三维导热问题的ADI-TDMA算法

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基本原理

在上一篇文章，讲述了二维导热问题采用交替方向隐式方法[1]的求解过程。对于二维问题，Peaceman-Rachford ADI格式是无条件稳定的。然而，该格式对于三维问题是条件稳定的，其稳定条件为：

aΔt[1Δx2+1Δy2+1Δz2]≤1.5a\Delta t[\frac{1}{\Delta x^2}+\frac{1}{\Delta y^2}+\frac{1}{\Delta z^2}]\le 1.5 aΔt[Δx21​+Δy21​+Δz21​]≤1.5

可见该格式对时间步长Δt\Delta tΔt的限制很严格。相比之下，Brian ADI格式则是绝对稳定的，故可以选取较大的时间步长，同时每一时间步的计算量较小，可大幅加快计算速度。

下面介绍Brian ADI格式下三维非稳态导热方程的求解过程，求解过程中涉及两个温度中间量：UUU和VVV。

基于有限体积法的全隐离散方程可表示为：
aP0(TP−TP0)=aE(TE−TP)−aW(TP−TW)+aF(TF−TP)−aB(TP−TB)+aN(TN−TP)−aS(TP−TS)+SΔxΔyΔza_P^0(T_P-T_P^0)=a_E(T_E-T_P)-a_W(T_P-T_W)+a_F(T_F-T_P)-a_B(T_P-T_B)+a_N(T_N-T_P)-a_S(T_P-T_S)+S\Delta x\Delta y\Delta z aP0​(TP​−TP0​)=aE​(TE​−TP​)−aW​(TP​−TW​)+aF​(TF​−TP​)−aB​(TP​−TB​)+aN​(TN​−TP​)−aS​(TP​−TS​)+SΔxΔyΔz

(1)沿xxx方向求解：

先取Δt/2\Delta t/2Δt/2的时间步长，对x方向做隐式处理，y、z方向取温度场T0T^0T0的值，求解温度场的中间量UUU，则全隐离散方程可改成：

aP0(UP−TP0)=aE(UE−UP)−aW(UP−UW)+aF(TF0−TP0)−aB(TP0−TB0)+aN(TN0−TP0)−aS(TP0−TS0)+SΔxΔyΔza_P^0(U_P-T_P^0)=a_E(U_E-U_P)-a_W(U_P-U_W)+a_F(T_F^0-T_P^0)-a_B(T_P^0-T_B^0)+a_N(T_N^0-T_P^0)-a_S(T_P^0-T_S^0)+S\Delta x\Delta y\Delta z aP0​(UP​−TP0​)=aE​(UE​−UP​)−aW​(UP​−UW​)+aF​(TF0​−TP0​)−aB​(TP0​−TB0​)+aN​(TN0​−TP0​)−aS​(TP0​−TS0​)+SΔxΔyΔz

整理后得到：

(aP0+aE+aW)UP=aEUE+aWUW+(aP0−aF−aB−aN−aS)TP0+aFTF0+aBTB0+aNTN0+aSTS0+SΔxΔyΔz(a_P^0+a_E+a_W)U_P=a_EU_E+a_WU_W+(a_P^0-a_F-a_B-a_N-a_S)T_P^0+a_FT_F^0+a_BT_B^0+a_NT_N^0+a_ST_S^0+S\Delta x\Delta y\Delta z (aP0​+aE​+aW​)UP​=aE​UE​+aW​UW​+(aP0​−aF​−aB​−aN​−aS​)TP0​+aF​TF0​+aB​TB0​+aN​TN0​+aS​TS0​+SΔxΔyΔz

在上式中，除了UPU_PUP​，UEU_EUE​和UWU_WUW​，其他量都是已知的。令aP=aP0+aE+aWa_P=a_P^0+a_E+a_WaP​=aP0​+aE​+aW​，D=(aP0−aF−aB−aN−aS)TP0+aFTF0+aBTB0+aNTN0+aSTS0+SΔxΔyΔzD=(a_P^0-a_F-a_B-a_N-a_S)T_P^0+a_FT_F^0+a_BT_B^0+a_NT_N^0+a_ST_S^0+S\Delta x\Delta y\Delta zD=(aP0​−aF​−aB​−aN​−aS​)TP0​+aF​TF0​+aB​TB0​+aN​TN0​+aS​TS0​+SΔxΔyΔz，则上式可以简化为：

aPUP=aEUE+aWUW+Da_PU_P=a_EU_E+a_WU_W+D aP​UP​=aE​UE​+aW​UW​+D

采用沿xxx方向的TDMA可以求得温度场中间量UUU。

(2)沿yyy方向求解：

对yyy方向做隐式处理，xxx方向取求得的中间量UUU的值，zzz方向取温度场T0T^0T0的值，求解温度场的第二个中间量VVV，则全隐离散方程可改成：

aP0(VP−TP0)=aE(UE−UP)−aW(UP−UW)+aF(VF−VP)−aB(VP−VB)+aN(TN0−TP0)−aS(TP0−TS0)+SΔxΔyΔza_P^0(V_P-T_P^0)=a_E(U_E-U_P)-a_W(U_P-U_W)+a_F(V_F-V_P)-a_B(V_P-V_B)+a_N(T_N^0-T_P^0)-a_S(T_P^0-T_S^0)+S\Delta x\Delta y\Delta z aP0​(VP​−TP0​)=aE​(UE​−UP​)−aW​(UP​−UW​)+aF​(VF​−VP​)−aB​(VP​−VB​)+aN​(TN0​−TP0​)−aS​(TP0​−TS0​)+SΔxΔyΔz

整理后得到：

(aP0+aF+aB)VP=aFVF+aBVB+(aP0−aN−aS)TP0+aNTN0+aSTS0−(aE+aW)UP+aEUE+aWUW+SΔxΔyΔz(a_P^0+a_F+a_B)V_P=a_FV_F+a_BV_B+(a_P^0-a_N-a_S)T_P^0+a_NT_N^0+a_ST_S^0-(a_E+a_W)U_P+a_EU_E+a_WU_W+S\Delta x\Delta y\Delta z (aP0​+aF​+aB​)VP​=aF​VF​+aB​VB​+(aP0​−aN​−aS​)TP0​+aN​TN0​+aS​TS0​−(aE​+aW​)UP​+aE​UE​+aW​UW​+SΔxΔyΔz

在上式中，除了VPV_PVP​，VFV_FVF​和VBV_BVB​，其他量都是已知的。令aP=aP0+aF+aBa_P=a_P^0+a_F+a_BaP​=aP0​+aF​+aB​，D=(aP0−aN−aS)TP0+aNTN0+aSTS0−(aE+aW)UP+aEUE+aWUW+SΔxΔyΔzD=(a_P^0-a_N-a_S)T_P^0+a_NT_N^0+a_ST_S^0-(a_E+a_W)U_P+a_EU_E+a_WU_W+S\Delta x\Delta y\Delta zD=(aP0​−aN​−aS​)TP0​+aN​TN0​+aS​TS0​−(aE​+aW​)UP​+aE​UE​+aW​UW​+SΔxΔyΔz，则上式可以简化为：

aPVP=aFVF+aBVB+Da_PV_P=a_FV_F+a_BV_B+D aP​VP​=aF​VF​+aB​VB​+D

采用沿yyy方向的TDMA可以求得温度场中间量VVV。

(3)沿zzz方向求解：

对zzz方向做隐式处理，xxx方向取仍取步骤(1)中求得的中间量UUU的值，yyy方向取步骤(2)求得的中间量VVV的值，求解下一时刻温度场T1T^1T1，则全隐离散方程可改成：

aP0(TP1−VP)=aE(UE−UP)−aW(UP−UW)+aF(VF−VP)−aB(VP−VB)+aN(TN1−TP1)−aS(TP1−TS1)+SΔxΔyΔza_P^0(T_P^1-V_P)=a_E(U_E-U_P)-a_W(U_P-U_W)+a_F(V_F-V_P)-a_B(V_P-V_B)+a_N(T_N^1-T_P^1)-a_S(T_P^1-T_S^1)+S\Delta x\Delta y\Delta z aP0​(TP1​−VP​)=aE​(UE​−UP​)−aW​(UP​−UW​)+aF​(VF​−VP​)−aB​(VP​−VB​)+aN​(TN1​−TP1​)−aS​(TP1​−TS1​)+SΔxΔyΔz

整理后得到：

(aP0+aN+aS)TP1=aNTN1+aSTS1+(aP0−aF−aB)VP0+aFVF+aBVB−(aE+aW)UP+aEUE+aWUW+SΔxΔyΔz(a_P^0+a_N+a_S)T_P^1=a_NT_N^1+a_ST_S^1+(a_P^0-a_F-a_B)V_P^0+a_FV_F+a_BV_B-(a_E+a_W)U_P+a_EU_E+a_WU_W+S\Delta x\Delta y\Delta z (aP0​+aN​+aS​)TP1​=aN​TN1​+aS​TS1​+(aP0​−aF​−aB​)VP0​+aF​VF​+aB​VB​−(aE​+aW​)UP​+aE​UE​+aW​UW​+SΔxΔyΔz

在上式中，除了TP1T_P^1TP1​，TF1T_F^1TF1​和TB1T_B^1TB1​，其他量都是已知的。令aP=aP0+aN+aSa_P=a_P^0+a_N+a_SaP​=aP0​+aN​+aS​，D=(aP0−aF−aB)VP0+aFVF+aBVB−(aE+aW)UP+aEUE+aWUW+SΔxΔyΔzD=(a_P^0-a_F-a_B)V_P^0+a_FV_F+a_BV_B-(a_E+a_W)U_P+a_EU_E+a_WU_W+S\Delta x\Delta y\Delta zD=(aP0​−aF​−aB​)VP0​+aF​VF​+aB​VB​−(aE​+aW​)UP​+aE​UE​+aW​UW​+SΔxΔyΔz，则上式可以简化为：

aPTP1=aNTN1+aSTS1+Da_PT_P^1=a_NT_N^1+a_ST_S^1+D aP​TP1​=aN​TN1​+aS​TS1​+D

采用沿zzz方向的TDMA可以求得下一时刻的温度场T1T^1T1。

边界节点的处理方式与上述过程相似，主要区别在于该节点的离散方程中未知项少了一项，例如对于顶部对流边界，aNa_NaN​的取值得改为αΔxΔy\alpha\Delta x\Delta yαΔxΔy，TNT_NTN​由未知的待求解量改为已知量TfT_fTf​。

求解程序

下面设计一个算例，并通过Fortran程序给出其求解过程：

有一个长600mm，宽400mm，高200mm的矩形计算域。计算域内材料的密度为2500kg/m3，热容为1372J/(kg·K)。含内热源，热生成率恒定为1050J/(m3·s)。导热系数为温度的多项式函数：

λ=−1.13588×10−15T5+3.25358×10−12T4−3.25305×10−9T3+1.32926×10−6T2−9.27637×10−5T+1.04478\lambda=-1.13588\times 10^{-15}T^5+3.25358\times 10^{-12}T^4-3.25305\times 10^{-9}T^3+1.32926\times 10^{-6}T^2-9.27637\times 10^{-5}T+1.04478 λ=−1.13588×10−15T5+3.25358×10−12T4−3.25305×10−9T3+1.32926×10−6T2−9.27637×10−5T+1.04478

计算域的初始温度为1500℃，外表面与环境进行对流换热，其中顶部对流给热系数α1\alpha_1α1​为200W/(m2·K)，底部、左右侧和前后侧的对流给热系数α2\alpha_2α2​为80W/(m2·K)，环境温度TfT_fTf​为20℃。模拟的物理时间长度为3h。

采用均匀结构化网格，每个网格节点的尺寸为2mm×2mm×2mm。由于该算例的模型沿yOzyOzyOz面、zOxzOxzOx是对称的，实际计算域可以只取左后半部分，即选取的计算域尺寸为300mm×200mm×200mm，网格节点数量为151×101×101。计算域右侧面、前侧面作为对称边界处理，右侧面上TE=TWT_E=T_WTE​=TW​，aE=aWa_E=a_WaE​=aW​；前侧面上TF=TBT_F=T_BTF​=TB​，aF=aBa_F=a_BaF​=aB​。

在选取时间步长时，由于非稳态导热随着时间的进行，会趋向于稳态，刚开始时温度变化率会很大，随后则会大幅减小，本算例选取时间步长的准则是使选定的时间步长内最大温度变化幅度不超过10℃，这样刚开始时间步长会很小，随后则会变得很大。

计算过程中选取了8个采样点，并设定每隔5分钟输出一次这8个采样点的温度值。

选用的坐标系如下：

求解程序如下，模拟用到的参数在网格、材料、边界条件、初始条件、求解控制模块中通过常量定义出来，以便于参数的调整：

module meshimplicit nonereal, parameter :: length = 300e-3, width = 200e-3, height = 200e-3real, parameter :: delta_X = 2e-3, delta_Y = 2e-3, delta_Z = 2e-3
end module meshmodule materialimplicit nonereal, parameter :: rho = 2500, Cp = 1372, S = 1050
end module materialmodule boundary_conditionimplicit nonereal, parameter :: alpha1 = 300, alpha2 = 80real, parameter :: Tf = 20
end module boundary_conditionmodule initial_conditionimplicit nonereal, parameter :: T0 = 1500
end module initial_conditionmodule solution_controlimplicit nonereal, parameter :: time_length = 180 * 60real, parameter :: sampling_interval = 5 * 60real, parameter :: max_deltaT_per_step = 10real, dimension(8) :: sample_points_X = (/40e-3, 300e-3, 40e-3, 300e-3, 40e-3, 300e-3, 40e-3, 300e-3/)real, dimension(8) :: sample_points_Y = (/100e-3, 100e-3, 170e-3, 170e-3, 100e-3, 100e-3, 170e-3, 170e-3/)real, dimension(8) :: sample_points_Z = (/100e-3, 100e-3, 100e-3, 100e-3, 170e-3, 170e-3, 170e-3, 170e-3/)integer :: spIndex(8,3)
end module solution_controlprogram TDMAuse meshuse materialuse solution_controlimplicit noneinteger :: Nx, Ny, Nz!确定X、Y方向的网格节点数量Nx = length / delta_X + 1Ny = width / delta_Y + 1Nz = height / delta_Z + 1!根据采样点位置获得采样点在网格节点中的索引spIndex(:,1) = floor(sample_points_X / delta_X + 1)spIndex(:,2) = floor(sample_points_Y / delta_Y + 1)spIndex(:,3) = floor(sample_points_Z / delta_Z + 1)!开始计算call calculate(Nx, Ny, Nz)end program TDMAsubroutine calculate(Nx, Ny, Nz)use meshuse materialuse boundary_conditionuse initial_conditionuse solution_controlimplicit noneinteger, intent(in) :: Nx, Ny, Nzinteger :: ireal :: current_time, current_sampling_time, delta_Taureal, dimension(0:Nx+1,0:Ny+1,0:Nz+1) :: T, U, V, T1, delta_Treal, dimension(Nx,Ny,Nz) :: lambda, aP0, aE, aW, aF, aB, aN, aS, aP, Sv, D, Dx, P, Qreal :: kx(Ny,Nz), ky(Nx,Nz),kz(Nx,Ny)real :: max_delta_T, max_ratereal :: tStart, tEnd!初始化系数矩阵AaP0 = 0aE = 0aW = 0aF = 0aB = 0aN = 0aS = 0!初始化温度矩阵T = TfT(1:Nx,1:Ny,1:Nz) = T0U = TfV = TfT1 = Tf!初始化源项矩阵Sv = S * delta_X * delta_Y * delta_ZSv(1,:,:) = Sv(1,:,:) / 2Sv(:,1,:) = Sv(:,1,:) / 2Sv(:,:,1) = Sv(:,:,1) / 2Sv(:,:,Ny) = Sv(:,:,Ny) / 2!初始化输出write(*,"(A4,$)") "Time"do i = 1, 7write(*,"(A9,I1,$)") "SP", iend dowrite(*,"(A10)") "SP8"!按时间步进行温度场计算current_time = 0current_sampling_time = sampling_intervaldelta_Tau = 0.0001  !考虑到降温刚开始时的温度变化率很大，初始delta_Tau取一个很小的值call CPU_TIME(tStart)do while (current_time < time_length)!更新当前时间current_time = current_time + delta_Tau!通过多项式函数计算材料导热系数lambda = -1.13588E-15 * T(1:Nx,1:Ny,1:Nz)**5 + 3.25358E-12 * T(1:Nx,1:Ny,1:Nz)**4 &- 3.25305E-09 * T(1:Nx,1:Ny,1:Nz)**3 + 1.32926E-06 * T(1:Nx,1:Ny,1:Nz)**2 &- 9.27637E-05 * T(1:Nx,1:Ny,1:Nz) + 1.04478!计算系数矩阵A!(1)内部节点的计算aP0 = rho * Cp * delta_X * delta_Y * delta_Z / (delta_Tau / 2)aE(1:Nx-1,:,:) = 2 / (1 / lambda(1:Nx-1,:,:) + 1 / lambda(2:Nx,:,:)) / delta_X * delta_Y * delta_ZaW(2:Nx,:,:) = 2 / (1 / lambda(2:Nx,:,:) + 1 / lambda(1:Nx-1,:,:)) / delta_X * delta_Y * delta_ZaF(:,1:Ny-1,:) = 2 / (1 / lambda(:,1:Ny-1,:) + 1 / lambda(:,2:Ny,:)) / delta_Y * delta_X * delta_ZaB(:,2:Ny,:) = 2 / (1 / lambda(:,2:Ny,:) + 1 / lambda(:,1:Ny-1,:)) / delta_Y * delta_X * delta_ZaN(:,:,1:Nz-1) = 2 / (1 / lambda(:,:,1:Nz-1) + 1 / lambda(:,:,2:Nz)) / delta_Z * delta_X * delta_YaS(:,:,2:Nz) = 2 / (1 / lambda(:,:,2:Nz) + 1 / lambda(:,:,1:Nz-1)) / delta_Z * delta_X * delta_Y!(2)左侧、上下侧、后侧对流边界节点的处理aW(1,:,:) = alpha2 * delta_Y * delta_ZaN(:,:,Nz) = alpha1 * delta_X * delta_YaS(:,:,1) = alpha2 * delta_X * delta_YaB(:,1,:) = alpha2 * delta_X * delta_Z!(3)右侧、前侧对称边界节点的处理aW(Nx,:,:) = aW(Nx,:,:) * 2aF(:,Ny,:) = aF(:,Ny,:) * 2!(4)边界节点的减半处理!(4-1)上侧aP0、aE、aW、aF、aB减半aP0(:,:,Nz) = aP0(:,:,Nz) / 2aE(:,:,Nz) = aE(:,:,Nz) / 2aW(:,:,Nz) = aW(:,:,Nz) / 2aF(:,:,Nz) = aF(:,:,Nz) / 2aB(:,:,Nz) = aB(:,:,Nz) / 2!(4-2)下侧aP0、aE、aW、aF、aB减半aP0(:,:,1) = aP0(:,:,1) / 2aE(:,:,1) = aE(:,:,1) / 2aW(:,:,1) = aW(:,:,1) / 2aF(:,:,1) = aF(:,:,1) / 2aB(:,:,1) = aB(:,:,1) / 2!(4-3)左侧aP0、aN、aS、aF、aB减半aP0(1,:,:) = aP0(1,:,:) / 2aN(1,:,:) = aN(1,:,:) / 2aS(1,:,:) = aS(1,:,:) / 2aF(1,:,:) = aF(1,:,:) / 2aB(1,:,:) = aB(1,:,:) / 2!(4-4)后侧aE、aW、aN、aS减半aP0(:,1,:) = aP0(:,1,:) / 2aE(:,1,:) = aE(:,1,:) / 2aW(:,1,:) = aW(:,1,:) / 2aN(:,1,:) = aN(:,1,:) / 2aS(:,1,:) = aS(:,1,:) / 2!沿x方向使用TDMA隐式求解aP = aP0 + aE + aW!(1)定义TDMA中的常数矩阵D = (aP0 - aF - aB - aN - aS) * T(1:Nx,1:Ny,1:Nz)+ aF * T(1:Nx,2:Ny+1,1:Nz) + aB * T(1:Nx,0:Ny-1,1:Nz) &+ aN * T(1:Nx,1:Ny,2:Nz+1) + aS * T(1:Nx,1:Ny,0:Nz-1) + Sv!(2)左侧边界的特殊处理D(1,:,:) = D(1,:,:) + aW(1,:,:) * Tf!!!!!!P(1,:,:) = aE(1,:,:) / aP(1,:,:)Q(1,:,:) = D(1,:,:) / aP(1,:,:)do i = 2, Nxkx = aP(i,:,:) - aW(i,:,:) * P(i-1,:,:)P(i,:,:) = aE(i,:,:) / kxQ(i,:,:) = (D(i,:,:) + aW(i,:,:) * Q(i-1,:,:)) / kxend doU(Nx,1:Ny,1:Nz) = Q(Nx,:,:)do i = Nx-1, 1, -1U(i,1:Ny,1:Nz) = P(i,:,:) * U(i+1,1:Ny,1:Nz) + Q(i,:,:)end do!(3)由于沿y、z方向定义常数矩阵时，均会用到x方向的计算量U加和，将其定义为DxDx = -(aE + aW) * U(1:Nx,1:Ny,1:Nz) + aE * U(2:Nx+1,1:Ny,1:Nz) + aW * U(0:Nx-1,1:Ny,1:Nz)!沿y方向使用TDMA隐式求解aP = aP0 + aF + aB!(1)定义TDMA中的常数矩阵D = (aP0 - aN - aS) * T(1:Nx,1:Ny,1:Nz) + aN * T(1:Nx,1:Ny,2:Nz+1) + aS * T(1:Nx,1:Ny,0:Nz-1) + Dx + Sv!(2)后侧边界的特殊处理D(:,1,:) = D(:,1,:) + aB(:,1,:) * Tf!!!!!!P(:,1,:) = aF(:,1,:) / aP(:,1,:)Q(:,1,:) = D(:,1,:) / aP(:,1,:)do i = 2, Nyky = aP(:,i,:) - aB(:,i,:) * P(:,i-1,:)P(:,i,:) = aF(:,i,:) / kyQ(:,i,:) = (D(:,i,:) + aB(:,i,:) * Q(:,i-1,:)) / kyend doV(1:Nx,Ny,1:Nz) = Q(:,Ny,:)do i = Ny-1, 1, -1V(1:Nx,i,1:Nz) = P(:,i,:) * V(1:Nx,i+1,1:Nz) + Q(:,i,:)end do!沿z方向使用TDMA隐式求解aP = aP0 + aN + aS!(1)定义TDMA中的常数矩阵D = (aP0 - aF - aB) * V(1:Nx,1:Ny,1:Nz) + aF * V(1:Nx,2:Ny+1,1:Nz) + aB * V(1:Nx,0:Ny-1,1:Nz) + Dx + Sv!(2)上下侧边界的特殊处理D(:,:,1) = D(:,:,1) + aS(:,:,1) * TfD(:,:,Nz) = D(:,:,Nz) + aN(:,:,Nz) * Tf!!!!!!P(:,:,1) = aN(:,:,1) / aP(:,:,1)Q(:,:,1) = D(:,:,1) / aP(:,:,1)do i = 2, Nzkz = aP(:,:,i) - aS(:,:,i) * P(:,:,i-1)P(:,:,i) = aN(:,:,i) / kzQ(:,:,i) = (D(:,:,i) + aS(:,:,i) * Q(:,:,i-1)) / kzend doT1(1:Nx,1:Ny,Nz) = Q(:,:,Nz)do i = Nz-1, 1, -1T1(1:Nx,1:Ny,i) = P(:,:,i) * T1(1:Nx,1:Ny,i+1) + Q(:,:,i)end do!当达到采样时间时，输出采样点温度if (current_time >= current_sampling_time) then!输出6个采样点的温度值write(*,"(I4,$)") floor(current_time / 60)do i = 1, 7write(*,"(f10.2,$)") T1(spIndex(i,1), spIndex(i,2), spIndex(i,3))end dowrite(*,"(f10.2)") T1(spIndex(6,1), spIndex(6,2), spIndex(6,3))!!更新下一次需要采样的时间current_sampling_time = current_sampling_time + sampling_intervalend if!计算最大冷却速率delta_T = abs(T1 - T)max_delta_T = maxval(delta_T)max_rate = max_delta_T / delta_Tau!根据对每个时间步内的最大温度变化率限制，以及下一次采样时间确定下一个时间步长delta_Tau = min(max_deltaT_per_step / max_rate, current_sampling_time - current_time)!更新温度矩阵TT = T1end docall CPU_TIME(tEnd)write(*,"('Calculate complete, time consumption: ', f8.4, ' sec')") (tEnd - tStart)end subroutine calculate

参考文献

[1] 陶文铨. 数值传热学[M]. 第二版. 西安: 西安交通大学出版社, 2001: 99-104.

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