wps生成正态分布的随机数_生成服从标准正态分布的随机数

在fft海面模拟中，需要生成服从标准生成分布的随机数(见：杨超：fft海面模拟(一))。

我们知道数构造服从目标分布的随机数发生器，一般是采用反函数法：对目标分布的CDF求反函数，则当其输入服从U(0,1)的随机数时，就返回服从目标分布的随机数。(参考pbrt第三版第13章第3节)。

不过由于正态分布的CDF无法用初等函数表达，所以上面方法走不通，需另辟蹊径。

通常使用称为Box-Muller转换(Box-Muller transform)的方法来生成服从标准正态分布的随机数(对儿)。

一，Box-Muller转换的基本形式(basic form)

设U1,U2相互独立，均服从分布U(0,1)

则X、Y相互独立且均服从标准正态分布。

证明：

U1,U2~U(0,1) 所以

。

因为

，同样，根据一元随机变量函数分布，有：

(因为

，所以

，所以 )

因为U1、U2互相独立，而

只取决于U2，R只取决于U1，所以

、R互相独立。而独立随机变量联合分布等于边缘分布之积。所以

因为

其中

所以

(因为

，所以)

所以

(注意其中积分正好是标准正态分布密度函数的积分，故积分结果为1)

同理可得：

可见X和Y均服从标准正态分布。又因可验证

，所以X,Y互相独立。

证毕。

二，Box-Muller转换的极坐标形式(polar form)

设u,v相互独立，均服从分布U(-1,1)，但拒绝掉

和

的(u,v)对儿。

其中

则X、Y相互独立且均服从标准正态分布。

证明：

实际上在Box-Muller转换的标准形式

中，作变换(*)：

即得

但问题是上述变换(*)能满足“U1,U2相互独立，均服从分布U(0,1)”吗？

验证如下：

(1)首先确认U1,U2的取值范围均为(0,1)：

如图，因为(u,v)均匀分布在单位圆内，而

故U1取值范围为(0,1)。

又由图中看出

即为辐角θ，因为θ取值范围为

，故U2取值范围为(0,1)。

(2)再看U1,U2的分布：

因为(u,v)均匀分布在单位圆内，故

。

根据二元随机变量函数分布，有：

其中

和

好求：

和

则需隐函数求导：

将

两边对v求导，得：

解得：

(因为

，所以)

同理，将

两边对u求导，可解得：

所以：

(因为

，所以)

所以

(因为U2取值范围为(0,1)，所以)

同理

故U1，U2均服从U(0,1)。

又

，故U1,U2相互独立。

证毕。

三，代码

采用极坐标形式：

public Vector2 gaussianRandomVariablePair() {

float x1, x2, w;

do {

x1 = 2f * Random.Range(0f,1f) - 1f;

x2 = 2f * Random.Range(0f,1f) - 1f;

w = x1 * x1 + x2 * x2;

} while ( w >= 1f );

w = Mathf.Sqrt((-2f * Mathf.Log(w)) / w);

return new Vector2(x1 * w, x2 * w);

}

参考：

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