图形学数学基础之1D采样分布计算方法Inverse Method
作者：i_dovelemon
日期：2017/09/04
来源：CSDN
主题：Rendering Equation, Probability Density Function, Cumulative Density Function
引言
前面几篇文章讲解了Importance Sampling的一些理论知识。自此我们知道了，重要性采样的核心在于根据被采样函数的重要性程度，合理的分布样本，在重要性大的地方样本数量要多，在重要性小的地方，样本数量可以减少。而这个分布可以根据被采样函数的PDF来得出。在了解了这些基本知识之后，我们就需要通过实际的采样操作来对Rendering Equation进行求解。而在Importance Sampling中，最重要的操作莫过于确定采样点的分布。后面的文章将陆陆续续为大家讲解，如何通过已知的Rendering Equation的PDF（因为大部分光照模型被提出的时候，模型的作者都会给出采样策略，得出PDF），求出在该PDF下的采样分布。
今天先来给大家讲解对于1D的情况，如何根据PDF进行采样。这个情况虽然不是最终的操作，但是却是最终操作中一个很重要的部分，所以有必要先了解下。
累积密度函数（Cumulative Density Function, CDF）
在讲解实际的求法之前，先来了解一个新名词-累积密度函数。拿摇骰子举例。我们知道每一个骰子点数出现的概率都为16\frac{1}{6}.那么摇一次骰子，点数小于等于4的概率为46\frac{4}{6}，而这个值就可以认为是摇骰子在小于等于4时候的累积密度函数P(4)=46P(4) = \frac{4}{6}.数学上来说，累积密度函数是概率密度函数的积分，及
P(x) = \int_a^xp(x)dx其中，a为概率密度函数 p(x)p(x)的下限。
Inverse Method
如果，我们已知一个离散随机变量X的概率密度函数PDF的函数图如下所示：
我们可以简单的将这个离散的概率密度函数，一个一个堆叠起来，形成下面这张图：
再得到这样一个累积分布函数图之后，我们产生一个均匀随机变量 ξ\xi，它的值范围在[0,1]里面，我们将得到的新值投影到上图中，得到如下的图：
这样，我们就得到了一个映射关系 ξ=P(xi)\xi = P(xi)，其中 ξ\xi就是均匀分布随机变量，就是上图中的xi，而 P(xi)P(xi)就是此例子中随机变量X的累积密度函数。由于 ξ\xi在[0,1]的范围里面是均匀分布的，而累积密度函数的最大值（也就是上图中最右边那堆累积的值）为1，所以很自然的就能够将一个均匀分布的随机变量，映射到另外一个非均匀分布的随机变量X上。根据公式
\xi = P(xi)我们就可以得到新的采样分布点
xi = P^{-}(\xi)，这里的 P−P^{-}表示的就是函数 PP的逆，就是章节名词中Inverse的由来。
上面举的例子是一个离散的情况，试着将概率密度函数的分块无限的变小，那么就得到了一个平滑的曲线，同时将累积密度函数中的分块无限的表小，也将得到一个平滑的曲线，同样的方法也适应。
步骤
- 带入公式xi=P−(ξ)xi = P^{-}(\xi)，求出在新随机变量X下的采样数
总结
这里讲解的情况十分的简单，但是理解了这个，将为后面更加复杂的操作，提供基础，所以大家好好的理解下这里的知识，后面会在此基础上和大家讲解，如何根据一个多维的概率密度函数，求出它的采样点。
参考文献
[1] Physically Based Rendering From Theory to Implementation
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