【流体力学】加和不加湍流模型在NS方程上的体现
之前一直没弄懂为什么很多流化床模拟里面都不去提及的问题。这还是个比较复杂的问题,暂且搁置。但是我们起码要知道:加和不加湍流模型,区别到底体现在哪?这个影响大不大,量级如何?
从工程上来说,我们只要知道这个影响的量级,就可以大致判定可不可以忽略该影响。假如同时存在其他主导规律的时候(比如颗粒对气体的曳力),该影响的量级远远小于曳力的量级,那么就可以放心地忽略该影响。
所以湍流的影响是多大呢?如何估算他的影响的量级呢?
首先,我们必须从CFD计算的NS方程上找源头。也就是说,要知道加不加湍流,在NS方程上的区别。
这里就直接摘抄教科书里的内容了。
所采用的教科书为Versteeg编写的 An Introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method 第二版
参考章节为3.5节,从第61页开始。
首先写出NS方程。
第一个是连续方程,后三个是分解成xyz三个方向的动量方程。
我们知道,流体在湍流状态下是有无规则的脉动运动的。但是经过时间平均后,会消除这些脉动。如图所示为流体速度随时间变化。
可以将其分解为脉动速度(u‘)和时均速度(U)
上式中,也包含压力的分解。压力也是同理的。
于是将上面分解后的式子代入到NS方程中去。
然后再对他们取时间平均。取平均的方法就是先对时间积分,然后再除以时间。
对于连续方程,时间平均后直接把脉动速度平均没了。于是得到
对于动量方程,先以x方向动量方程为例,对每一项都采取时间平均
这里要注意几点
- 首先,单独对脉动速度平均,直接就平均没了。 u′‾=0\overline{u'}= 0 u′=0
- 其次,对平均速度平均,相当于没平均。 U‾=U\overline{U}= U U=U
- 然后,对平均速度和脉动速度平均,可以把U看作常数提出来 Uu′‾=Uu′‾\overline{Uu'}=U \overline{u'} Uu′=Uu′
- 最后,两个脉动速度的乘积的平均,是没法有任何简化的。 u′u′‾=u′u′‾u′v′‾=u′v′‾\overline{u'u'}= \overline{u'u'}\\ \overline{u'v'}= \overline{u'v'} u′u′=u′u′u′v′=u′v′
另外,div代表散度,即 div(u)=∂ux+∂vy+∂wzdiv(\bold u)=\frac{\partial u}{x}+\frac{\partial v}{y}+\frac{\partial w}{z} div(u)=x∂u+y∂v+z∂w grad表示梯度,即 div(T)=(∂Tx,∂Ty,∂Tz)div(\bold T)=(\frac{\partial T}{x}, \frac{\partial T}{y},\frac{\partial T}{z}) div(T)=(x∂T,y∂T,z∂T)
于是带入到NS方程中,得到
那么(III)就是额外增加的项,称为雷诺应力。
所以
湍流对NS方程的影响就是附加了一个雷诺应力项!
把它看作一个附加在动量方程的源项,相当于附加了一个额外的作用力。因此通常把它放到右侧和压力以及粘性力并列:
最后那项就是多出来的雷诺应力
这里又把密度提出来了。是因为通常来说密度也是不恒定的,也是一个变量。
所以说,有时候采用密度加权的时间平均,又被称之为favre平均。这个平均用上方小波浪线代替小横线。最后写出来,考虑了湍流之后的NS方程为:
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