称球问题｜信息量｜拓展|C++代码实现｜12大小一样的球，找出其中质量不一样的球解析和代码实现

直接求解法
条件：天平、12个一样的球，其中一个不一样，用天平找出那个不一样的球并确定轻还是重，最少的次数是：3

将12个球分为三组
A：1 2 3 4
B：5 6 7 8
C：9 10 11 12

第一次称A组和B组

（1）若平衡：说明C组不正常：

第二次称C组中任意三个如：9 10 11和任意前三个

**（1.1）**若平衡则是C组中剩余那个12不平衡。
第三次称12与其他任意一个称，12在上则12轻，否则12重。

**（1.2）**若不平衡：说明 C组中被称的三个不正常；12正常，且根据倾斜可以判断不一样的球是重还是轻！
第三次称将C组中被称的三个再取两个称一下
若平衡则剩下那个不一样
若不平衡，则根据倾斜判断是哪个球！

（2）若不平衡：说明A和B组中的前八个不平衡
此时有斜率可以帮助判断后面

第二次称C组中任意三个如：9 10 11搭配B组中的8和5 6 7 4称、
组成E D称
（2.1） 若ED平衡说明A组中1 2 3不一样
第三次称1 2 3任意两个称
若一样，则剩下那个不一样（根据第一次称A组上下判断轻重，若A下则不一样的球重否则轻）
若不一样，（根据第一次称A组上下判断轻重，若A下则此组中下的球重否则轻）

（2.2） 若ED不平衡说明D中的5 6 7 4和E组中的8不一样
若AB倾斜与DE倾斜一样说明４和８不一样
第三次称　４和８中任意一个与另一个称，若平衡，则另外一个不一样根据选取得到球和剩下的那个球最初位于AB组和倾斜可判断轻重

若AB倾斜与DE倾斜不一样说明４和８不影响结果
影响的是5　6　7
在使这三个中两个称：
因为此种情况是B组不一样，根据B倾斜来判断轻重。
如上可以判断出是哪个。

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用信息论解释：
参考: http://blog.sciencenet.cn/blog-677221-669159.html.
里面大佬讲的超级详细！

信息量的公式：

H=∑-pi log pi

如果计算中的对数log是以2为底的，那么计算出来的信息就以比特（bit）为单位。
根据香农的信息概念，信息能消除不确定性，而我们在解决数学题的时候，也是要消除不确定性，得到确定的答案。并不仅仅是老鼠问题和称球问题如此，我认为大多数问题都多少是一个‘消除不确定性’ 的过程。因此，我们为何不借用香农的工具，研究研究我们的问题有多少不确定性呢？也就是说，需要多少信息量才能解决这个问题？另外，根据题目所限制的手段，最多能够得到多少信息量？有无可能完全解决这个问题？等等。

对于此问题：
12个球都不知轻重，那么每一个球都有轻/重之分，12个球就有24种可能
且未称之前这些球的轻重的概率都一样1/24
运用公式：要确定出这些球的信息量为：log24

对于秤来说：
每称一次其结果为：相等左重右轻左轻右重
其以上概率为1/3
秤能提供的信息量为log3

我们要做的是用称去求解球的信息
可以理解为秤的信息量要能得到球的信息量
即：称的次数*秤的信息量>=球的信息量
x * log3>=log24
所以x的最小值为3
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拓展
称球问题是说，用天平称k次，在n个球中找出唯一的一个重量不标准的次品球来，n最大是多少？如何找？有关这个次品球的说法，通常有3种变形：

1.已知次品球是更轻（或更重）；

2.不知次品球的轻重，找出它并确定轻重；

3.不知次品球的轻重。

利用信息熵的概念，可计算出这3种情形下n的最大值，并且帮助思考构成算法的过程：

1.已知次品球是更轻（或更重），这时n的最大值 = 3**k；

2.不知次品球的轻重，找出它并确定轻重，这时n的最大值 = （3**k-3）/2；

3、不知次品球的轻重，这时n的最大值 = （3**k-1）/2。

还有老鼠药的问题等

用信息熵求解更快！
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代码实现

#include<iostream>
#include<time.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
typedef int Status;//每次随机产生12个球的重量，11个相同，1个不同
//每次打乱顺序，并显示出来
//调用dif_Ball函数能找到12个球中不一样的那个球的位置，并表示轻重及大小！Status find_difBall(int *arr,int num_)
{int A, B, C;int t;//分组t = num_ / 3;A = B = C = 0;for (int i = 0; i < t; i++)//将12个球的质量分为3组，且能得知每组的质量！{A += arr[i];//前三个0-3B += arr[i + t];//4-7C += arr[i + 2 * t];//8-11}//首先先将AB分组秤 会有三种情况，A>B A<B A=Bif (A > B)//第一次秤A>B{//如果A>B，也就是不平衡,//将AB换元素A = (A - arr[0] - arr[1] - arr[2] + arr[4] + arr[5] + arr[6]);//新的一组为4 5 6 7B = (B-arr[4]-arr[5]-arr[6]+arr[8]+arr[9]+arr[10]);//新的一组为8 9 10 11if (A > B)//A>B第二次秤{//如果新的AB不平衡，则前三个球正常，剩下的4和8不正常if (arr[3] > arr[0])//取4号球与正常球相比 第三次秤cout << "4号球是重球，重量为：" << arr[3] << "g" << endl;//4号球与前两次秤都是重，说明不一样的球是4号球且质量大一些elsecout << "8号球是轻球，重量为：" << arr[7] << "g" << endl;//此时4号球只能是和正常球一样重，说明8号球是轻球}else if (A < B)//A<B说明5 6 7球有一个是轻球{if (arr[4] < arr[5])cout << "5号球是轻球，重量为：" << arr[4] << "g" << endl;else if(arr[4]>arr[5])cout<<"6号球是轻球，重量为：" << arr[5] << "g" << endl;elsecout << "7号球是轻球，重量为：" << arr[6] << "g" << endl;}else//A=B,说明1 2 3 号球中有质量不一样的球{if(arr[0]<arr[1])cout << "2号球是重球，重量为：" << arr[1] << "g" << endl;else if(arr[0]>arr[1])cout << "1号球是重球，重量为：" << arr[0] << "g" << endl;elsecout << "3号球是重球，重量为：" << arr[2] << "g" << endl;}}else if (A < B)//第一次秤A<B{//如果A<B，也就是不平衡,//将AB换元素A = (A - arr[0] - arr[1] - arr[2] + arr[4] + arr[5] + arr[6]);//新的一组为4 5 6 7B = (B - arr[4] - arr[5] - arr[6] + arr[8] + arr[9] + arr[10]);//新的一组为8 9 10 11if (A < B)//第二次秤A<B方向一致，球在4或8中{if (arr[3] < arr[0])cout << "4号球是轻球，重量为：" << arr[3] << "g" << endl;elsecout << "8号球是重球，重量为：" << arr[7] << "g" << endl;}else if (A > B)//5 6 7不正常，且偏重{if(arr[4] > arr[6])cout << "5号球是重球，重量为：" << arr[4] << "g" << endl;else  if(arr[4]<arr[6])cout << "7号球是重球，重量为：" << arr[6] << "g" << endl;elsecout << "6号球是重球，重量为：" << arr[5] << "g" << endl;}else//123中有轻球{if (arr[0]<arr[1])cout << "1号球是轻球，重量为：" << arr[0] << "g" << endl;else if (arr[0]>arr[1])cout << "2号球是轻球，重量为：" << arr[1] << "g" << endl;elsecout << "3号球是轻球，重量为：" << arr[2] << "g" << endl;}}else//(A=B){int E, F;E = arr[8] + arr[9] + arr[10];F = arr[0]+arr[1]+arr[2];if (E > F)//重球{if (arr[9] > arr[8])cout << "10号球是重球，重量为：" << arr[9] << "g" << endl;else if(arr[9]<arr[8])cout << "9号球是重球，重量为：" << arr[8] << "g" << endl;elsecout << "11号球是重球，重量为：" << arr[10] << "g" << endl;}else if (E < F){if (arr[9] > arr[8])cout << "9号球是轻球，重量为：" << arr[8] << "g" << endl;else if (arr[9]<arr[8])cout << "10号球是轻球，重量为：" << arr[9] << "g" << endl;elsecout << "11号球是轻球，重量为：" << arr[10] << "g" << endl;}else{if(arr[11]>arr[0])cout << "12号球是重球，重量为：" << arr[11] << "g" << endl;elsecout << "12号球是轻球，重量为：" << arr[11] <<"g"<< endl;}}return 0;
}Status main()
{//int i;srand(time(NULL));//rand函数加上此可以每次产生不一样的值int Ball[12];int num = rand() % 99+ 1;//产生一个值在1-100之间的值，令数组所有元素都为该值。for (int i = 0; i < 12; i++){Ball[i] = num;}int a = rand() % 11 + 0;//产生一个0-11之间的值，并随机赋予数组0-11之中的元素Ball[a] = rand() % 99 + 1;if (Ball[a] == Ball[a + 1] && Ball[a] == Ball[a - 1])//如果其中一个值与另外的值相等，则重新来过{Ball[a] = rand() % 99 + 1;}cout << "显示所有球重量：" << endl;for (int i = 0; i < 12; i++)//产生之后在屏幕上显示出所有的元素{cout << Ball[i] << "g ";}cout << endl;cout << endl;cout << "找出那个不一样的球并显示其重量！" << endl;int dif_Ball = find_difBall(Ball, 12);//调用该函数找出不一样的值//cout << dif_Ball << "是不一样的那个球" << endl;return 0;}

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