主要思想

若要解一个给定问题，我们需要解其不同部分（即子问题），再根据子问题的解以得出原问题的解。动
态规划往往用于优化递归问题，例如斐波那契数列，如果运用递归的方式来求解会重复计算很多相同的
子问题，利用动态规划的思想可以减少计算量。

动态规划法仅仅解决每个子问题一次，具有天然剪枝的功能，从而减少计算量，

一旦某个给定子问题的解已经算出，则将其记忆化存储，以便下次需要同一个子问题解之时直接查表

模板步骤

确定动态规划状态
写出状态转移方程（画出状态转移表）
考虑初始化条件
考虑输出状态
考虑对时间，空间复杂度的优化（Bonus）

例题

300. 最长上升子序列

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

class Solution:def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:if not nums:return 0dp = [1]*len(nums)for i in range(1,len(nums)):for j in range(i):if nums[i]>nums[j]:dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)return max(dp)

确定动态规划状态：使用一个数组dp来存放以序列中第i个数结尾的最长递增子序列长度
状态转移方程：比较当前dp[i]与之前所有索引产生的最长子序列长度
初始条件：初始值均为1
输出状态：dp数组的最大值
复杂度优化：二分法+动态规划

674. 最长连续递增序列

给定一个未经排序的整数数组，找到最长且连续的的递增序列，并返回该序列的长度。

class Solution:def findLengthOfLCIS(self, nums: List[int]) -> int:n=len(nums)if not nums or n<0:return 0dp=[1]*nfor i in range(1,n):if nums[i]>nums[i-1]:dp[i]=dp[i-1]+1return max(dp)

5. 最长回文子串

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。

class Solution:def longestPalindrome(self, s: str) -> str:dp = [[False]*len(s) for _ in range(len(s))]max_len = 1start = 0for j in range(1, len(s)):for i in range(j):if s[i] == s[j]:if j-i<3:dp[i][j] = Trueelse:dp[i][j] = dp[i+1][j-1]if dp[i][j]:if j-i+1>max_len:max_len = j-i+1start = ireturn s[start:start+max_len]

516. 最长回文子序列

给定一个字符串 s ，找到其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。可以假设 s 的最大长度为 1000 。

class Solution:def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:dp = [[0]*len(s) for _ in range(len(s))]max_value = 1for m in range(len(s)):dp[m][m] = 1for i in range(len(s)-1,-1,-1):for j in range(i, len(s)):if s[i] == s[j]:if j-i<3:dp[i][j] = j-i+1else:dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2else:dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])max_value = max(max_value, dp[i][j])return max_value

72. 编辑距离

给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符

class Solution:def minDistance(self, word1, word2):""":type word1: str:type word2: str:rtype: int"""n = len(word1)m = len(word2)# 有一个字符串为空串if n * m == 0:return n + m# DP 数组D = [ [0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]# 边界状态初始化for i in range(n + 1):D[i][0] = ifor j in range(m + 1):D[0][j] = j# 计算所有 DP 值for i in range(1, n + 1):for j in range(1, m + 1):left = D[i - 1][j] + 1down = D[i][j - 1] + 1left_down = D[i - 1][j - 1] if word1[i - 1] != word2[j - 1]:left_down += 1

198. 打家劫舍

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你不触动警报装置的情况下，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

class Solution:def rob(self, nums: List[int]) -> int:if len(nums) == 0:return 0if len(nums) == 1:return nums[0]if len(nums) == 2:return max(nums[1], nums[0])ans = [0]*len(nums)ans[0] = nums[0]ans[1] = max(nums[0], nums[1])for i in range(2, len(nums)):ans[i] = max(ans[i-2]+nums[i], ans[i-1])return ans[-1]

213. 打家劫舍 II

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都围成一圈，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你在不触动警报装置的情况下，能够偷窃到的最高金额。

class Solution:def rob(self, nums: List[int]) -> int:if len(nums) == 0:return 0if len(nums)<4:return max(nums)ans = [0]*len(nums)ans[0] = nums[0]ans[1] = ans[0]for i in range(2,len(nums)-1):ans[i] = max(ans[i-2]+nums[i], ans[i-1])answer = ans[-2]ans[0] = 0ans[1] = nums[1]for i in range(2,len(nums)):ans[i] = max(ans[i-2]+nums[i], ans[i-1])return max(answer, ans[-1])

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