拉格朗日法建立动力学方程

本篇主要讲解一下如何用拉格朗日方程法对3r操作臂建立动力学方程。

首先说明一下操作臂的动能表达式，第i个连杆的动能k(i)可以表达为

第一个式子是连杆质心的线速度动能，第二个式子是连杆由于旋转的角速度动能，线速度动能很好求，但是角动能有点难，要仔细，角速度和线速度在这篇文章里已经写了，在此就不在求了，（角速度和线速度要仔细审核，否则。。。）。https://blog.csdn.net/weixin_45106952/article/details/118873549?spm=1001.2014.3001.5501
总动能就是各连杆动能之和：
第i个连杆势能表达

其中第二项是一个常数，即该连杆最大势能（第一项最大值）
总势能亦为个各连杆势能之和：
拉格朗日函数，即机械系统的动能和势能的差值，在此，操作臂的拉格朗日方程可表示为

操作臂的动力学方程为：

动力学方程也可写成这种形式

注意这这三个方程里面的的theta不是单指角度，它指的是变量，比如说如果是一个拉伸杆，那么它没有转角，只有轴线方向的位移，这时theta指的是位移变量了，后面求导也是对位移这个变量求导。

依旧以3r操作臂为例子https://blog.csdn.net/weixin_45106952/article/details/118851868
先计算总动能和总势能,呈下：

先求偏导，这里对theta求偏导，是将theta和theta’看作互不相干的变量

代入动力学方程

这里有个二阶偏导，注意这里是对t进行二阶偏导，方程里面的theta和theta’都要进行对t求导，和上一步求导区分开。
可求得

动力学方程一般形式为

所以可化简为：
也可使用matlab机器人工具箱验证分析，建议直接带入数值计算对比，matlab的simplify函数化简的函数和自己求得的不同(需要进行二次化简，很麻烦)，matlab代码参考这篇文章，收获颇多。
https://zhuanlan.zhihu.com/p/340718520

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