反馈增益矩阵状态反馈闭环传递函数矩阵为

与理想极点多项式 比较， 有 * 第八章 状态反馈和状态观测器 状态反馈及极点配置 输出反馈及极点配置 状态观测器 降维状态观测器 带有状态观测器的状态反馈系统 解耦控制(前馈补偿器解耦和状态反馈解耦) 第一节 状态反馈及极点配置 状态反馈 状态反馈极点配置条件和算法 状态反馈闭环系统的能控性和能观测性 系统的镇定 将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。 一、状态反馈 反馈的两种基本形式：状态反馈、输出反馈 原受控系统 ： 线性反馈规律： 状态反馈闭环系统： 反馈增益矩阵： 状态反馈闭环传递函数矩阵为： 一般D=0，可化简为： 状态反馈闭环系统表示： 状态反馈系统的特征方程为： 极点配置：通过反馈增益矩阵F的设计，将加入状态反馈后的闭环系统的极点配置在z平面期望的位置上。 二、状态反馈极点配置条件和算法 1、极点配置算法 (1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。 1)直接法求反馈矩阵F(维数较小时，n≤ 3) 定理：(极点配置定理) 对线性定常系统 进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意配置的充要条件是： 状态完全能控。 注意：矩阵 的特征值就是所期望的闭环极点。对不能控的状态，状态反馈不能改变其特征值。 (2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式： (3)根据给定(或求得)的期望闭环极点，写出期望特征多项式。 (4)由 确定反馈矩阵K： [例1] 考虑线性定常系统 其中： 试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统极点为-2±j4和-10。 [解]： (1)先判断该系统的能控性 该系统状态完全能控，通过状态反馈，可任意进行极点配置。 (2)计算闭环系统的特征多项式 设状态反馈增益矩阵为： (3)计算期望的特征多项式 由 得 (4)确定F阵 求得： 所以状态反馈矩阵K为： [例2] 对如下的线性定常系统，讨论状态反馈对系统极点的影响 [解]： (1)先判断该系统的能控性 由对角线标准型判据可知，特征值为－1的状态不能控。 (2)假如加入状态反馈阵F，得到反馈后的特征多项式为： 从中可以看出，对于－1的极点，状态反馈不起作用，状态反馈只能通过f2去影响2这个极点。即状态反馈对不能控部分状态，不能任意配置其极点。 求 将相等繁琐，所以引入第二能控标准型法。 2)第二能控标准型法求反馈矩阵(维数较大时，n>3) 1、首先将原系统 化为第二能控标准型 2、求出在第二能控标准型的状态 下的状态反馈矩阵 3、求出在原系统的状态 下的状态反馈矩阵 证明： 原系统： 第二能控标准型： 其中： 式(1)和式(2)比较，得： 第二能控标准型：此时的系统不变量和原系统相同。 能控标准型下状态反馈后系统矩阵： [第二能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式] 第二能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式为： (1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。 (2)确定将原系统化为第二能控标准型 的变换阵 若给定状态方程已是第二能控标准型，那么 ，无需转换 第二能控标准型法，求反馈增益矩阵K的步骤： (3)根据给定或求得的期望闭环极点，写出期望的特征多项式： (4)直接写出在第二能控标准型下的反馈增益矩阵： (5)求未变换前原系统的状态反馈增益矩阵： 还可以由期望闭环传递函数得到： 第二能控标准型法，非常适合于计算机matlab求解 期望的闭环极点有时直接给定；有时给定某些性能指标：如超调量 和调整时间 等) 重新求解前面例1： (2)计算原系统的特征多项式： [解]： (1)可知，系统已经是第二能控标准型了，故系统能控，此时变换阵 (3)计算期望的特征多项式 (4)确定F阵 所以状态反馈矩阵K为： 第二能控标准型下的状态反馈矩阵为： 3)爱克曼公式(Ackermann公式法) (维数较大时，n>3) 为系统期望的特征多项式系数，由下式确定： 其中 是在期望极点多项式中以G代λ,得到的矩阵多项式： 推导过程：略 此方法也非常适合于计算机matlab求解 用爱克曼公式， 重新求解前面例1： [解]： (1)确定系统期望的特征多项式系数： 所以： (2)确定 (3)所以状态反馈矩阵F为： 期望极点选取的原则： 1)n维控制系统有n个期望极点；