计算机专业基础 -- 离散数学基础知识
目录
集合论
问题
集合及其运算
图论
近世代数
数理逻辑
集合论
集合论成了数学各分支的基础,也是计算机科学非常重要的基础知识。它的起源可追溯到16世纪末,主要是对数集进行了卓有成效的研究。但集合论实际发展是由19世纪70年代德国数学家康托(G. Cantor)在无穷序列和分析的有关课题的理论研究中创立的。康托对具有任意特性的无穷集合进入了深入的探讨,提出了关于基数、序数、超穷数和良序集等理论,奠定了集合论的深厚基础。因此,康托被誉为集合论的创始人。但随着集合论的发展,以及它与数学哲学密切联系所作的讨论,在20世纪初,出现了许多似是而非、自相矛盾的悖论,如康托悖论、罗素(Russell)悖论,有力冲击了或者说动摇了集合论的发展。由此,激发许多数学家、哲学家为克服这些矛盾建立了各种公理化集合论体系。
问题
问题1:毕业舞会问题
毕业舞会上,小伙子与姑娘跳舞,已知每个小伙子至少与一个姑娘跳过舞,但未能与所有姑娘跳过。同样地,每个姑娘也至少与一个小伙子跳舞,但也未能与所有的小伙子跳过舞。
证明1:在所有参加舞会的小伙与姑娘中,必可找到两个小伙子和两个姑娘,这两个小伙子中的每一个只与这两个姑娘中的一个跳过舞,而这两个姑娘中的每一个也只与这两个小伙中的一个跳过舞。
问题2:在至少有两个人的团队里,总有两个人在此团队里有相同个数的朋友?
集合及其运算
在朴素集合论体系中,“集合”是集合论中的一个原始概念,我们知道在欧氏几何中对点、线不加定义,在朴素集合论中“集合”不能严格定义。
通常把一些互不相同的东西放在一起所形成的整体就叫做一个集合。构成集合的每一个东西,称为该集合的一个元素。
康托(Cantor) 1874年所给的“集合”定义:把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集合,其中各事物称为该集合的元素。
常用大写英文字母A,B,C,...表示集合,用小写英文字母a,b,c,...,表示集合中的元素。
如果x是集合A的元素,就说x属于A,记为x∈A;如果x不是集合A的元素,就说x不属于A,记为x∉A。
(1)互异性:集合中的元素是各不相同的。
(2)无序性:集合中的元素不规定顺序。
(3)确定性:对于一个集合A来说,某一对象x或者是集合A的元素,或者不是,两者必居其一。
(4)任意性:集合的元素可以是具体的,也可以是抽象的;集合的元素可以是集合。
列举法:列出集合中的全体元素,元素之间用逗号分开,然后用花括号括起来。
描述法:当集合A是具有某种性质P的元素全体时,我们往往用下面的形式表示A。
A={x| x具有性质P}
集合间的关系:子集、真子集、包含、相等、空集∅。
以集合为元素的集合称为集族。
集合S的所有子集(包括空集Ø和S本身)形成的集族称为S的幂集,并记为2^S,或记为P(S)。
为了求出给定集合A的幂集,首先求出A的元素个数由少到多的所有子集,再将它们组成集合即可。
设集合S的元素个数|S|=n(n为自然数),则|P(S)|=| 2^S|=2^n。
2^Ø={Ø}
就一个问题来说,常称包含所考虑问题的所有集合的集合S,称为该问题的全集。
容斥原理
抽屉原理
映射、单射、双射、满射
二元关系、全关系、空关系、恒等关系、逆关系、整除关系、模n同余
自反、反自反、对称、反对称、传递
合成、幂运算、闭包(传递闭包、自反闭包、对称闭包、自反传递闭包)
等价关系、等价类、划分、商集、
偏序关系、全序关系、哈斯图、上界下界、最大元素最小元素、上确界下确界、极大元素极小元素
图论
图论是数学的一个分支,它以图为研究对象。图是由若干给定的点和连接两点的线所构成。其中,用点代表事物,用连接两点的线表示相应两个事物间具有的特定关系。
图论起源于18世纪,文字记载最早出现于瑞士数学家欧拉(L.Euler)1736年的论著中,关于解决哥尼斯堡七桥问题。
无向图、有向图、子图、同构、连通性、割点、桥、通道、回路、连通度、割集
欧拉图
哈密顿图、旅行商问题
最短路问题、树、平面图、偶图与匹配
近世代数
群、子群、变换群、置换群、循环群、子群的陪集、群的同态、环、子环、格、子格、布尔代数
数理逻辑
《面向计算机科学的数理逻辑》
命题逻辑
谓词逻辑
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