一、均差及其性质

1.均差的定义

在开始介绍牛顿插值多项式之前，需要先引入均差的定义

定义 :称f[x0,xk]=f(xk)−f(x0)xk−x0f[x_0,x_k]=\frac{f(x_k)-f(x_0)}{x_k-x_0}f[x0,xk]=xk−x0f(xk)−f(x0)为函数f(x)f(x)f(x)关于点x0x_0x0,xkx_kxk的一阶均差.

f[x0,x1,xk]=f[x0,xk]−f[x0,x1]xk−x1f[x_0,x_1,x_k]=\frac{f[x_0,x_k]-f[x_0,x_1]}{x_k-x_1}f[x0,x1,xk]=xk−x1f[x0,xk]−f[x0,x1]称为f(x)f(x)f(x)的二阶均差. 一般地，称f[x0,x1,⋯,xk]=f[x0,⋯,xk−2,xk]−f[x0,x1,⋯,xk−1]xk−xk−1f[x_0,x_1,\cdots ,x_k]=\frac{f[x_0,\cdots ,x_{k-2},x_k]-f[x_0,x_1,\cdots,x_{k-1}]}{x_k-x_{k-1}}f[x0,x1,⋯,xk]=xk−xk−1f[x0,⋯,xk−2,xk]−f[x0,x1,⋯,xk−1]为f(x)f(x)f(x)的k\mathbf{k}k阶均差（均差也称为差商）。

2.均差的性质

（1）kkk阶均差可表示为函数值f(x0)f(x_0)f(x0)，f(x1)f(x_1)f(x1)，⋯\cdots⋯，f(xk)f(x_k)f(xk)的线性组合，即f[x0,x1,⋯,xk]=∑j=0kf(xj)(xj−x0)⋯(xj−xj−1)(xj−xj+1)⋯(xj−xk)f[x_0,x_1,\cdots ,x_k]=\sum_{j=0}^{k}\frac{f(x_j)}{(x_j-x_0)\cdots(x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})\cdots(x_j-x_k)} f[x0,x1,⋯,xk]=j=0∑k(xj−x0)⋯(xj−xj−1)(xj−xj+1)⋯(xj−xk)f(xj)可用归纳法证明此性质。这个性质也表明均差与节点的排列次序无关，称为均差的对称性，即f[x0,x1,⋯,xk]=f[x1,x0,x2,⋯,xk]=⋯=f[x1,⋯,xk,x0]f[x_0,x_1,\cdots,x_k]=f[x_1,x_0,x_2,\cdots,x_k]=\cdots=f[x_1,\cdots,x_k,x_0]f[x0,x1,⋯,xk]=f[x1,x0,x2,⋯,xk]=⋯=f[x1,⋯,xk,x0]

（2）由性质（1）及kkk阶均差表达式可得f[x0,x1,⋯,xk]=f[x1,x2,⋯,xk]−f[x0,x1,⋯,xk−1]xk−x0f[x_0,x_1,\cdots,x_k]=\frac{f[x_1,x_2,\cdots,x_k]-f[x_0,x_1,\cdots,x_{k-1}]}{x_k-x_0}f[x0,x1,⋯,xk]=xk−x0f[x1,x2,⋯,xk]−f[x0,x1,⋯,xk−1]

（3）若f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上存在nnn阶导数，且节点x0x_0x0，x1x_1x1，⋯\cdots⋯，xn∈[a,b]x_n\in[a,b]xn∈[a,b]，则nnn阶均差与导数的关系为f[x0,x1,⋯,xk]=f(n)(ξ)n!,ξ∈[a,b]f[x_0,x_1,\cdots,x_k]=\frac{f^{(n)}(\xi )}{n!} ,\xi\in[a,b]f[x0,x1,⋯,xk]=n!f(n)(ξ),ξ∈[a,b]这个公式可直接用罗尔定理证明。

3.均差表

均差计算可列为均差表如下：

xkx_kxk	f(xk)f(x_k)f(xk)	一阶均差	二阶均差	三阶均差	四阶均差	⋯\cdots⋯
x0x_0x0	f(x0)‾\underline{f(x_0)}f(x0)
x1x_1x1	f(x1)f(x_1)f(x1)	f[x0,x1]‾\underline{f[x_0,x_1]}f[x0,x1]
x2x_2x2	f(x2)f(x_2)f(x2)	f[x1,x2]f[x_1,x_2]f[x1,x2]	f[x0,x1,x2]‾\underline{f[x_0,x_1,x_2]}f[x0,x1,x2]
x3x_3x3	f(x3)f(x_3)f(x3)	f[x2,x3]f[x_2,x_3]f[x2,x3]	f[x1,x2,x3]f[x_1,x_2,x_3]f[x1,x2,x3]	f[x0,x1,x2,x3]‾\underline{f[x_0,x_1,x_2,x_3]}f[x0,x1,x2,x3]
x4x_4x4	f(x4)f(x_4)f(x4)	f[x3,x4]f[x_3,x_4]f[x3,x4]	f[x2,x3,x4]f[x_2,x_3,x_4]f[x2,x3,x4]	f[x1,x2,x3,x4]f[x_1,x_2,x_3,x_4]f[x1,x2,x3,x4]	f[x0,x1,x2,x3,x4]‾\underline{f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]}f[x0,x1,x2,x3,x4]
⋮\vdots⋮	⋮\vdots⋮	⋮\vdots⋮	⋮\vdots⋮	⋮\vdots⋮	⋮\vdots⋮	⋮\vdots⋮

二、牛顿插值多项式

1.牛顿插值多项式

设待插函数为f(x)f(x)f(x)，利用拉格朗日插值多项式和均差的概念可以得到f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+⋯+f[x0,x1,⋯,xn](x−x0)⋯(x−xn−1)+f[x,x0,⋯,xn]ωn+1(x)=Pn(x)+Rn(x)f(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots +f[x_0,x_1,\cdots,x_n](x-x_0)\cdots(x-x_{n-1})+f[x,x_0,\cdots,x_n]\omega _{n+1}(x)=P_n(x)+R_n(x)f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+⋯+f[x0,x1,⋯,xn](x−x0)⋯(x−xn−1)+f[x,x0,⋯,xn]ωn+1(x)=Pn(x)+Rn(x)
其中牛顿均差插值多项式:
Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+⋯+f[x0,x1,⋯,xn](x−x0)⋯(x−xn−1)P_n(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots +f[x_0,x_1,\cdots,x_n](x-x_0)\cdots(x-x_{n-1})Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+⋯+f[x0,x1,⋯,xn](x−x0)⋯(x−xn−1)
牛顿插值余项:
Rn(x)=f[x,x0,⋯,xn]ωn+1(x)R_n(x)=f[x,x_0,\cdots,x_n]\omega _{n+1}(x)Rn(x)=f[x,x0,⋯,xn]ωn+1(x)

三、牛顿插值多项式在Matlab上的实现

1.Matlab代码

function [f0,f1] = Newtown_f(x0,y0)
%Newtown_f x0,y0分别是牛顿插值法所用点的x坐标、y坐标向量
%f0 输出多项式的句柄函数形式
%f1 输出多项式的符号表达式
syms x y
N=length(x0);   %统计样本点个数
mean_difference=zeros(N);
mean_difference(:,1)=y0';
mean_difference_temp=diff(y0);  %生成用于储存均差的矩阵,并存储一阶均差
%计算i-1阶均差
for i=2:Ndelta=i-1;for j=delta+1:Nmean_difference(j,i)=mean_difference_temp(j-delta)/(x0(j)-x0(j-delta));endmean_difference_temp=diff(mean_difference(i:end,i));
end
%计算多项式
for i=0:(N-1)if i==0alpha=mean_difference(i+1,i+1);polynomial=1;f1=alpha*polynomial;elsealpha=mean_difference(i+1,i+1);polynomial=polynomial*(x-x0(i));f1=f1+alpha*polynomial;end
end
f1=simplify(f1);    %简化多项式
f0=matlabFunction(f1);

2.代码使用演示

在多项式函数 f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 上取三个样本点进行插值

%% 样本点生成
N=3;
x0=linspace(-1,1,N);
y0=x0.^2;%% 使用插值法进行计算
[f1,f2]=Newtown_f(x0,y0);%% 画图
xo_o=linspace(-1,1,500);    %生成画图用点的x值
yo_o=f1(xo_o);  %代入多项式计算画图用点的y值
plot(xo_o,yo_o);
f2 %在命令行窗口展示多项式符号表达式

上图分别为插值多项式在[−1,1][-1,1][−1,1]区间上的图像和得到插值多项式f2=x2f2=x^2f2=x2，可以看到插值多项式图像与原多项式图像保持一致。

备注

一般情况下，插值多项式所插的点越多，多项式的次数就越高，插值结果越接近原函数，但对于龙格函数，例如：f(x)=11+25x2f(x)=\frac{1}{1+25x^2}f(x)=1+25x21，会存在龙格现象，即插值次数越高，插值结果越偏离原函数的特殊情况。

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