图——基本的图算法（四）关键路径

1. 基本概念

（1）AOV网（Activity On Vertex Network）
AOV网是一个表示工程的有向图中，其中的顶点用来表示活动，弧则用来表示活动之间的优先关系。举个简单的例子，假定起床后可以边煮水，边刷牙洗脸，但洗脸要在刷牙后，煮好水，刷好牙洗好脸以后，就可以喝水了，这个活动的AOV图如下（其中的每个顶点都表示一个活动，而顶点之间的弧表示了活动之间的执行先后顺序）：

（2）AOE网（ Activity On Edge Network）
AOE网是一个表示工程的带权有向图，其中的顶点用来表示某个事件，弧用来表示活动，弧上的权值用来表示活动持续的时间。例如上述例子的AOE网如下：

（3）AOE网和AOV网的区别
AOV网：其顶点用来表示活动。AOE网是用来表示活动之间的制约关系。
AOE网：顶点表示事件，边表示活动，边上的权值用来表示活动持续的时间。AOV网是用来分析工程至少需要花多少时间完成，或是为了缩短时间需要加快哪些活动等问题。

（4）源点、汇点、路径长度
在AOE网中，
始点或源点：入度为0的顶点，它表示一个工程的开始；
终点或汇点：出度为0的顶点，它表示一个工程的结束；
路径长度：路径上各个活动所持续的时间之和。

（5）关键路径、关键活动
在AOE网中，从源点到汇点具有最大长度的路径称为关键路径，在关键路径上的活动称为关键活动。

2. 关键路径算法

2.1 基本思想

（1）要找出一个AOE网中的关键路径，就要先找出网里的关键活动，这些关键活动间的路径就是关键路径。

（2）判断一个活动是不是关键活动，方法是要先找到所有活动的最早开始时间和最晚开始时间，并且对它们进行比较，如果二者相等（意味着这个活动在该工程中没有时间松动），说明这个活动是关键活动。

（3）对于活动<Vi, Vj>，它最早的开始时间等于事件Vi最早的发生时间earlist[Vi]（事件v的最早发生时间用earlist[v]）。假设E[Vi]表示所有到达顶点Vi的弧的集合，len<Vi, Vj>表示活动<Vi, Vj>的持续时间，那么：

注意，这里假设顶点下标从0开始，所以Vi==0，则表示它是源点，因此最早的开始时间为0；当某个顶点不是源点，那么只有在它前面的事件都发生完后，才能轮到这个事件，所以用了max。

（4）对于活动<Vi, Vj>，它最晚的开始时间等于事件Vj最晚的发生时间减去这个活动的持续事件，即latest[Vj]-len<Vi, Vj>（事件v的最晚的发生时间用latest[v])。假设S[Vj]表示所有从顶点Vj出发的弧的集合，len<Vj, Vk>表示活动<Vj, Vk>的持续时间，那么：

2.2 算法实现

（1）数据结构

typedef struct EdgeListNode{ //边表结点int adjId;int weight;EdgeListNode* next;
};typedef struct VertexListNode{ //顶点表结点int in; //入度int data;EdgeListNode* firstadj; //指向其边表
};typedef struct GraphAdjList{ //图结构int vertexnumber; //顶点个数int edgenumber;VertexListNode vertextlist[Maximum];
};

（2）具体实现
1）由基本思路可以知道，要求一个AOE网的关键路径，步骤如下：
A. 首先初始化每个顶点的最早开始为0，然后对AOE网进行拓扑排序，在排序的过程中获取每个顶点的最早开始时间；
B. 获取拓扑排序后，初始化每个顶点的最晚开始时间为汇点的最早开始时间，并从AOE网的汇点开始，从后往前，对每个顶点找到求其最晚开始时间；
C. 遍历图中的每条边（方法是遍历图中每个顶点的边表），求其最早开始时间和最晚开始时间，如果二者相等，则这是个关键活动，将其加入关键路径中。

2）代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<map>
#include<vector>
#include<sstream>
#include<list>
#include<stdlib.h>
#include<queue>
using namespace std;#define Maximum 1000typedef struct EdgeListNode{int adjId;int weight;EdgeListNode* next;
};typedef struct VertexListNode{int in;int data;EdgeListNode* firstadj;
};typedef struct GraphAdjList{int vertexnumber;int edgenumber;VertexListNode vertextlist[Maximum];
};//拓扑排序，返回拓扑排序结果，earlist存储每个顶点的最早开始时间
vector<int> ToplogicalSort(GraphAdjList g, int *earlist) {vector<int>v; //存储拓扑排序结果queue<int>q; //存储入度为0的顶点EdgeListNode *temp;int i, j, k, ans;ans = 0;v.clear();while(!q.empty()) {q.pop();}//找出所有入度为0的顶点for(i=1; i<=g.vertexnumber; i++) {if(g.vertextlist[i].in == 0) {q.push(i);}}while(!q.empty()) {i = q.front();v.push_back(i);q.pop();ans++;temp = g.vertextlist[i].firstadj;while(temp != NULL) {k = earlist[i] + temp->weight;if(k > earlist[temp->adjId]) {earlist[temp->adjId] = k;}j = --g.vertextlist[temp->adjId].in;if(j == 0) {q.push(temp->adjId);}temp = temp->next;}}if(ans < g.vertexnumber) {v.clear();}return v;
}//求关键路径，返回存储关键路径顶点的vector
vector<int> CriticalPath(GraphAdjList g) {vector<int>ans;vector<int>path;int i, j, k, *earlist, *latest;EdgeListNode *temp;//earlist存储每个顶点的最早开始时间//latest存储每个顶点的最晚开始时间earlist = (int*)malloc(sizeof(int) * (g.vertexnumber+1));latest = (int*)malloc(sizeof(int) * (g.vertexnumber+1));path.clear();for(i=1; i<=g.vertexnumber; i++) {earlist[i] = 0;}ans = ToplogicalSort(g, earlist);for(i=1; i<=g.vertexnumber; i++) {latest[i] = earlist[ans[g.vertexnumber-1]];}for(i=g.vertexnumber; i>0; i--) {temp = g.vertextlist[i].firstadj;while(temp!=NULL) {if(latest[temp->adjId] - temp->weight < latest[i]) {latest[i] = latest[temp->adjId] - temp->weight;}temp = temp->next;}}//遍历每条边for(i=1; i<=g.vertexnumber; i++) {temp = g.vertextlist[i].firstadj;while(temp != NULL) {j = earlist[i];k = latest[temp->adjId] - temp->weight;if(j == k) { //是关键活动//把该活动的两个顶点加入pathpath.push_back(i);path.push_back(temp->adjId);}temp = temp->next;}}return path;
}

（3）测试

int main() {GraphAdjList g;EdgeListNode *e;int i, j, k;g.vertexnumber = 5;g.edgenumber = 7;for(i=1; i<=g.vertexnumber; i++) {g.vertextlist[i].data = i;g.vertextlist[i].firstadj = NULL;}g.vertextlist[1].in = 0;g.vertextlist[2].in = 1;g.vertextlist[3].in = 2;g.vertextlist[4].in = 2;g.vertextlist[5].in = 1;e = (EdgeListNode*)malloc(sizeof(EdgeListNode));e->adjId = 2; e->weight = 2; e->next = g.vertextlist[1].firstadj; g.vertextlist[1].firstadj = e;e = (EdgeListNode*)malloc(sizeof(EdgeListNode));e->adjId = 4; e->weight = 1; e->next = g.vertextlist[1].firstadj; g.vertextlist[1].firstadj = e;e = (EdgeListNode*)malloc(sizeof(EdgeListNode));e->adjId = 5; e->weight = 1; e->next = g.vertextlist[1].firstadj; g.vertextlist[1].firstadj = e;e = (EdgeListNode*)malloc(sizeof(EdgeListNode));e->adjId = 3; e->weight = 3; e->next = g.vertextlist[2].firstadj; g.vertextlist[2].firstadj = e;e = (EdgeListNode*)malloc(sizeof(EdgeListNode));e->adjId = 4; e->weight = 5; e->next = g.vertextlist[2].firstadj; g.vertextlist[2].firstadj = e;e = (EdgeListNode*)malloc(sizeof(EdgeListNode));e->adjId = 3; e->weight = 8; e->next = g.vertextlist[4].firstadj; g.vertextlist[4].firstadj = e;e = (EdgeListNode*)malloc(sizeof(EdgeListNode));e->adjId = 3; e->weight = 1; e->next = g.vertextlist[5].firstadj; g.vertextlist[5].firstadj = e;vector<int>ans;ans = CriticalPath(g);for(i=0; i<ans.size(); i+=2) {cout<<ans[i]<<"->"<<ans[i+1]<<endl;}cout<<endl;return 0;
}