Chapter4：求解多项式的极限问题

4.求解多项式的极限问题
- 4.1 x→ax\rightarrow ax→a 时的有理函数的极限
- 4.2 x→ax\rightarrow ax→a 时的平方根的极限
- 4.3 x→∞x\rightarrow \inftyx→∞ 时的有理函数的极限
- 4.4 x→∞x\rightarrow \inftyx→∞ 时的多项式型函数的极限
- 4.5 x→−∞x\rightarrow -\inftyx→−∞ 时的有理函数的极限
- 4.6 包含绝对值的函数的极限

4.求解多项式的极限问题

多项式：anxn+an−1xn−1+⋯+a1x1+a0x0a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x^1+a_0x^0anxn+an−1xn−1+⋯+a1x1+a0x0

4.1 x→ax\rightarrow ax→a 时的有理函数的极限

两个多项式之比 p(x)q(x)\frac{p(x)}{q(x)}q(x)p(x) 称为有理函数

x→ax\rightarrow ax→a 时的有理函数的极限的求解方法
1.代入aaa后 q(x)≠0q(x) \neq 0q(x)=0，则此极限为代入aaa后的值
2.代入aaa后 q(x)=0q(x) = 0q(x)=0，则将分子、分母因式分解，而后代入aaa求出极限

例子1：

直接代入 x=2x=2x=2 得到结果 −2-2−2

例子2：

当分母p(x)≠0p(x)\neq0p(x)=0，分子q(x)=0q(x)=0q(x)=0情况下，有理函数在 x=ax=ax=a 处的各种极限

4.2 x→ax\rightarrow ax→a 时的平方根的极限

x→ax\rightarrow ax→a 时的平方根的极限的求解方法
分子分母同时乘以共轭表达式

例子：

4.3 x→∞x\rightarrow \inftyx→∞ 时的有理函数的极限

两个多项式之比 p(x)q(x)\frac{p(x)}{q(x)}q(x)p(x) 称为有理函数

多项式：anxn+an−1xn−1+⋯+a1x1+a0x0a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x^1+a_0x^0anxn+an−1xn−1+⋯+a1x1+a0x0

重要的多项式性质：
当 xxx 很大时，首项 anxna_nx^nanxn 决定一切（当 xxx 变大时，最高次数项比其他项增长得更快）
如果有一多项式 p(x)p(x)p(x)，那么当 xxx 变得越来越大时，p(x)p(x)p(x)的表现就好像只有它的首项存在一样

下面这个式子不能表达两个多项式的极限非常接近

极限描述了函数在一个定点附近的行为，而x→∞x\rightarrow \inftyx→∞ 接近无穷大的程度无法衡量，故无法描述两个极限的接近程度

x→∞x\rightarrow \inftyx→∞ 时的有理函数的极限求解方法
一般思想：看到某个多项式 p(x)p(x)p(x) 不止一项的情况下使用下式

例子：

总结：

4.4 x→∞x\rightarrow \inftyx→∞ 时的多项式型函数的极限

含有分数次数或 nnn次根的不是多项式，类似于多项式，故称多项式型
如下图三个函数为多项式型函数

x→∞x\rightarrow \inftyx→∞ 时的多项式型函数的极限求解方法
与求多项式的原理类似

例子：

4.5 x→−∞x\rightarrow -\inftyx→−∞ 时的有理函数的极限

x→−∞x\rightarrow -\inftyx→−∞ 时的多项式型函数的极限求解方法
与求多项式的原理类似

但在处理四次方根、六次方根时注意正负号

例子：

4.6 包含绝对值的函数的极限

包含绝对值的函数的极限求解方法
根据绝对值内部的符号，考虑两个或更多个不同的 xxx 的区间

例子：

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