python range倒序_Python算法学习之堆和堆排序
什么是堆?
堆是一种完全二叉树(请你回顾下上一章的概念),有最大堆和最小堆两种。
- 最大堆: 对于每个非叶子节点 V,V 的值都比它的两个孩子大,称为 最大堆特性(heap order property) 最大堆里的根总是存储最大值,最小的值存储在叶节点。
- 最小堆:和最大堆相反,每个非叶子节点 V,V 的两个孩子的值都比它大。
堆的操作
堆提供了很有限的几个操作:
- 插入新的值。插入比较麻烦的就是需要维持堆的特性。需要 sift-up 操作,具体会在视频和代码里解释,文字描述起来比较麻烦。
- 获取并移除根节点的值。每次我们都可以获取最大值或者最小值。这个时候需要把底层最右边的节点值替换到 root 节点之后 执行 sift-down 操作。
堆的表示
上一章我们用一个节点类和二叉树类表示树,这里其实用数组就能实现堆。
仔细观察下,因为完全二叉树的特性,树不会有间隙。对于数组里的一个下标 i,我们可以得到它的父亲和孩子的节点对应的下标:
parent = int((i-1) / 2) # 取整left = 2 * i + 1right = 2 * i + 2
超出下标表示没有对应的孩子节点。
实现一个最大堆
我们将在视频里详细描述和编写各个操作
class MaxHeap(object): def __init__(self, maxsize=None): self.maxsize = maxsize self._elements = Array(maxsize) self._count = 0 def __len__(self): return self._count def add(self, value): if self._count >= self.maxsize: raise Exception('full') self._elements[self._count] = value self._count += 1 self._siftup(self._count-1) # 维持堆的特性 def _siftup(self, ndx): if ndx > 0: parent = int((ndx-1)/2) if self._elements[ndx] > self._elements[parent]: # 如果插入的值大于 parent,一直交换 self._elements[ndx], self._elements[parent] = self._elements[parent], self._elements[ndx] self._siftup(parent) # 递归 def extract(self): if self._count <= 0: raise Exception('empty') value = self._elements[0] # 保存 root 值 self._count -= 1 self._elements[0] = self._elements[self._count] # 最右下的节点放到root后siftDown self._siftdown(0) # 维持堆特性 return value def _siftdown(self, ndx): left = 2 * ndx + 1 right = 2 * ndx + 2 # determine which node contains the larger value largest = ndx if (left < self._count and # 有左孩子 self._elements[left] >= self._elements[largest] and self._elements[left] >= self._elements[right]): # 原书这个地方没写实际上找的未必是largest largest = left elif right < self._count and self._elements[right] >= self._elements[largest]: largest = right if largest != ndx: self._elements[ndx], self._elements[largest] = self._elements[largest], self._elements[ndx] self._siftdown(largest)def test_maxheap(): import random n = 5 h = MaxHeap(n) for i in range(n): h.add(i) for i in reversed(range(n)): assert i == h.extract()
实现堆排序
上边我们实现了最大堆,每次我们都能 extract 一个最大的元素了,于是一个倒序排序函数就能很容易写出来了:
def heapsort_reverse(array): length = len(array) maxheap = MaxHeap(length) for i in array: maxheap.add(i) res = [] for i in range(length): res.append(maxheap.extract()) return resdef test_heapsort_reverse(): import random l = list(range(10)) random.shuffle(l) assert heapsort_reverse(l) == sorted(l, reverse=True)
Python 里的 heapq 模块
python 其实自带了 heapq 模块,用来实现堆的相关操作,原理是类似的。请你阅读相关文档并使用内置的 heapq 模块完成堆排序。 一般我们刷题或者写业务代码的时候,使用这个内置的 heapq 模块就够用了,内置的实现了是最小堆。
Top K 问题
面试题中有这样一类问题,让求出大量数据中的top k 个元素,比如一亿个数字中最大的100个数字。 对于这种问题有很多种解法,比如直接排序、mapreduce、trie 树、分治法等,当然如果内存够用直接排序是最简单的。 如果内存不够用呢? 这里我们提一下使用固定大小的堆来解决这个问题的方式。
一开始的思路可能是,既然求最大的 k 个数,是不是应该维护一个包含 k 个元素的最大堆呢? 稍微尝试下你会发现走不通。我们先用数组的前面 k 个元素建立最大堆,然后对剩下的元素进行比对,但是最大堆只能每次获取堆顶 最大的一个元素,如果我们取下一个大于堆顶的值和堆顶替换,你会发现堆底部的小数一直不会被换掉。如果下一个元素小于堆顶 就替换也不对,这样可能最大的元素就被我们丢掉了。
相反我们用最小堆呢? 先迭代前 k 个元素建立一个最小堆,之后的元素如果小于堆顶最小值,跳过,否则替换堆顶元素并重新调整堆。你会发现最小堆里 慢慢就被替换成了最大的那些值,并且最后堆顶是最大的 topk 个值中的最小值。 (比如1000个数找10个,最后堆里剩余的是 [990, 991, 992, 996, 994, 993, 997, 998, 999, 995],第一个 990 最小)
按照这个思路很容易写出来代码:
import heapqclass TopK: """获取大量元素 topk 大个元素,固定内存 思路: 1. 先放入元素前 k 个建立一个最小堆 2. 迭代剩余元素: 如果当前元素小于堆顶元素,跳过该元素(肯定不是前 k 大) 否则替换堆顶元素为当前元素,并重新调整堆 """ def __init__(self, iterable, k): self.minheap = [] self.capacity = k self.iterable = iterable def push(self, val): if len(self.minheap) >= self.capacity: min_val = self.minheap[0] if val < min_val: # 当然你可以直接 if val > min_val操作,这里我只是显示指出跳过这个元素 pass else: heapq.heapreplace(self.minheap, val) # 返回并且pop堆顶最小值,推入新的 val 值并调整堆 else: heapq.heappush(self.minheap, val) # 前面 k 个元素直接放入minheap def get_topk(self): for val in self.iterable: self.push(val) return self.minheapdef test(): import random i = list(range(1000)) # 这里可以是一个可迭代元素,节省内存 random.shuffle(i) _ = TopK(i, 10) print(_.get_topk()) # [990, 991, 992, 996, 994, 993, 997, 998, 999, 995]if __name__ == '__main__': test()
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