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工科矢量分析公式大全
- #三重标积
- #三重矢积
- #柱坐标系
- #球坐标系
- #三系转换
- #梯度
- #散度
- #旋度
- #标函数的拉普拉斯
- #若干$\nabla$基本公式
- #若干定理
- #亥姆霍兹定理
注意事项
符号助手
- #$Einstein$求和约定
- #$Kronecker$符号 $\delta$
- #$Levi-Cevita$符号 $\varepsilon$

工科矢量分析公式大全

#三重标积

C⃗⋅(A⃗×B⃗)=∣A⃗∣∣B⃗∣∣C⃗∣⋅sin(θ)⋅cos(ϕ)=A⃗⋅(B⃗×C⃗)=B⃗⋅(C⃗×A⃗)=−C⃗⋅(B⃗×A⃗)\vec{C} \cdot ( \vec{A} \times \vec{B}) = | \vec{A} | | \vec{B} | | \vec{C} | \cdot sin(\theta) \cdot cos(\phi) = \vec{A} \cdot ( \vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B} \cdot ( \vec{C} \times \vec{A}) = - \vec{C} \cdot ( \vec{B} \times \vec{A}) C⋅(A×B)=∣A∣∣B∣∣C∣⋅sin(θ)⋅cos(ϕ)=A⋅(B×C)=B⋅(C×A)=−C⋅(B×A)

可轮换

#三重矢积

C⃗×(A⃗×B⃗)≠(C⃗×A⃗)×B⃗A⃗×(B⃗×C⃗)=(A⃗⋅C⃗)⋅B⃗−(A⃗⋅B⃗)⋅C⃗\vec{C} \times ( \vec{A} \times \vec{B}) \ne ( \vec{C} \times \vec{A} ) \times \vec{B} \\\\\ \\\ \vec{A} \times ( \vec{B} \times \vec{C}) = ( \vec{A} \cdot \vec{C} ) \cdot \vec{B} - ( \vec{A} \cdot \vec{B} ) \cdot \vec{C} C×(A×B)=(C×A)×B A×(B×C)=(A⋅C)⋅B−(A⋅B)⋅C

不满足结合律

#柱坐标系

{x=ρ⋅cosϕy=ρ⋅sinϕz=z{ρ=x2+y2ϕ=arctan(yx)z=zdS=ρ⋅dϕ⋅dzdV=ρ⋅dρ⋅dϕ⋅dz\left \{ \begin{array}{c} x=\rho \cdot cos\phi \\ y=\rho \cdot sin\phi \\ z=z \end{array} \right . \\\\\ \\\ \left \{ \begin{array}{c} \rho= \sqrt{x^2+y^2} \\ \phi = arctan(\frac{y}{x}) \\ z=z \end{array} \right. \\\\\ \\\ dS= \rho\cdot d\phi \cdot dz \\\\\ \\\ dV = \rho \cdot d\rho \cdot d\phi \cdot dz ⎩⎨⎧x=ρ⋅cosϕy=ρ⋅sinϕz=z ⎩⎨⎧ρ=x2+y2ϕ=arctan(xy)z=z dS=ρ⋅dϕ⋅dz dV=ρ⋅dρ⋅dϕ⋅dz

#球坐标系

{x=r⋅sinθ⋅cosϕy=r⋅sinθ⋅sinϕz=r⋅cosθ{r=x2+y2+z2θ=arctan(x2+y2z)ϕ=arctan(yx)dS=r2⋅sinθ⋅dθ⋅dϕdV=r2⋅sinθ⋅dr⋅dθ⋅dϕ\left \{ \begin{array}{c} x=r \cdot sin\theta \cdot cos\phi \\ y=r \cdot sin\theta \cdot sin\phi \\ z=r \cdot cos\theta \end{array} \right . \\\\\ \\\ \left \{ \begin{array}{c} r= \sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta = arctan(\frac{ \sqrt{x^2+y^2} }{z}) \\ \phi = arctan(\frac{y}{x}) \end{array} \right. \\\\\ \\\ dS= r^2\cdot sin\theta \cdot d\theta \cdot d\phi \\\\\ \\\ dV = r^2\cdot sin\theta \cdot dr \cdot d\theta \cdot d\phi ⎩⎨⎧x=r⋅sinθ⋅cosϕy=r⋅sinθ⋅sinϕz=r⋅cosθ ⎩⎪⎨⎪⎧r=x2+y2+z2θ=arctan(zx2+y2)ϕ=arctan(xy) dS=r2⋅sinθ⋅dθ⋅dϕ dV=r2⋅sinθ⋅dr⋅dθ⋅dϕ

#三系转换

[AρAϕAz]=[cosϕsinϕ0−sinϕcosϕ0001][AxAyAz][ArAθAϕ]=[sinθcosϕsinθsinϕcosθcosθcosϕcosθsinϕ−sinθ−sinϕcosϕ0][AxAyAz][ArAθAϕ]=[sinθ0cosθcosθ0−sinϕ010][AρAϕAz]\begin{bmatrix}A_\rho\\A_\phi\\A_z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}cos\phi & sin\phi & 0 \\ -sin\phi & cos\phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}A_x\\A_y\\A_z \end{bmatrix} \\\\\ \\\ \begin{bmatrix}A_r\\A_\theta\\A_\phi \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}sin\theta cos\phi &sin\theta sin\phi & cos\theta \\ cos\theta cos\phi & cos\theta sin\phi & -sin\theta\\ -sin\phi & cos\phi & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}A_x\\A_y\\A_z \end{bmatrix} \\\\\ \\\ \begin{bmatrix}A_r\\A_\theta\\A_\phi \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}sin\theta & 0 & cos\theta \\ cos\theta & 0 & -sin\phi\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}A_\rho\\A_\phi\\A_z \end{bmatrix} ⎣⎡AρAϕAz⎦⎤=⎣⎡cosϕ−sinϕ0sinϕcosϕ0001⎦⎤⎣⎡AxAyAz⎦⎤ ⎣⎡ArAθAϕ⎦⎤=⎣⎡sinθcosϕcosθcosϕ−sinϕsinθsinϕcosθsinϕcosϕcosθ−sinθ0⎦⎤⎣⎡AxAyAz⎦⎤ ⎣⎡ArAθAϕ⎦⎤=⎣⎡sinθcosθ0001cosθ−sinϕ0⎦⎤⎣⎡AρAϕAz⎦⎤

#梯度

∇f=∂f∂xex⃗+∂f∂yey⃗+∂f∂zez⃗=∂f∂ρeρ⃗+1ρ∂f∂ϕeϕ⃗+∂f∂zez⃗=∂f∂rer⃗+1r∂f∂θeθ⃗+1rsinθ∂f∂ϕeϕ⃗梯度的模为最大变化率\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{e_x}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{e_y}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z} \\\\\ \\\ = \frac{\partial f}{\partial \rho}\vec{e_\rho}+ \color{red} \frac 1 \rho \color{black}\frac{\partial f}{\partial \phi}\vec{e_\phi}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z} \\\\\ \\\ = \frac{\partial f}{\partial r}\vec{e_r}+\color{red}\frac 1r \color{black} \frac{\partial f}{\partial \theta}\vec{e_\theta}+ \color{red}\frac{1}{rsin\theta } \color{black} \frac{\partial f}{\partial \phi}\vec{e_\phi}\\\ \\ 梯度的模为最大变化率 ∇f=∂x∂fex+∂y∂fey+∂z∂fez =∂ρ∂feρ+ρ1∂ϕ∂feϕ+∂z∂fez =∂r∂fer+r1∂θ∂feθ+rsinθ1∂ϕ∂feϕ 梯度的模为最大变化率

#散度

∇⋅A⃗=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z=1ρ∂(ρAρ)∂ρ+1ρ∂(Aϕ)∂ϕ+∂(Az)∂z=1r2∂(r2Ar)∂r+1rsinθ∂(sinθAθ)∂θ+1rsinθ∂(Aϕ)∂ϕ\nabla \cdot \bm{\vec{A}} = \frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z} \\\\\ \\\ =\color{red} \frac 1 \rho \color{black} \frac{\partial (\color{red}\rho \color{black} A_\rho)}{\partial \rho}+ \color{red} \frac 1 \rho \color{black}\frac{\partial (A_\phi)}{\partial \phi}+\frac{\partial (A_z)}{\partial z} \\\\\ \\\ =\color{red} \frac{1}{ r^2} \color{black} \frac{\partial (\color{red} r^2\color{black} A_r)}{\partial r}+ \color{red}\frac{1}{rsin\theta } \color{black} \color{black} \frac{\partial (\color{red} sin\theta\color{black} A_\theta)}{\partial \theta}+ \color{red}\frac{1}{rsin\theta } \color{black} \frac{\partial (A_\phi)}{\partial \phi} ∇⋅A=∂x∂Ax+∂y∂Ay+∂z∂Az =ρ1∂ρ∂(ρAρ)+ρ1∂ϕ∂(Aϕ)+∂z∂(Az) =r21∂r∂(r2Ar)+rsinθ1∂θ∂(sinθAθ)+rsinθ1∂ϕ∂(Aϕ)

#旋度

∇×B⃗=∣ex⃗ey⃗ez⃗∂∂x∂∂y∂∂zBx⃗By⃗Bz⃗∣=1ρ∣eρ⃗ρeϕ⃗ez⃗∂∂ρ∂∂ϕ∂∂zBρ⃗ρBϕ⃗Bz⃗∣=1r2sinθ∣er⃗reθ⃗rsinθeϕ⃗∂∂r∂∂θ∂∂ϕBr⃗rBθ⃗rsinθBϕ⃗∣\nabla \times \bm{\vec{B}}= \begin{vmatrix}\vec{e_x} & \vec{e_y} & \vec{e_z} \\\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\\\ \vec{B_x} & \vec{B_y} & \vec{B_z} \end{vmatrix} \\\\\ \\\ =\color{red} \frac 1 \rho \color{black} \begin{vmatrix}\vec{e_\rho} & \color{red} \rho \color{black}\vec{e_\phi} & \vec{e_z} \\\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \phi} & \frac{\partial}{\partial z}\\\\ \vec{B_\rho} & \color{red} \rho \color{black}\vec{B_\phi} & \vec{B_z} \end{vmatrix} \\\\\ \\\ =\color{red}\frac{1}{r^2sin\theta } \color{black} \begin{vmatrix}\vec{e_r} & \color{red} r \color{black}\vec{e_\theta} & \color{red} rsin\theta \color{black}\vec{e_\phi} \\\\ \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \phi}\\\\ \vec{B_r} & \color{red} r \color{black}\vec{B_\theta} & \color{red} rsin\theta \color{black}\vec{B_\phi} \end{vmatrix} ∇×B=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ex∂x∂Bxey∂y∂Byez∂z∂Bz∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =ρ1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣eρ∂ρ∂Bρρeϕ∂ϕ∂ρBϕez∂z∂Bz∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =r2sinθ1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣er∂r∂Brreθ∂θ∂rBθrsinθeϕ∂ϕ∂rsinθBϕ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

#标函数的拉普拉斯

∇2f=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2=1ρ∂∂ρ(ρ∂f∂ρ)+1ρ2∂2f∂ϕ2+∂2f∂z2=1r2∂∂r(r2∂f∂r)+1r2sinθ∂∂θ(sinθ∂f∂θ)+1r2sin2θ∂2f∂ϕ2\nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2} \\\\\ \\\ = \color{red} \frac 1 \rho\color{black} \frac{\partial} {\partial \rho}( \color{red} \rho\color{black} \frac{\partial f}{\partial \rho})+\color{red}\frac{1}{\rho^2 } \color{black} \frac{\partial^2f}{\partial \phi^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2} \\\\\ \\\ =\color{red}\frac{1}{r^2 } \color{black}\frac{\partial} {\partial r}( \color{red} r^2\color{black} \frac{\partial f}{\partial r})+\color{red}\frac{1}{r^2sin\theta } \color{black}\frac{\partial}{\partial \theta}(\color{red} sin\theta\color{black} \frac{\partial f}{\partial \theta})+\color{red}\frac{1}{r^2sin^2\theta } \color{black} \frac{\partial^2f}{\partial \phi^2} ∇2f=∂x2∂2f+∂y2∂2f+∂z2∂2f =ρ1∂ρ∂(ρ∂ρ∂f)+ρ21∂ϕ2∂2f+∂z2∂2f =r21∂r∂(r2∂r∂f)+r2sinθ1∂θ∂(sinθ∂θ∂f)+r2sin2θ1∂ϕ2∂2f

#若干∇\nabla∇基本公式

1.梯度无旋∇×(∇f)≡0\bm1.梯度无旋 \\ \nabla \times (\nabla f) \equiv 0 1.梯度无旋∇×(∇f)≡0

2.旋度无散∇⋅(∇×F⃗)≡0\bm2.旋度无散 \\ \nabla \cdot (\nabla \times \bm{\vec{F}}) \equiv 0 2.旋度无散∇⋅(∇×F)≡0

3.旋度的旋度∇×(∇×F⃗)=∇(∇⋅F⃗)−∇2F⃗散度的梯度−并积的散度散度的梯度指向源密集的地方梯度的散度不为0是极点\bm3.旋度的旋度 \\ \nabla \times (\nabla \times \bm{\vec{F}}) = \nabla (\nabla \cdot \bm{\vec{F}}) -\nabla^2 \bm{\vec{F}} \\\\\ \\\ 散度的梯度-并积的散度\\ 散度的梯度指向源密集的地方\\ 梯度的散度不为0是极点 3.旋度的旋度∇×(∇×F)=∇(∇⋅F)−∇2F 散度的梯度−并积的散度散度的梯度指向源密集的地方梯度的散度不为0是极点

4.点乘的梯度∇(a⃗⋅b⃗)=(a⃗⋅∇)b⃗+(b⃗⋅∇)a⃗+a⃗×(∇×b⃗)+b⃗×(∇×a⃗)体现∇的矢量性与微分性\bm4.点乘的梯度 \\ \nabla (\vec{a} \cdot \vec{b} ) =(\vec{a}\cdot\nabla)\vec{b}+(\vec{b}\cdot\nabla)\vec{a}+\vec{a}\times(\nabla\times\vec{b})+\vec{b}\times(\nabla\times\vec{a}) \\\\\ \\\ 体现\nabla的矢量性与微分性 4.点乘的梯度∇(a⋅b)=(a⋅∇)b+(b⋅∇)a+a×(∇×b)+b×(∇×a) 体现∇的矢量性与微分性

5.叉乘的散度∇⋅(a⃗×b⃗)=b⃗⋅(∇×a⃗)−a⃗⋅(∇×b⃗)\bm5.叉乘的散度\\ \nabla\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{b}\cdot(\nabla\times\vec{a})-\vec{a}\cdot(\nabla\times\vec{b}) 5.叉乘的散度∇⋅(a×b)=b⋅(∇×a)−a⋅(∇×b)

6.叉乘的旋度∇×(a⃗×b⃗)=a⃗(∇⋅b⃗)−b⃗(∇⋅a⃗)+(b⃗⋅∇)a⃗−(a⃗⋅∇)b⃗\bm6.叉乘的旋度\\ \nabla\times(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{a}(\nabla\cdot\vec{b})-\vec{b}(\nabla\cdot\vec{a})+(\vec{b}\cdot\nabla)\vec{a}-(\vec{a}\cdot\nabla)\vec{b} 6.叉乘的旋度∇×(a×b)=a(∇⋅b)−b(∇⋅a)+(b⋅∇)a−(a⋅∇)b

#若干定理

1.高斯散度定理∫V∇⋅F⃗dV=∮SF⃗⋅dS⃗\bm{1.高斯散度定理} \\ \int_V^\ \nabla \cdot \bm{\vec{F}} dV = \oint_S \bm{\vec{F}} \cdot d\vec{S} 1.高斯散度定理∫V ∇⋅FdV=∮SF⋅dS

2.斯托克斯定理∫S(∇×F⃗)⋅dS=∮CF⃗⋅dl⃗\bm2.斯托克斯定理\\ \int_S^\ (\nabla \times \bm{\vec{F}} )\cdot dS = \oint_C \bm{\vec{F}} \cdot d\vec{l} 2.斯托克斯定理∫S (∇×F)⋅dS=∮CF⋅dl

3.标量格林定理∮V∇⋅(Ψ∇Φ)dV=∮S(Ψ∇Φ)⋅dS对(Ψ∇Φ)用高斯散度定理\bm3.标量格林定理\\ \oint_V \nabla \cdot (\Psi \nabla \Phi) dV = \oint_S (\Psi \nabla \Phi) \cdot dS \\\\\ \\\ 对 (\Psi \nabla \Phi) 用高斯散度定理 3.标量格林定理∮V∇⋅(Ψ∇Φ)dV=∮S(Ψ∇Φ)⋅dS 对(Ψ∇Φ)用高斯散度定理

4.矢量格林定理∮V∇⋅(P⃗×∇×Q⃗)dV=∮S(P⃗×∇×Q⃗)⋅dS对(P⃗×∇×Q⃗)用高斯散度定理\bm4.矢量格林定理\\ \oint_V \nabla \cdot (\vec{P}\times \nabla \times \vec{Q}) dV = \oint_S (\vec{P}\times \nabla \times \vec{Q}) \cdot dS \\\\\ \\\ 对 (\vec{P}\times \nabla \times \vec{Q})用高斯散度定理 4.矢量格林定理∮V∇⋅(P×∇×Q)dV=∮S(P×∇×Q)⋅dS 对(P×∇×Q)用高斯散度定理

#亥姆霍兹定理

F⃗=−∇Φ+∇×A⃗F⃗(r⃗)=−∇Φ(r⃗)+∇×A⃗(r⃗)其中Φ(r⃗)=14π∫V′∇′⋅F⃗(r⃗′)∣r⃗−r′⃗∣dV′A⃗(r⃗)=14π∫V′∇′×F⃗(r⃗′)∣r⃗−r′⃗∣dV′∫V′δ(r⃗)∣r⃗−r′⃗∣dV′=1\vec{F}=-\nabla \Phi+\nabla \times\vec{A}\\\ \\ \vec{F}(\vec{r})=-\nabla \Phi(\vec{r})+\nabla \times\vec{A}(\vec{r})\\\ \\ 其中\\\ \\ \Phi(\vec{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{V'}\frac{\nabla' \cdot\vec{F}(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r'}|}dV' \\\ \\ \vec{A}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{V'}\frac{\nabla' \times\vec{F}(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r'}|}dV' \\\ \\ \int_{V'}\frac{\delta(\vec{r})}{|\vec{r}-\vec{r'}|}dV' =1 F=−∇Φ+∇×A F(r)=−∇Φ(r)+∇×A(r) 其中 Φ(r)=4π1∫V′∣r−r′∣∇′⋅F(r′)dV′ A(r)=4π1∫V′∣r−r′∣∇′×F(r′)dV′ ∫V′∣r−r′∣δ(r)dV′=1

注意事项

工科矢量分析注意事项与结论

符号助手

#EinsteinEinsteinEinstein求和约定

{不写∑重复下标自动求和和式相乘下标不能相同a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3=∑iaibi=aibi\left \{ \begin{array}{c} 不写\sum \\ 重复下标自动求和 \\ 和式相乘下标不能相同 \end{array} \right. \\\\\ \\\ \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=\sum_i a_ib_i \color{red}= a_ib_i ⎩⎨⎧不写∑重复下标自动求和和式相乘下标不能相同 a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3=i∑aibi=aibi

#KroneckerKroneckerKronecker符号 δ\deltaδ

δij={0,i≠j1,i=j提取a⃗⋅b⃗=aibi=δijaibj(1)δij=ei⃗⋅ej⃗(2)I→→=[δ11δ12δ13δ21δ22δ23δ31δ32δ33](3)δim⋅δmj=δij(4)ei⃗=[δi1δi2δi3]\delta_{ij} = \begin{cases} 0, & i \ne j \\ 1, & i=j \end{cases} \\\\\ \\\ 提取 \\\\\ \\\ \vec{a}\cdot\vec{b}=a_ib_i \color{red}=\delta_{ij}a_ib_j\color{black} \\\\\ \\\ (1)\delta_{ij}=\vec{e_i}\cdot\vec{e_j}\\\\\ \\\ (2)\overrightarrow {\overrightarrow {I}}=\begin{bmatrix}\delta_{11} & \delta_{12} &\delta_{13}\\ \delta_{21} &\delta_{22}&\delta_{23}\\ \delta_{31} & \delta_{32} &\delta_{33}\end{bmatrix}\\\\\ \\\ (3)\delta_{im}\cdot\delta_{mj}=\delta_{ij}\\\\\ \\\ (4)\vec{e_i}=\begin{bmatrix}\delta_{i1} \\ \delta_{i2}\\\delta_{i3} \end{bmatrix} δij={0,1,i=ji=j 提取 a⋅b=aibi=δijaibj (1)δij=ei⋅ej (2)I=⎣⎡δ11δ21δ31δ12δ22δ32δ13δ23δ33⎦⎤ (3)δim⋅δmj=δij (4)ei=⎣⎡δi1δi2δi3⎦⎤

#Levi−CevitaLevi-CevitaLevi−Cevita符号 ε\varepsilonε

εijk={1,ijk=123,231,312.−1,ijk=321,213,132.0,otherwisea⃗×b⃗=εijkaibjek⃗(1)εijk=ei⃗⋅(ej⃗×ek⃗)(2)εijk=−εjik(3)εijkεlmn=∣δilδimδinδjlδjmδjnδklδkmδkn∣①εijkεmnk=δimδjn−δinδjm②εijkεmjk=2δim③εijkεijk=6④ei⃗×ej⃗=εijkek⃗\varepsilon_{ijk} = \begin{cases} 1, & i jk=123, 231, 312. \\ -1, & ijk=321, 213, 132. \\ 0,& otherwise \end{cases} \\\\\ \\\ \vec{a}\times\vec{b}\color{red}=\varepsilon_{ijk}a_ib_j\vec{e_k}\color{black}\\\\\ \\\ (1) \varepsilon_{ijk}=\vec{e_i}\cdot(\vec{e_j}\times\vec{e_k})\\\\\ \\\ (2)\varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{jik}\\\\\ \\\ (3)\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn}=\begin{vmatrix}\delta_{il} & \delta_{im} &\delta_{in}\\ \delta_{jl} &\delta_{jm}&\delta_{jn}\\ \delta_{kl} & \delta_{km} &\delta_{kn}\end{vmatrix}\\\\\ \\ ① \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{mnk}=\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm}\\\\\ \\ ② \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{mjk}=2\delta_{im}\\\\\ \\ ③ \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk}=6\\\ \\ ④ \vec{e_i}\times\vec{e_j} = \varepsilon_{ijk}\vec{e_k} εijk=⎩⎪⎨⎪⎧1,−1,0,ijk=123,231,312.ijk=321,213,132.otherwise a×b=εijkaibjek (1)εijk=ei⋅(ej×ek) (2)εijk=−εjik (3)εijkεlmn=∣∣∣∣∣∣δilδjlδklδimδjmδkmδinδjnδkn∣∣∣∣∣∣ ①εijkεmnk=δimδjn−δinδjm ②εijkεmjk=2δim ③εijkεijk=6 ④ei×ej=εijkek

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