作者简介

杜雨，EasyCharts团队成员，R语言中文社区专栏作者，兴趣方向为：Excel商务图表，R语言数据可视化，地理信息数据可视化。

个人公众号：数据小魔方（微信ID：datamofang） ，“数据小魔方”创始人。

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AHP (Analytic Hierarchy Process)层次分析法是美国运筹学家Saaty教授于二十世纪80年代提出的一种实用的多方案或多目标的决策方法。其主要特征是，它合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。

层次分析法的基本思路：先分解后综合

首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。

用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤：

（1）建立层次结构模型；
（2）构造判断矩阵；
（3）层次单排序；
（4）一致性检验；
（5）层次总排序。

其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。

以下是一个情景案例：

假期你想要出去旅游，现有三个目的地（方案）：

古风古韵的西安（P1）；
天府之国的成都（P2）；
如诗如画的杭州（P3）。

假如选择的标准和依据（行动方案准则）有5个：

景色，费用，饮食，居住和旅途。

则常规思维的方式一般是：

1、先确定这些准则在心中的各自占比的大小；
2、然后就每一准则将三个地点进行比较；
3、最后将这两个层次的比较判断进行综合，做出选择。

以下是根据分析思路构建的层次分析法结构模型：

以上结构模型中，我们需要比较准侧层各个准则相对于目标的权重，同时也要比较方案层各个方案相对于准侧层每一个准则的权重。

权重的判断建立在专家打分的基础上，即通过一组打分标准，来赋予单层各个指标的相对权重。

这里的打分机制使用1~9标度法：

1代表两个元素相比，具有相同的重要性；
3代表两个元素相比，前者比后者稍重要；
5代表两个元素相比，前者比后者明显重要；
7代表两个元素相比，前者比后者极其重要；
9代表两个元素相比，前者比后者强烈重要

2，4，6，8表示上述相邻判断的中间值。

以上准则层的5个指标依次是：

景色：C1
费用：C2
居住：C3
饮食：C4
旅途：C5

相对于目标层：选择旅游地，进行两两比较打分。

    景色 费用 居住 饮食  旅途    C1  C2   C3  C4   C5

C1       1     1/2        4        3          3
C2       2      1          7        5         5
C3     1/4    1/7       1        1/2       1/3
C4     1/3    1/5       2        1          1
C5     1/3    1/5       2        1          1

构造所有相对于不同准则的方案层判断矩阵

相对于景色
     P1    p2    p3
P1   1     2     5
P2  1/2    1     2
P3  1/5   1/2    1

相对于费用
     P1    p2    p3
P1   1    1/3   1/8
P2   3     1    1/3
P3   8     3     1

相对于居住
     P1    p2    p3
P1   1     1     3
P2   1     1     3
P3  1/3    1/3   1

相对于饮食
     P1    p2    p3
P1   1     3     4
P2  1/3    1     1
P3  1/4    1     1

相对于旅途

  P1 P2  P3

P1  1     1    1/4
P2  1     1    1/4
P3  4     4     4

以下是整个层次分析法的整个建模流程：

#清空R语言环境内存

rm(list = ls())gc()

#加载包

library("readxl")library("dplyr")library("magrittr")

准则层：

C1——景色

C2——费用

C3——居住

C4——饮食

C5——旅途

方案层：

P1——西安

P2——成都

P3——杭州

准则层与方案层的判定矩阵:（专（hu）家 (luan) 打 (tian) 分 (xie) ）

#准则层判断矩阵data_C <- matrix(  c(1,2,1/4,1/3,1/3,1/2,1,1/7,1/5,1/5,4,7,1,2,3,3,5,1/2,1,1,3,5,1/3,1,1),  nrow = 5,  dimnames = list(c("C1","C2","C3","C4","C5"),c("C1","C2","C3","C4","C5")))

#景色判断矩阵data_B1 <- matrix(  c(1,1/2,1/5,2,1,1/2,5,2,1),  nrow = 3,  dimnames = list(c("P1","P2","P3"),c("P1","P2","P3")))

#费用判断矩阵data_B2 <- matrix(  c(1,3,8,1/3,1,3,1/8,1/3,1),  nrow = 3,  dimnames = list(c("P1","P2","P3"),c("P1","P2","P3")))

#居住判断矩阵data_B3 <- matrix(  c(1,1,1/3,1,1,1/3,3,3,1),  nrow = 3,  dimnames = list(c("P1","P2","P3"),c("P1","P2","P3")))

#饮食判断矩阵data_B4 <- matrix(  c(1,1/3,1/4,3,1,1,4,1,1),  nrow = 3,  dimnames = list(c("P1","P2","P3"),c("P1","P2","P3")))

#路途判断矩阵data_B5 <- matrix(  c(1,1,4,1,1,4,1/4,1/4,1),  nrow = 3,  dimnames = list(c("P1","P2","P3"),c("P1","P2","P3")))

准侧层判别过程：

1、判断矩阵归一化：

Weigth_fun <- function(data){  if(class(data) == 'matrix'){      data = data       } else {      if ( class(data) == 'data.frame' & nrow(data) == ncol(data) - 1 & is.character(data[,1,drop = TRUE])){      data = as.matrix(data[,-1])    } else if (class(data) == 'data.frame' & nrow(data) == ncol(data)) {      data = as.matrix(data)    } else {      stop('please recheck your data structure , you must keep a equal num of the row and col')    }      }  sum_vector_row    =  data %>% apply(2,sum)  decide_matrix     =  data %>% apply(1,function(x) x/sum_vector_row)   weigth_vector     =  decide_matrix %>% apply(2,sum)  result = list(decide_matrix = decide_matrix, weigth_vector  = weigth_vector/sum(weigth_vector ))  return(result)}Weigth_fun(data_C)

2、输出特征向量λ

AW_Weight <- function(data){  if(class(data) == 'matrix'){    data = data       } else {      if ( class(data) == 'data.frame' & nrow(data) == ncol(data) - 1 & is.character(data[,1,drop = TRUE])){      data = as.matrix(data[,-1])    } else if (class(data) == 'data.frame' & nrow(data) == ncol(data)) {      data = as.matrix(data)    } else {      stop('please recheck your data structure , you must keep a equal num of the row and col')    }      }  AW_Vector = data %*% Weigth_fun(data)$weigth_vector  λ = (AW_Vector/Weigth_fun(data)$weigth_vector) %>%  sum(.) %>% `/`(length(AW_Vector))  result = list(    AW_Vector = AW_Vector,    `∑AW/W`   = AW_Vector/Weigth_fun(data)$weigth_vector,    λ         =  λ  )  return(result)}AW_Weight(data_C)

3、一致性检验：

Consist_Test <- function(λ,n){  RI_refer =  c(0,0,0.52,0.89,1.12,1.26,1.36,1.41,1.46,1.49,1.52,1.54)  CI = (λ - n)/(n - 1)  CR = CI/(RI_refer[n])  if (CR <= .1){    cat(" 通过一致性检验！",sep = "
")    cat(" Wi: ", round(CR,4), "
")  } else {    cat(" 请调整判断矩阵！","
")  }  return(CR)}Consist_Test(AW_Weight(data_C)$λ,5)

通过一致性检验！

Wi:  0.0163

[1] 0.01627942

OutPut:

(利用上述各步代码，将准则层、方案层的所有权重向量、特征值及一致性检验结果输出)

#准则层：rule_Weigth_C <- Weigth_fun(data_C)$weigth_vector   #准则层特征向量rule_λ_C      <- AW_Weight(data_C)$λ                #准则层特征值CR_C      <-  Consist_Test(AW_Weight(data_C)$λ,5)  #准则层一致性检验：rule_Weigth_C1 <- Weigth_fun(data_B1)$weigth_vector   #方案层(for C1)特征向量rule_Weigth_C2 <- Weigth_fun(data_B2)$weigth_vector   #方案层(for C2)特征向量rule_Weigth_C3 <- Weigth_fun(data_B3)$weigth_vector   #方案层(for C3)特征向量rule_Weigth_C4 <- Weigth_fun(data_B4)$weigth_vector   #方案层(for C4)特征向量rule_Weigth_C5 <- Weigth_fun(data_B5)$weigth_vector   #方案层(for C5)特征向量scheme_λ_C1      <- AW_Weight(data_B1)$λ              #方案层(for C1)特征值scheme_λ_C2      <- AW_Weight(data_B2)$λ              #方案层(for C2)特征值scheme_λ_C3      <- AW_Weight(data_B3)$λ              #方案层(for C3)特征值scheme_λ_C4      <- AW_Weight(data_B4)$λ              #方案层(for C4)特征值scheme_λ_C5      <- AW_Weight(data_B5)$λ              #方案层(for C5)特征值CR_C1 <- Consist_Test(AW_Weight(data_B1)$λ,3)         #方案层(for C1)一致性检验CR_C2 <- Consist_Test(AW_Weight(data_B2)$λ,3)         #方案层(for C2)一致性检验CR_C3 <- Consist_Test(AW_Weight(data_B3)$λ,3)         #方案层(for C3)一致性检验CR_C4 <- Consist_Test(AW_Weight(data_B4)$λ,3)         #方案层(for C4)一致性检验CR_C5 <- Consist_Test(AW_Weight(data_B5)$λ,3)         #方案层(for C5)一致性检验

层次总排序：

all_matrix <- matrix(c(rule_Weigth_C1,rule_Weigth_C2,rule_Weigth_C3,rule_Weigth_C4,rule_Weigth_C5),nrow = 3)decide_result <- all_matrix %*% rule_Weigth_Cdimnames(decide_result) <- list(c("P1","P2","P3"),"score")       scoreP1 0.2990074P2 0.2454134P3 0.4555792P3(杭州) > p1（西安） > P2（成都）

最终决策结果显示，我们应该去的地方推荐优先级分别为：杭州 > 西安 > 成都

备注（因为打分数据是虚构的，所以并没有任何决策价值）

---

Python:

---

（备注：这里只给出使用Python构造模型的工具代码，具体判定过程需要自己操作）

#!/usr/bin/env python3# -*- coding: utf-8 -*-

import timeimport numpy   as npimport pandas  as pd import osfrom scrapy.exceptions import DropItemnp.random.seed(233333)os.chdir('D:/R/File') #！！！#温馨提示，这里的函数是基于pandas数据框，#如果直接构造的矩阵数组，需要微调代码！

#判定矩阵归一化

def Weight(data):    if data.shape[0] == data.shape[1] - 1 and data.iloc[:,0].dtype == 'object':        data = data.iloc[:,1:]        data.index = data.columns        elif data.shape[0] == data.shape[1]:        data.index = data.columns    else:                raise DropItem("please recheck your data structure , you must keep a equal num of the row and col")    weigth_matrix  = data.loc[:,].values    weight_vector  = weigth_matrix/np.sum(data.loc[:,].values,0)    sum_vector_col = weight_vector.sum(axis = 1)    return {    "weigth_matrix":weigth_matrix,    "weight_vector":sum_vector_col/sum_vector_col.sum()    }Weight(mydata)["weigth_matrix"]Weight(mydata)["weight_vector"]

#计算权重矩阵与特征值、特征向量def AW_Weight(data):    if data.shape[0] == data.shape[1] - 1 and data.iloc[:,0].dtype == 'object':        data = data.iloc[:,1:]        data.index = data.columns        elif data.shape[0] == data.shape[1]:        data.index = data.columns    else:        raise DropItem("please recheck your data structure , you must keep a equal num of the row and col")    AW_Vector = np.dot(data.values,Weight(mydata)["weight_vector"])    λ = (AW_Vector/Weight(mydata)["weight_vector"]).sum()/len(AW_Vector)    return dict(        AW_Vector = AW_Vector,        AW_Vector_w = AW_Vector/Weight(mydata)["weight_vector"],        λ = λ        )AW_Weight(mydata)["AW_Vector"]AW_Weight(mydata)["AW_Vector_w"]AW_Weight(mydata)["λ"]

#一致性检验def Consist_Test(λ,n):    RI_refer =  [0,0,0.52,0.89,1.12,1.26,1.36,1.41,1.46,1.49,1.52,1.54]    CI = (λ - n)/(n - 1)    CR = CI/(RI_refer[n-1])    if (CR <= 0.1):        print(" 通过一致性检验！")        print(" Wi: ", np.round(CR,4))    else:        print(" 请调整判断矩阵！","
")    return np.round(CR,4)

层次分析法虽然在多目标决策上可以很好地将定性决策定量化，但越是完美无缺的：

1~9标准打分机制是否合理（因为几乎很难区别出临界两个分值之间的区别）

专家打分如何保证专家基于同一样的评分尺度、客观公允不划水，这些都是问题。

没有完美无缺的模型，还是要具体问题具体分析，多方案交叉验证效果！

参考资料：

《层次分析法原理》——章牧

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