题目：

8.8. In the EXACT 4SAT problem, the input is a set of clauses, each of is a disjunction of exactly four literals, and such that each variables occurs at most once in each clause. The goal is to find a satisfying assignment, if one exists. Prove the EXACT 4SAT is NP-complete.

 

解答：

这道题要求我们证明精确4SAT问题是NP完全的，精确4SAT和SAT是类似的，但是多了约束条件，我们都知道SAT是由多个子句组成的，每个子句里有若干个文字，而精确4SAT要求每个子句必须包含4个文字，且这4个文字不能重复。

 

通过上课知道要证明一个问题是NP-完全问题，需要证明以下两点：

1. 它是一个NP问题，且

2. 其他属于NP的问题都可归约成它。

 

先证明精确4SAT是NP的。首先，给出一个精确4SAT可能的解，我们可以在多项式时间验证这个解是否正确，所以精确4SAT是NP的。

 

后证明精确4SAT是NP完全的。要证明精确4SAT是NP完全，可以通过将一个已知的NP完全问题归约成精确4SAT。

 

我们都知道3SAT是NP完全的，在3SAT中，每个子句最多有3个文字，而且是可以重复的。

 

我们可以通过以下2步将3SAT问题转换成精确4SAT问题：

1. 对于3SAT的每个子句，如果存在重复的文字，我们可以只保留其中一个；如果同时存在x和x¯这两种文字，那么这两个文字必定有一个为true，所以这一子句必定为true，这一子句不会影响最终结果，可以直接去掉。

2. 这时候在剩下的子句中，每个子句包含的文字数量可以是1、2或者3。我们需要加入无关变量来将其扩充到4个文字。

对于包含3个文字的子句，如：

(x⋁y⋁z) (式1)

 

我们可以加入无关变量n，得到：

(x⋁y⋁z⋁n)(x⋁y⋁z⋁n¯) (式2)

 

因为n和n¯之间必定有一个为false，所以要使得式2为true，式1也必须为true。所以精确4SAT的解也满足3SAT。

而对于包含2个文字的子句，可以用类似的方法先扩充到3个文字，再扩充到4个文字；对于只有1个文字的子句也类似。

这个从3SAT到精确4SAT的问题转换过程也是多项式时间内可以完成的。

当在精确4SAT中找到合适的解之后，我们去掉无关变量剩下的解就是3SAT的解，这也是可以在多项式时间内完成的。

所以，3SAT问题可以转化成精确4SAT问题。

 

综上所述，3SAT问题可以归约为精确4SAT问题，由于3SAT是NP完全的，所以精确4SAT。也是NP完全的。

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