MATLAB IIR滤波器设计函数buttord与butter

设计巴特沃斯IIR滤波器可使用butter函数和buttord函数。
第一：使用buttord函数先求得最小阶数和截止频率：[n,Wn]= buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)。
理解：上式中n代表滤波器阶数，Wn代表滤波器的截止频率，这两个参数可使用buttord函数来确定。简单来说，就是在Wp处，通带内波纹系数或者说是通带内达到最大衰减为Rp，如（3db）,而在Ws处，阻带达到最小衰减为Rs（如40db）,而我们默认求得的Wn是在(-3db)时的频率。所以：When Rp is chosen as 3 dB, the Wn in BUTTER is equal to Wp in BUTTORD.

1、buttord

函数含义：设计巴特沃思滤波器（阶数和截止频率等参数要确定）

函数使用形式： [n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)

[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')

[n，Wn] = buttord（Wp，Ws，Rp，Rs）返回数字巴特沃思滤波器的最低阶n，通带纹波不超过Rp dB，阻带衰减至少Rs dB。 Wp和Ws分别是滤波器的通带和阻带边沿频率，归一化为0到1，其中1对应于πrad / sample。还返回相应的截止频率Wn的标量（或矢量）。要设计巴特沃斯滤波器，请使用输出参数n和Wn作为butter的输入。

[n，Wn] = buttord（Wp，Ws，Rp，Rs，'s'）查找模拟巴特沃思滤波器的最小阶数n和截止频率Wn。以弧度每秒为单位指定频率 Wp和Ws。通带或阻带可以是无限的。

（1）n —最低滤波器阶数整数标

最低的滤波器阶数，以整数标量返回。

（2） Wn-截止频率
标量| 向量
截止频率，以标量或矢量形式返回。

（3） Wp —通带截止频率
标量| 二元向量

通带截止频率，指定为标量或二元向量，值在0到1之间，其中1对应于归一化的奈奎斯特频率πrad / sample。

如果Wp和Ws均为标量且Wp <Ws，则buttord返回低通滤波器的阶数和截止频率。滤波器的阻带范围为Ws至1，通带范围为0至Wp。
如果Wp和Ws均为标量且Wp> Ws，则buttord返回高通滤波器的阶数和截止频率。滤波器的阻带范围是0到Ws，通带范围是Wp到1。
如果Wp和Ws都是向量，并且由Ws指定的间隔包含由Wp指定的间隔（Ws（1）<Wp（1）<Wp（2）<Ws（2）），则buttord返回的阶次和截止频率为带通滤波器。滤波器的阻带范围从0到Ws（1），范围从Ws（2）到1。通带范围从Wp（1）到Wp（2）。
如果Wp和Ws都是向量，并且Wp指定的间隔包含Ws指定的一个（Wp（1）<Ws（1）<Ws（2）<Wp（2）），则buttord返回的阶数和截止频率为带阻滤波器。滤波器的阻带范围为Ws（1）至Ws（2）。通带范围从0到Wp（1），从Wp（2）到1。

（4）Ws —阻带截止频率
标量| 二元向量

阻带截止频率，指定为标量或二元向量，值在0到1之间，其中1对应于归一化的奈奎斯特频率πrad / sample。

数据类型：单| 双

（5）Rp-通带纹波
标量

通带纹波，指定为标量，单位为dB。

数据类型：单| 双

（6）Rs-阻带衰减
标量
阻带衰减，指定为标量，单位为dB。

数据类型：单| 双

Buttord的阶数预测公式适用于模拟和数字情况下的模拟范围。
对于数字情况，它将在估计阶数和固有频率之前将频率参数转换为s域。然后，该函数将转换回z域。

buttord最初通过将所需滤波器的通带频率转换为1 rad / second（对于低通和高通滤波器）以及–1和1 rad / second（对于带通和带阻滤波器）来开发低通滤波器原型。然后，它计算低通滤波器满足阻带规格所需的最小阶数。

举例：

对于以1000 Hz采样的数据，设计一个低通滤波器，其0至40 Hz的通带中的波纹不应超过3 dB，阻带的衰减至少应为60 dB。查找滤波器阶数和截止频率。

Wp = 40/500;
Ws = 150/500;
[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,3,60)
结果为：
n = 5
Wn = 0.0810

根据二阶部分指定滤波器，并绘制频率响应。

[z,p,k] = butter(n,Wn);
sos = zp2sos(z,p,k);
freqz(sos,512,1000)
title(sprintf('n = %d Butterworth Lowpass Filter',n))

结果为：

2、butter

[b,a] = butter(n,Wn)

[b,a] = butter(n,Wn,ftype)

[z,p,k] = butter(___)

[A,B,C,D] = butter(___)

[___] = butter(___,'s')

[b，a] = butter（n，Wn）返回归一化截止频率Wn的n阶低通数字巴特沃斯滤波器的传递函数系数。例 [b，a] = butter（n，Wn，ftype）根据ftype的值和Wn的元素数来设计低通，高通，带通或带阻Butterworth滤波器。最终的带通和带阻设计约为2n。注意：有关影响形成传递函数的数值问题的信息，请参阅限制。例 [z，p，k] = butter（___）设计一个低通，高通，带通或带阻数字巴特沃斯滤波器，并返回其零，极点和增益。该语法可以包括先前语法中的任何输入参数。例 [A，B，C，D] = butter（___）设计一个低通，高通，带通或带阻数字Butterworth滤波器，并返回指定其状态空间表示形式的矩阵。例 [___] = butter（___，'s）设计一个截止角频率为Wn的低通，高通，带通或带阻模拟巴特沃斯滤波器。

n —滤波器阶数整数标量滤波器的阶数，指定为整数标量。

数据类型：双精度

（1）Wn-截止频率
标量| 二元向量
截止频率，指定为标量或二元素矢量。截止频率是滤波器的幅度响应为1 /√2的频率。

如果Wn是标量，则butter将设计一个截止频率为Wn的低通或高通滤波器。
如果Wn是二元素矢量[w1 w2]，其中w1 <w2，则butter设计一个具有较低截止频率w1和较高截止频率w2的带通或带阻滤波器。
对于数字滤波器，截止频率必须在0到1之间，其中1对应于奈奎斯特速率-采样速率的一半或πrad / sample。
对于模拟滤波器，截止频率必须以弧度/秒表示，并且可以取任何正值。
数据类型：双精度

（2）

ftype —过滤器类型
“low” | “bandpass” | 'high'| 'stop'
过滤器类型，指定为以下之一：

“low”指定截止频率为Wn的低通滤波器。 “low”是标量Wn的默认值。
“high”指定截止频率为Wn的高通滤波器。
如果Wn是一个二元素矢量，则“ bandpass”指定2n阶的带通滤波器。当Wn具有两个元素时，默认设置为'bandpass'。
如果Wn是二元素矢量，则“ stop”指定2n阶的带阻滤波器。

（3）b，a-传递函数系数
行向量
滤波器的传递函数系数，对于低通和高通滤波器，返回为长度n + 1的行向量;对于带通和带阻滤波器，返回为2n + 1的行向量。

对于数字滤波器，传递函数用b和a表示为

对于模拟滤波器，传递函数用b和a表示为

z，p，k-零点，极点和增益
列向量，标量
滤波器的零点，极点和增益作为长度为n的两个列向量（对于带通和带阻设计为2n）和一个标量返回。

对于数字滤波器，传递函数用z，p和k表示为

A，B，C，D —状态空间矩阵
矩阵
过滤器的状态空间表示形式，以矩阵形式返回。如果对于低通和高通设计，m = n，对于带通和带阻滤波器，m = 2n，则A为m×m，B为m×1，C为1×m，D为1×1。

对于数字滤波器，状态空间矩阵通过以下方式将状态向量x，输入u和输出y相关联：

举例：

设计一个截止频率为300 Hz的6阶低通巴特沃斯滤波器，对于以1000 Hz采样的数据，其对应于rad / sample。绘制其幅度和相位响应。用它来过滤1000个样本的随机信号。

fc = 300;
fs = 1000;[b,a] = butter(6,fc/(fs/2));
freqz(b,a)

dataIn = randn(1000,1);
dataOut = filter(b,a,dataIn);

设计6阶Butterworth带阻滤波器归一化的边沿频率为rad/sample。
绘制其幅度和相位响应。用它来过滤随机数据。

[b,a] = butter(3,[0.2 0.6],'stop');
freqz(b,a)

dataIn = randn(1000,1);
dataOut = filter(b,a,dataIn);

高通巴特沃斯滤波器

设计一个9阶高通巴特沃斯滤波器。指定300 Hz的截止频率，对于以1000 Hz采样的数据，它对应于rad / sample。绘制幅度和相位响应。将零，极点和增益转换为二阶部分，以供fvtool使用。

[z,p,k] = butter(9,300/500,'high');
sos = zp2sos(z,p,k);
fvtool(sos,'Analysis','freq')

带通巴特沃斯滤波器

设计一个20阶Butterworth带通滤波器，其较低的截止频率为500 Hz，较高的截止频率为560 Hz。指定1500 Hz的采样率。使用状态空间表示。使用designfilt设计一个相同的过滤器。

[A,B,C,D] = butter(10,[500 560]/750);
d = designfilt('bandpassiir','FilterOrder',20, ...'HalfPowerFrequency1',500,'HalfPowerFrequency2',560, ...'SampleRate',1500);

将状态空间表示形式转换为二阶部分。使用fvtool可视化频率响应。

sos = ss2sos(A,B,C,D);
fvt = fvtool(sos,d,'Fs',1500);
legend(fvt,'butter','designfilt')

模拟IIR低通滤波器的比较

设计一个截止频率为2 GHz的5阶模拟Butterworth低通滤波器。乘以将频率转换为每秒弧度。计算滤波器在4096点的频率响应。

n = 5;
f = 2e9;[zb,pb,kb] = butter(n,2*pi*f,'s');
[bb,ab] = zp2tf(zb,pb,kb);
[hb,wb] = freqs(bb,ab,4096);

Design a 5th-order Chebyshev Type I filter with the same edge frequency and 3 dB of passband ripple. Compute its frequency response.

[z1,p1,k1] = cheby1(n,3,2*pi*f,'s');
[b1,a1] = zp2tf(z1,p1,k1);
[h1,w1] = freqs(b1,a1,4096);

Design a 5th-order Chebyshev Type II filter with the same edge frequency and 30 dB of stopband attenuation. Compute its frequency response.

[z2,p2,k2] = cheby2(n,30,2*pi*f,'s');
[b2,a2] = zp2tf(z2,p2,k2);
[h2,w2] = freqs(b2,a2,4096);

Design a 5th-order elliptic filter with the same edge frequency, 3 dB of passband ripple, and 30 dB of stopband attenuation. Compute its frequency response.

[ze,pe,ke] = ellip(n,3,30,2*pi*f,'s');
[be,ae] = zp2tf(ze,pe,ke);
[he,we] = freqs(be,ae,4096);

Plot the attenuation in decibels. Express the frequency in gigahertz. Compare the filters.

plot(wb/(2e9*pi),mag2db(abs(hb)))
hold on
plot(w1/(2e9*pi),mag2db(abs(h1)))
plot(w2/(2e9*pi),mag2db(abs(h2)))
plot(we/(2e9*pi),mag2db(abs(he)))
axis([0 4 -40 5])
grid
xlabel('Frequency (GHz)')
ylabel('Attenuation (dB)')
legend('butter','cheby1','cheby2','ellip')

Butterworth和Chebyshev II型滤波器具有平坦的通带和较宽的过渡带。 Chebyshev I型和椭圆滤波器的滚降速度更快，但具有通带纹波。 Chebyshev II型设计功能的输入频率设置了阻带的开始而不是通带的结束。

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