题目

【模板】拉格朗日插值

拉格朗日公式

拉格朗日插值法：\[F(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}{y_k\frac{\prod\limits_{j \not= k}^{}{(x-x_j)}}{\prod\limits_{j \not= k}^{}{(x_k-x_j)}}}\]

我们先把右边那部分提出来看：\[\ell _{j}(x):=\prod _{{i=0,\,i\neq j}}^{{k}}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{{j-1}})}{(x_{j}-x_{{j-1}})}}{\frac {(x-x_{{j+1}})}{(x_{j}-x_{{j+1}})}}\cdots {\frac {(x-x_{{k}})}{(x_{j}-x_{{k}})}}\]

举个例子吧：有二次函数上的三点\(f(4)=10,f(5)=5.25,f(6)=1\),求\(f(18)\)

求出三个基本式：

\[\ell _{0}(x)={\frac {(x-5)(x-6)}{(4-5)(4-6)}}\ell _{1}(x)={\frac {(x-4)(x-6)}{(5-4)(5-6)}}\ell _{2}(x)={\frac {(x-4)(x-5)}{(6-4)(6-5)}}\]

即：
\[\begin{aligned}p(x)&=f(4)\ell _{0}(x)+f(5)\ell _{1}(x)+f(6)\ell _{2}(x)\\ &=10\cdot {\frac {(x-5)(x-6)}{(4-5)(4-6)}}+5.25\cdot {\frac {(x-4)(x-6)}{(5-4)(5-6)}}+1\cdot {\frac {(x-4)(x-5)}{(6-4)(6-5)}}\\ &={\frac {1}{4}}(x^{2}-28x+136)\end{aligned}\]

理解拉格朗日插值的做法：

对于给定的k+1个点：\((x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})\)

拉格朗日插值法的思路是找到一个\((\)在一点\(x_{j}\)取值为\(1\)，而在其他点取值都是\(0\)的\()\)多项式\(\ell _{j}(x)\)

这样，多项式\(y_{j}\ell _{j}(x)\)在点\(x_{j}\)取值为\(y_{j}\)，而在其他点取值都是\(0\)

而多项式\(L(x):=\sum _{{j=0}}^{{k}}y_{j}\ell _{j}(x)\)就可以满足

\[L(x_{j})=\sum _{{i=0}}^{{k}}y_{i}\ell _{i}(x_{j})=0+0+\cdots +y_{j}+\cdots +0=y_{j}\]

证明

而我们怎么找到\(\ell _{j}(x)\)呢？

在其它点取值为0的多项式容易找到，由于假定\(x\)两两互不相同，故只有当\(x=x_j\)时上面的取值才不等于\(0\)：

\[\begin{aligned}\\ &(x-x_{0})\cdots (x-x_{{j-1}})(x-x_{{j+1}})\cdots (x-x_{{k}})\Longrightarrow\\ &(x_{j}-x_{0})\cdots (x_{j}-x_{{j-1}})(x_{j}-x_{{j+1}})\cdots (x_{j}-x_{{k}})\end{aligned}\]

于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足“在\(x_{j}\)取值为\(1\)，而在其他点取值都是\(0\)的多项式”：

\(\ell _{j}(x):=\prod _{{i=0,\,i\neq j}}^{{k}}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{{j-1}})}{(x_{j}-x_{{j-1}})}}{\frac {(x-x_{{j+1}})}{(x_{j}-x_{{j+1}})}}\cdots {\frac {(x-x_{{k}})}{(x_{j}-x_{{k}})}}\)
这就是拉格朗日基本多项式

用此公式能优化成\(O(n^2)\)：
\(F(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}{y_k\frac{\prod\limits_{j \not= k}^{}{(x-x_j)}}{\prod\limits_{j \not= k}^{}{(x_k-x_j)}}}\)

特殊情况

一个关于\(x\)的\(n\)次多项式，当已经知道\(F(x),x\in [0,n]\)的值时，有一个特殊公式：
\[F(x)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}F(i)\frac{x(x-1)(x-2)...(x-n)}{(n-i)!i!(x-i)}\]