【Python】判断多边形的形状为凸多边形还是凹多边形

凸多边形是一个内部为凸集的简单多边形。凸多边形（Convex Polygon）指如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形，其内角应该全不是优角，任意两个顶点间的线段位于多边形的内部或边上。

判断是否为凸多边形的关键在于以一边及其延长线为参照，其他各边是否在此边同旁，也可以转化为其他顶点是否位于此边同旁。观察下图可知，图左的多边形无论是哪两个顶点组成一条边，其余顶点要么都在该边及其延长线的上方，要么都在该边及其延长线的下方，即始终位于同旁，因此可以判断该多边形为凸多边形。而与之形成对比的图右中，则存在顶点位于边及其延长线两侧的情况，图中红圈和绿圈标记的顶点位于直线两侧，因此该多边形为凹多边形。

基于上述分析，我们可以总结出判断凸多边形的思路：

相邻两个顶点组成一条直线，得到该条直线的表达式
计算组成顶点外的其余顶点到1中直线的距离
判断2中的所有距离是否均为相同符号，若为相同符号则为凸多边形，否则为凹多边形

需要特别注意的是，构成多边形的点要按照顺时针或者逆时针的顺序依次排列，其顺序不能有跳跃，否则会造成误判。因此在输入多边形所有顶点坐标前，必须先确保其定点顺序依次排列。

'''
计算直线表达式
:param vertex1: 前一个顶点
:param vertex2: 后一个顶点
:return (type, param): 返回直线的类别及其描述参数
'''
def kb(vertex1, vertex2):x1 = vertex1[0]y1 = vertex1[1]x2 = vertex2[0]y2 = vertex2[1]if x1==x2:return (0, x1)      # 0-垂直直线if y1==y2:              return (1, y1)      # 1-水平直线else:k = (y1-y2)/(x1-x2)b = y1 - k*x1return (2, k, b)    # 2-倾斜直线'''
判断是否为凸多边形
:param vertexes: 构成多边形的所有顶点坐标列表，如[[0，0], [50, 0], [0, 50]]
:return convex: 布尔类型，为True说明该多边形为凸多边形，否则为凹多边形
'''
def isConvex(vertexes):# 默认为凸多边形convex = True   # 多边形至少包含三个顶点l = len(vertexes)if l<3:raise ValueError("多边形至少包含三个顶点！")# 对每两个点组成的直线做判断for i in range(l):pre = inex = (i+1)%l# 得到直线line = kb(vertexes[pre], vertexes[nex])# 计算所有点和直线的距离（可能为正也可能为负）if line[0]==0:offset = [vertex[0]-vertexes[pre][0] for vertex in vertexes]elif line[0]==1:offset = [vertex[1]-vertexes[pre][1] for vertex in vertexes]else:k, b = line[1], line[2]offset = [k*vertex[0]+b-vertex[1] for vertex in vertexes]# 计算两两距离的乘积，如果出现负数则存在两个点位于直线两侧，因此为凹多边形for o in offset:for s in offset:if o*s<0:convex = Falsebreakif convex==False:breakif convex==False:break# 打印判断结果if convex==True:print("该多边形为凸多边形！")else:print("该多边形为凹多边形！")return convex

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