一、提要

连续概率密度函数究竟有多少，应该有无穷多。在诸多分布函数中，高斯分布可能是最著名的。然而，有没有类似于高斯函数的分布，而形式上不是指数函数的呢？回答是有，柯西分布就是一种。

二、柯西分布的几何解释

柯西分布，也称为柯西-洛伦兹分布或洛伦兹分布，是描述共振行为的连续分布。它还描述了以随机角度倾斜的线段切割 x 轴的水平距离分布。如图：我们从原点引出射线，相邻射线角度相等，这些射线与平行于x轴的直线S有交点，这些交点在S线上的密度是不同的，显然，在90°的附近密度最大。（目测）

Cauchy Distribution -- from Wolfram MathWorld

让 θ 表示具有固定旋转点的线与垂直轴所成的角度，如图所示。然后

$tan\Theta = \frac{x}{b}$ (1)

$\Theta = tan^{-1} \frac{x}{b}$ (2)

$d\Theta = \frac{1}{1+\frac{x^2}{b^2}}\frac{dx}{b} =\frac{bdx}{b^2+x^2}$ (3）

$\frac{d\theta }{\pi } =\frac{1}{ \pi } \frac{bdx}{b^2+x^2}$ （4）

将（4）分别取积分：

显然，左边是对 $\[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 上均匀分布积分，后者是对某个函数在整个数轴积分，两个都是1；显然都能构成概率密度函数。（注意概率密度函数的三个要素）

后者的概率密度函数就是柯西分布。即：

$f(x) = \frac{1}{ \pi } \frac{b }{b^2+x^2}$

更一般的写法是：

密度函数和分布函数的曲线：

其中 b 是半峰半宽，m 是统计中位数。在关于的图示中，m=0。Cauchy 分布在 Wolfram 语言中实现为 CauchyDistribution[m, Gamma/2].

三、性质

柯西分布的均值、方差都不存在！。下面我们使用numpy对它进行抽样，并和标准正态分布进行对照。

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
cnt=1000 #抽样1000个样本点
x=np.random.standard_cauchy(cnt)
y=np.random.randn(cnt)
plt.figure()
plt.subplot(2,1,1)
plt.hist(x,100,density=True)
plt.legend(['Cauchy'])plt.subplot(2,1,2)
plt.hist(y,100,density=True)
plt.legend(['Gauss'])
plt.show()

结果图：

四、结论

柯西分布的取值范围非常广，很大的值也有一定概率取到，因而柯西分布也称为heavy-tail distribution。并且相比于gaussian，概率密度的最大取值只有0.1，就是x=0的那个地方。

而高斯分布的取值就集中很多，0处的概率密度为0.6左右。

再有，在量子世界，粒子和粒子距离很远，比如，电子到原子核的距离，就好比一个汽车到三千公里外的一个城市距离，因此，要显著描述电子的位置分布，只能是柯西-洛伦兹分布，不能用高斯分布刻画，因为高斯分布尺度不够，信号太弱，噪声将把电子的电磁能量淹没，模型无效。

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