通过矩阵操作实现点的2D线性变换（几何变换、仿射变换）

1）求一个点沿坐标轴缩放后的位置

2）已知一个点的位置和它绕原点旋转的角度，求旋转后的位置

注意此时的 $\alpha$ 是我们设的一个值，最后会被 $x_a,y_a$ 所替代掉。

注意，trigonometric addition identities就是中学必背的三角函数变换公式：

3）已知一个点的位置和它绕另外一点旋转的角度，和另外一点的位置，求旋转后的位置

若o不是原点，则可先将a点坐标转换为相对坐标计算，计算结果再加上o点坐标。

b.x = (a.x - o.x)*cos(angle) - (a.y - o.y)*sin(angle) + o.x

b.y = (a.x - o.x)*sin(angle) + (a.y - o.y)*cos(angle) + o.y

4）反射

5）组合变换

6）二维变换分解

7）平移和仿射变换（Translation and Affine Transformation）

之前的变换只能对向量进行缩放或旋转，不能平移。要平移需要用下面的方法。

可是单独出现一个上面的平移计算相对于一连串的矩阵乘法而言，增加了计算的复杂度。

解决的方案是在之前的线性变换矩阵中加一个平移用的vector，之前的m部分负责旋转缩放，而增加的vector负责平移，这样就实现了旋转缩放再平移的组合操作，我们

称之为仿射变换（Affine Transformation）。

可那位朋友问了，不是说想实现仅平移吗，怎么还夹带了旋转缩放操作呢？

其实只要控制 $m_{11},m_{12},m_{21},m_{22}$ ，使旋转为0，缩放为1，不就实现了仅平移操作了吗，如下，

仿射变换其实也可以表示之前的旋转或缩放操作，只需要把平移vector变成[0, 0, 1]，如下

注意到2D的向量[x, y]，我们转换成了[x, y, 0] 或 [x, y, 1]，选补0还是补1，取决于最后要求的是位移还是坐标。

8）变换矩阵的逆

9) 代码实战

平移一张图片, x轴移动100,y轴移动50

import numpy as np
import cv2 as cv
img = cv.imread('messi5.jpg',0)
rows,cols = img.shape
M = np.float32([[1,0,100],[0,1,50]])
dst = cv.warpAffine(img,M,(cols,rows))
cv.imshow('img',dst)
cv.waitKey(0)
cv.destroyAllWindows()

这里面cv.warpAffine()的第三个参数是输出图片的尺寸,which should be in the form of **(width, height)**.

以图片中心为原点,对整个图片逆时针旋转90度

img = cv.imread('messi5.jpg',0)
rows,cols = img.shape
# cols-1 and rows-1 are the coordinate limits.
M = cv.getRotationMatrix2D(((cols-1)/2.0,(rows-1)/2.0),90,1)
dst = cv.warpAffine(img,M,(cols,rows))

以图片中心为原点,对点( $x_0,y_0$ )逆时针旋转90度

M = cv.getRotationMatrix2D(((cols - 1) / 2.0, (rows - 1) / 2.0), 90, 1)
t0 = np.array([[x0], [y0], [1]], np.int32)
t1 = np.matmul(M, t0)
x1 = int(t1[0][0])
y1 = int(t1[1][0])