时域dt，频域dω，dθ
积分函数是什么
符号上，正变换对应负指数。变量由周期非周期决定。
- 连续周期：exp(-jt * nΩ)
- 连续非周期：exp(-jt * ω)
- 周期序列：exp(-jk * nΩ)
- 非周期序列：exp(-jk * θ)
常系数
因为拉氏变换可以看做连续傅氏变换的推广，z变换可以看做是离散傅氏变换的推广，所以可以把拉氏变换和z变换统称为“推广傅氏变换”（自己起的名字，便于记忆）。所以有：
- 傅氏变换、推广傅氏变换，常系数都为1；
- 逆傅氏变换常数都为1/2π，逆推广傅氏变换常系数都为1/2πj。

级数公式记忆

连续周期信号傅里叶级数：

傅里叶逆级数（展开）：频域为离散非周期，所以计算形式为求和，区间为(-∞,∞)，常系数为1。
傅里叶正级数（求系数）：时域为连续周期，所以计算形式为积分，区间为(-T/2,T/2)，常系数为1/T。

离散周期序列傅里叶级数：

傅里叶逆级数（展开）：频域为离散周期，所以计算形式为求和，区间为(0,N-1)，常系数为1/N。
傅里叶正级数（求系数）：时域为离散周期，所以计算形式为求和，区间为(0,N-1)，常系数为1。

变换公式推导的基本思想

基本思想是：

周期信号可以看做是周期为无穷大的非周期信号（周期信号傅里叶变换）；
非周期信号可以看做是周期为无穷大的周期信号（傅里叶变换）；
有限长序列可以通过周期延拓，变成周期信号（离散傅里叶变换）。
注意没有把有限长序列变成非周期无限长序列，因为这样变的话，根据上面的口诀可知，变换到频域是连续的，无法使用计算机处理，只能周期延拓变成周期序列。

几种变换的关系

一幅图弄清DFT与DTFT,DFS的关系

几种变换防止混淆的记忆方法

输入信号就那么几种类型：

离散还是连续
周期还是非周期
对于离散信号，是有限长还是无限长。
级数还是变换
普通傅氏变换还是推广傅氏变换

频域周期与非周期性、频域混叠的解释

A visual explanation of aliasing and repetition with the DTFT
老外的文章，需要翻墙，老外做学问的态度值得学习。
知乎：如何理解傅里叶变换时域连续对应频域非周期，时域离散对应频域周期？

奈奎斯特频率：等于实际采样信号频率的一半。在满足奈奎斯特采样定律时，可以认为是信号的最大频率。

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换就是有条件的傅里叶变换，这个条件就是收敛域。可以认为它是推广后的傅氏变换。
收敛域要写成

Re[s] > a，即写出实部。

【必读】：从另一个角度看拉普拉斯变换
速记：指数型，因果收敛域大于极点，非因果小于极点。大于小于号和图像方向一致。

【拉普拉斯逆变换】

部分分式展开

其中：

分式和整式是相对的概念。类似于分数和整数之间的关系，区别在于分式和整式都是多项式。

真分式：从数值的角度去理解，分数一般都是分子比分母小，这样的分式叫真分数，意思就是真的分数。但是一个整或者一个整数+分式也可以写成分数形式，这样的式子是伪装成真分式的，所以叫假分式，假分数可以反过来化成整数+分数。把上面所说的分数换成分式即可理解什么是真分式，假分式。

这一部分涉及到复数运算。
关于复数的理解，可能有人会向我一样钻牛角尖，怎么也理解不了这个东西，这里再次提及一下。
虚数，英文原名是Imaginary，想象的，虚构的。这个数是想象出来的，在现实生活中没有实际意义。就算没有虚数，可能还有其他概念来替换它，为什么？因为这是计算需要。它是一个代数，指代一个不存在的东西。并不是说代数只能指代存在的东西，代数就是一切皆可替代。
虚数没有实际意义，当然也就没有几何意义。但是书上还总是提到实数虚数构成的复平面，实数为横轴，虚数为竖轴，这是为什么？既然虚数是想象的，为什么不多想一步呢？干脆想象出一个不存在的平面，我们现实世界的数只存在于这个平面的实数轴上面。这样虚数瞬间变得形象起来了。可能很多人和我一样非要想象复数或复平面对应的实际物理意义或者几何意义，其实，紧紧把握住其Imaginary的思想，就可以理解了。
这里提及一下共轭。共轭复数是复数关于实数轴的一个对称点，相反数是实数关于虚轴的对称点。

【z变换】

z的范围和表达式共同决定收敛性。所以z变换的题目中，只有同时确定了因果性和z的收敛域，才能确定z变换表达式。
反过来，如果已知z变换表达式，如何确定原函数呢（z逆变换）？由上可知，只有确定了z的收敛域，才能确定原函数，只有这样才能保持收敛。
因果是右序列，非因果是左序列，双边即两边序列。

【系统稳定性】

为什么系统稳定性和极点有关系？
参考：系统稳定性和零极点的关系
参考：传递函数的零点、极点怎么解释，有什么用？
下面是我个人的简单理解：

我们知道，系统函数H(s)是变换到时域是冲激响应。
H(s)的极点，逆变换到时域，在时域看来，就是用原信号f(t)乘上一个指数加权函数作为冲激响应。
同理，在z域，H(z)相当于在时域乘上极点的n次方。
加权函数如果是随着时间t趋向无穷大而趋向于0的，那么我们的冲激响应肯定也是随着时间慢慢消失的。
因为输入信号是不断注入的，只有先前的输入产生的响应按照指数的速度衰减，那么输出才不会随时间无限增大。
无限增大的系统你控制得了吗？对于计算机来说，无限增大会耗尽系统资源，比如内存，CPU，硬盘，网络带宽。对于电路系统来说，无限增大直接会烧毁电路，这种系统怎么用？放在车辆或者飞机上，你敢乘坐吗？
所以，只有把系统做稳定了，才有应用价值，才能做成可靠运行的产品。
具体怎么样才稳定，怎么取值?
s域取虚平面的左半开平面，z域取虚平面上小于1的圆。

极点用叉表示，零点用空心圆表示。
补充一下上面没提到的：拉氏变换转傅里叶变换的原理。傅氏变换是Re[s]=0的拉普拉斯变换，所以只要拉式变换收敛域包含虚数轴，就可以直接把s换成jw，就可以得到傅氏变换。如果收敛域不包含虚数轴，则傅氏变换不存在。如果收敛域刚好就是虚数轴，那公式比较复杂，直接查书就可以。
未来信号对现在的输出产生影响，叫非因果系统。

【重要】理解记忆几种变换的性质