[UESTC SC T3] 蛋糕

2024-04-09 12:43:14

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蛋糕

【题目描述】

今天是鲍勃的生日，爱丽丝打算做一个蛋糕送给他。
这是鲍勃的n 岁生日，所以爱丽丝的蛋糕必须是正n 边形。而且，鲍勃很喜
欢数字m，所以这个蛋糕必须放在一个正m 边形的盒子里。为了让气氛更加浪漫，爱丽丝将在蛋糕的中心插上一根蜡烛，显然，蜡烛既在蛋糕的中心，又在盒子的中心是最好的。

换句话说，爱丽丝应该使正n 边形的蛋糕能被容纳在正m 边形的盒子里，且
使其中心重合。事实上，爱丽丝已经做好了蛋糕，蛋糕是边长为1 的正n 边形，现在她想知道，正m 边形盒子的最小边长是多少。

【输入格式】

每组测试数据包含多行，以EOF 作为文件结束，每行包括两个正整数n 和m。

【输出格式】

输出包含多行，每行包含一个整数，代表最小的符合条件的正m 边形盒子的
边长，保留4 位小数。

【样例输入1】

4 8

【样例输出1】

0.5412

【样例输入2】

8 4

【样例输出2】

2.4142

【数据范围】

对于20%的数据，n,m≤100；
对于40%的数据，n,m≤10000；
对于60%的数据，n,m≤1000000；
对于80%的数据，n,m≤100000000；
对于100%的数据，n,m≤1000000000。

题解

考试的时候画了一页图，推了一个玄学规律，应该全WA的，然而居然得了80分，感谢成电不杀之恩，没有爆零orz。

正解是在n边形，m边形之间套一个lcm(n,m)lcm(n,m)lcm(n,m)边形，这样嵌套起来计算内部刚好是角顶上角，外面是边顶上边，就很好计算。

在下图中以正三角形和正五边形嵌套为例：

我们就可以推导公式如下：

OK=OL=KA2sin∠WOKOK=OL=KA2sin∠WOKOK=OL=\frac{KA}{2sin\angle WOK}
OV=OKcos∠VOLOV=OKcos∠VOLOV=OKcos\angle VOL
ST=2OVtan∠OVST=2OVtan∠OVST=2 OVtan\angle OV

最后整合一下,把其中的角用 ππ\pi替换,又已知 KA=1KA=1KA=1：

ST=cos(πlcm(n,m))tan(πm)sin(πn)ST=cos(πlcm(n,m))tan(πm)sin(πn)

ST=\frac{cos(\frac{\pi}{lcm(n,m)})tan(\frac{\pi}{m})}{sin(\frac{\pi}{n})}

代码

300+Bytes码完。。。

#include<bits/stdc++.h>
#define db long double
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m;
const db Pi=acos((db)-1);
int gcd(int a,int b)
{return !b?a:gcd(b,a%b);}
ll lcm(ll a,ll b)
{return a*b/gcd(a,b);}
void ac()
{printf("%.4Lf\n",cos(Pi/lcm(n,m))*tan(Pi/m)/sin(Pi/n));}
int main()
{while(scanf("%lld%lld",&n,&m)!=EOF)ac();return 0;
}

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