计算方法复习提纲-中
2024-06-21 06:26:08
第4章 数值积分与数值微分
数值积分
- 机械求积
- 积分中值定理 ∫abf(x)dx=(b−a)f(ξ)\int\limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = (b - a)f(\xi)a∫bf(x)dx=(b−a)f(ξ)
- 梯形公式 T=(b−a)f(a)+f(b)2T = (b-a) \frac{f(a) + f(b)}{2}T=(b−a)2f(a)+f(b)
- (中)矩形公式 R=(b−a)f(a+b2)R = (b-a) f(\frac{a+b}{2})R=(b−a)f(2a+b)
- 机械求积公式 ∫abf(x)dx=∑i=1nAif(xi)\int\limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \sum\limits_{i=1}^{n} A_i f(x_i)a∫bf(x)dx=i=1∑nAif(xi)
- 将积分求值问题归结为函数值的计算, 避免寻找原函数.
- mmm次代数精度
- 求积公式对于次数不大于mmm的多项式均能准确地成立, 但对于次m+1m+1m+1多项式就不一定准确.
- 梯形公式 TTT 具有 111 次代数精度
- 矩形公式 RRR 具有 111 次代数精度
- 机械求积公式 ∑i=1nAif(xi)\sum\limits_{i=1}^{n} A_i f(x_i)i=1∑nAif(xi)
- ∑i=0nAi=b−a\sum\limits_{i=0}^{n} A_i = b - ai=0∑nAi=b−a
- ∑i=0nAixi=12(b2−a2)\sum\limits_{i=0}^{n} A_i x_i = \frac{1}{2}(b^2 - a^2)i=0∑nAixi=21(b2−a2)
- ⋯\cdots⋯
- ∑i=0nAixim=1m+1(bm−am)\sum\limits_{i=0}^{n} A_i x_i^m = \frac{1}{m+1}(b^m - a^m)i=0∑nAixim=m+11(bm−am)
- m+1m+1m+1 个约束, 2n+22n+22n+2 个变量.
- 插值求积
- I=∫abf(x)dx≈∫abLn(x)dx=InI = \int\limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x \approx \int\limits_{a}^{b} L_n(x) \mathrm{d}x = I_nI=a∫bf(x)dx≈a∫bLn(x)dx=In
- In=∑i=1n(∫abli(x)dx)f(xi)=∑i=1n(∫ab∏j≠ix−xjxi−xjdx)f(xi)I_n = \sum\limits_{i=1}^{n} (\int\limits_{a}^{b} l_i(x) \mathrm{d}x) f(x_i) = \sum\limits_{i=1}^{n} (\int\limits_{a}^{b} \prod\limits_{j \neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j} \mathrm{d}x) f(x_i)In=i=1∑n(a∫bli(x)dx)f(xi)=i=1∑n(a∫bj=i∏xi−xjx−xjdx)f(xi) (插值求积∈机械求积)
- R(f)=I−In=∫ab(f(x)−Ln(x))dx=∫abf(n+1)(ξ)(n+1)!ω(x)dxR(f) = I - I_n = \int\limits_{a}^{b} (f(x) - L_n(x)) \mathrm{d}x = \int\limits_{a}^{b} \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \omega(x) \mathrm{d}xR(f)=I−In=a∫b(f(x)−Ln(x))dx=a∫b(n+1)!f(n+1)(ξ)ω(x)dx
- 加权积分中值定理 ∫abf(x)ρ(x)dx=f(ξ)∫abρ(x)dx\int\limits_{a}^{b} f(x) \rho(x) \mathrm{d}x = f(\xi) \int\limits_{a}^{b} \rho(x) \mathrm{d}xa∫bf(x)ρ(x)dx=f(ξ)a∫bρ(x)dx (ρ(x)⩾0\rho(x) \geqslant 0ρ(x)⩾0)
- 机械求积公式具有至少nnn次代数精度⟺\iff⟺插值求积
- 插值求积显然具有至少nnn次代数精度
- 具有至少nnn次代数精度必然插值求积
- 固定 x0,⋯,xnx_0, \cdots, x_nx0,⋯,xn
- ∫abli(x)dx=∑i=1mAili(xi)=Ai\int\limits_{a}^{b} l_i(x) \mathrm{d}x = \sum\limits_{i=1}^{m} A_i l_i(x_i) = A_ia∫bli(x)dx=i=1∑mAili(xi)=Ai
- AiA_iAi 恰好构成插值求积的求积系数
Newton-Cotes公式
- 求积节点 (等分)
- [a,b][a,b][a,b] 等分成 nnn 份, 步长 h=b−anh = \frac{b-a}{n}h=nb−a.
- 求积系数 (Cotes系数)
- Ai=∫abli(x)dx=∫ab∏j≠ix−xjxi−xjdx=hb−a∫0n∏j≠it−ji−jdt=(−1)n−in1i!(n−i)!∫0n∏j≠i(t−j)dt=CinA_i = \int\limits_{a}^{b} l_i(x) \mathrm{d}x = \int\limits_{a}^{b} \prod\limits_{j \neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j} \mathrm{d}x = \frac{h}{b-a} \int\limits_{0}^{n} \prod\limits_{j \neq i} \frac{t-j}{i-j} \mathrm{d}t = \frac{(-1)^{n-i}}{n} \frac{1}{i! (n-i)!} \int\limits_{0}^{n} \prod\limits_{j \neq i} (t-j) \mathrm{d}t = C^n_iAi=a∫bli(x)dx=a∫bj=i∏xi−xjx−xjdx=b−ah0∫nj=i∏i−jt−jdt=n(−1)n−ii!(n−i)!10∫nj=i∏(t−j)dt=Cin
- n=1n=1n=1, C01=C11=12C^1_0 = C^1_1 = \frac{1}{2}C01=C11=21.
- T=(b−a)f(a)+f(b)2T = (b-a) \frac{f(a) + f(b)}{2}T=(b−a)2f(a)+f(b) (梯形公式)
- n=2n=2n=2, C02=16C^2_0 = \frac{1}{6}C02=61, C12=46C^2_1 = \frac{4}{6}C12=64, C22=16C^2_2 = \frac{1}{6}C22=61.
- (Simpson公式)
- n=3n=3n=3, 790\frac{7}{90}907, 3290\frac{32}{90}9032, 1290\frac{12}{90}9012, 3290\frac{32}{90}9032, 790\frac{7}{90}907.
- (Cotes公式)
- n⩾8n \geqslant 8n⩾8, Cotes系数有正有负, 不保证数值稳定性.
- 当阶 nnn 为偶数时，Newton-Cotes公式至少有 n+1n+1n+1 次代数精度.
- R(f)∝∫abω(x)dx=∫ab∏i=0n(x−xi)dx=hn+2∫0n∏i=0n(t−i)dtR(f) \propto \int\limits_{a}^{b} \omega(x) \mathrm{d}x = \int\limits_{a}^{b} \prod\limits_{i=0}^{n} (x - x_i) \mathrm{d}x = h^{n+2} \int\limits_{0}^{n} \prod\limits_{i=0}^{n} (t - i) \mathrm{d}tR(f)∝a∫bω(x)dx=a∫bi=0∏n(x−xi)dx=hn+20∫ni=0∏n(t−i)dt
- ∫0n∏i=0n(t−i)dt=∫−n2+n2∏i=0n(t−i+n2)dt=∫−n2+n2t∏i=1n2(t2−i2)dt=0\int\limits_{0}^{n} \prod\limits_{i=0}^{n} (t - i) \mathrm{d}t = \int\limits_{-\frac{n}{2}}^{+\frac{n}{2}} \prod\limits_{i=0}^{n} (t - i + \frac{n}{2}) \mathrm{d}t = \int\limits_{-\frac{n}{2}}^{+\frac{n}{2}} t \prod\limits_{i=1}^{\frac{n}{2}} (t^2 - i^2) \mathrm{d}t = 00∫ni=0∏n(t−i)dt=−2n∫+2ni=0∏n(t−i+2n)dt=−2n∫+2nti=1∏2n(t2−i2)dt=0
- 余项
- R(f)=∫abf(n+1)(ξ)(n+1)!ω(x)dx∝∫abω(x)dx=∫ab∏i=0n(x−xi)dx=bn+2−an+2n+2+⋯R(f) = \int\limits_{a}^{b} \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \omega(x) \mathrm{d}x \propto \int\limits_{a}^{b} \omega(x) \mathrm{d}x = \int\limits_{a}^{b} \prod\limits_{i=0}^{n} (x - x_i) \mathrm{d}x = \frac{b^{n+2} - a^{n+2}}{n+2} + \cdotsR(f)=a∫b(n+1)!f(n+1)(ξ)ω(x)dx∝a∫bω(x)dx=a∫bi=0∏n(x−xi)dx=n+2bn+2−an+2+⋯
- 当阶 nnn 为偶数时，Newton-Cotes公式至少有 n+1n+1n+1 次代数精度. 额外拟合某一点处的导数.
- R(f)=∫abf(n+2)(ξ)(n+2)!ω+(x)dx∝∫abω+(x)dx=∫ab(x−xj)∏i=0n(x−xi)dx=bn+3−an+3n+3+⋯R(f) = \int\limits_{a}^{b} \frac{f^{(n+2)}(\xi)}{(n+2)!} \omega_+(x) \mathrm{d}x \propto \int\limits_{a}^{b} \omega_+(x) \mathrm{d}x = \int\limits_{a}^{b} (x - x_j) \prod\limits_{i=0}^{n} (x - x_i) \mathrm{d}x = \frac{b^{n+3} - a^{n+3}}{n+3} + \cdotsR(f)=a∫b(n+2)!f(n+2)(ξ)ω+(x)dx∝a∫bω+(x)dx=a∫b(x−xj)i=0∏n(x−xi)dx=n+3bn+3−an+3+⋯
- I−T=−b−a12(b−a)2f(2)(ξ)I - T = - \frac{b-a}{12} (b-a)^2 f^{(2)}(\xi)I−T=−12b−a(b−a)2f(2)(ξ)
- I−S=−b−a180(b−a2)4f(2)(ξ)I - S = - \frac{b-a}{180} (\frac{b-a}{2})^4 f^{(2)}(\xi)I−S=−180b−a(2b−a)4f(2)(ξ)
- I−C=−2(b−a)945(b−a4)6f(6)(ξ)I - C = - \frac{2(b-a)}{945} (\frac{b-a}{4})^6 f^{(6)}(\xi)I−C=−9452(b−a)(4b−a)6f(6)(ξ)
- 复化求积法
- 复化梯形公式 [xk,xk+1][x_k, x_{k+1}][xk,xk+1]
- 复化Simpson公式 [xk,xk+12,xk+1][x_k, x_{k+\frac{1}{2}}, x_{k+1}][xk,xk+21,xk+1]
- 复化Cotes公式 [xk,xk+14,xk+12,xk+34,xk+1][x_k, x_{k+\frac{1}{4}}, x_{k+\frac{1}{2}}, x_{k+\frac{3}{4}}, x_{k+1}][xk,xk+41,xk+21,xk+43,xk+1]
- ppp阶收敛
- enhp→Const.\frac{e_n}{h^p} \to \mathrm{Const.}hpen→Const.
- 误差的渐近性
- I−Tnh2→Const.\frac{I - T_n}{h^2} \to \mathrm{Const.}h2I−Tn→Const.
- I−Snh4→Const.\frac{I - S_n}{h^4} \to \mathrm{Const.}h4I−Sn→Const.
- I−Cnh6→Const.\frac{I - C_n}{h^6} \to \mathrm{Const.}h6I−Cn→Const.
Gauss公式
- 2n+12n+12n+1 次代数精度
- m+1m+1m+1 个约束, 2n+22n+22n+2 个变量.
- Gauss点的充分必要条件, 是以这些点为零点的多项式与任意次数不超过 nnn 的多项式均正交.
- 必要性
- pnωp_n \omegapnω 次数不超过 2n+12n+12n+1
- 充分性
- f2n+1=gnω+hnf_{2n + 1} = g_n \omega + h_nf2n+1=gnω+hn
- ∫abf2n+1(x)dx=∫abhn(x)dx=∑i=1nAif(xi)\int\limits_{a}^{b} f_{2n+1}(x) \mathrm{d}x = \int\limits_{a}^{b} h_n(x) \mathrm{d}x = \sum\limits_{i=1}^{n} A_i f(x_i)a∫bf2n+1(x)dx=a∫bhn(x)dx=i=1∑nAif(xi)
- 必要性
- Gauss-Legendre公式
- {x0,⋯,xn}\{x_0, \cdots, x_n\}{x0,⋯,xn} (Ln+1(x)L_{n+1}(x)Ln+1(x)的根)
- ∑i=0nAi=b−a\sum\limits_{i=0}^{n} A_i = b - ai=0∑nAi=b−a
- ∑i=0nAixi=12(b2−a2)\sum\limits_{i=0}^{n} A_i x_i = \frac{1}{2}(b^2 - a^2)i=0∑nAixi=21(b2−a2)
- ⋯\cdots⋯
- ∑i=0nAixin=1n+1(bn−an)\sum\limits_{i=0}^{n} A_i x_i^n = \frac{1}{n+1}(b^n - a^n)i=0∑nAixin=n+11(bn−an)
- Gauss公式的余项
- 可以准确求积Hermite插值多项式.
- R(f)=I−Gn=∫ab(f(x)−Hn(x))dx=∫abf(2n+2)(ξ)(2n+2)!ω2(x)dxR(f) = I - G_n = \int\limits_{a}^{b} (f(x) - H_n(x)) \mathrm{d}x = \int\limits_{a}^{b} \frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!} \omega^2(x) \mathrm{d}xR(f)=I−Gn=a∫b(f(x)−Hn(x))dx=a∫b(2n+2)!f(2n+2)(ξ)ω2(x)dx
- Gauss公式的稳定性
- 0<∫abli2(x)dx=∑i=0nAili2(xi)=Ai0 < \int\limits_{a}^{b} l_i^2(x) \mathrm{d}x = \sum\limits_{i=0}^{n} A_i l_i^2(x_i) = A_i0<a∫bli2(x)dx=i=0∑nAili2(xi)=Ai
- ∣Gn−Gn∗∣=∣∑i=0nAifi−fi∗∣⩽∑i=0nAi∣fi−fi∗∣⩽(∑i=0nAi)(maxi∣fi−fi∗∣)=(b−a)(maxi∣fi−fi∗∣)|G_n - G_n^*| = |\sum\limits_{i=0}^{n} A_i f_i - f_i^*| \leqslant \sum\limits_{i=0}^{n} A_i |f_i - f_i^*| \leqslant (\sum\limits_{i=0}^{n} A_i) (\max\limits_{i} |f_i - f_i^*|) = (b - a) (\max\limits_{i} |f_i - f_i^*|)∣Gn−Gn∗∣=∣i=0∑nAifi−fi∗∣⩽i=0∑nAi∣fi−fi∗∣⩽(i=0∑nAi)(imax∣fi−fi∗∣)=(b−a)(imax∣fi−fi∗∣)
- 带权Gauss公式
- Gauss-Chebyshev公式
数值微分
- 机械求导
- 差商
- f(x+h)−f(x)h\frac{f(x+h) - f(x)}{h}hf(x+h)−f(x)
- f(x)−f(x−h)h\frac{f(x) - f(x-h)}{h}hf(x)−f(x−h)
- 中点公式 G(h)=f(x+h)−f(x−h)2hG(h) = \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}G(h)=2hf(x+h)−f(x−h)
- 误差分析
- G(h)=f′(x)+∑k=1∞h2k(2k+1)!f(2k+1)(x)G(h) = f'(x) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{h^{2k}}{(2k+1)!} f^{(2k+1)}(x)G(h)=f′(x)+k=1∑∞(2k+1)!h2kf(2k+1)(x)
- 截断误差, hhh越小越好.
- 舍入误差, hhh不宜太小.
- 差商
- 插值型的求导公式
- 插值精确不代表求导精确
- 误差不易分析
- ddxf(n+1)(ξ)(n+1)!ω(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!ω′(x)+ω(x)(ddxf(n+1)(ξ)(n+1)!)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \omega(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \omega'(x) + \omega(x) (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!})dxd(n+1)!f(n+1)(ξ)ω(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)ω′(x)+ω(x)(dxd(n+1)!f(n+1)(ξ))
- 在 xix_ixi 上可以仅分析 f(n+1)(ξ)(n+1)!ω′(x)\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \omega'(x)(n+1)!f(n+1)(ξ)ω′(x)
- 两点公式
- f′(x0)=f′(x1)=f(x1)−f(x0)h−12hf(2)(ξ)f'(x_0) = f'(x_1) = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{h} - \frac{1}{2} h f^{(2)}(\xi)f′(x0)=f′(x1)=hf(x1)−f(x0)−21hf(2)(ξ)
- 三点公式
- ⋯+⋯h2f(3)(ξ)\cdots + \cdots h^2 f^{(3)}(\xi)⋯+⋯h2f(3)(ξ)
- 二阶三点公式
- ⋯+⋯h2f(4)(ξ)+⋯h3f(3)(ξ)\cdots + \cdots h^2 f^{(4)}(\xi) + \cdots h^3 f^{(3)}(\xi)⋯+⋯h2f(4)(ξ)+⋯h3f(3)(ξ)
- 五点公式
- 二阶五点公式
- 样条求导
- ∣f(0)−S(0)∣=O(h4)|f^{(0)} - S^{(0)}| = O(h^4)∣f(0)−S(0)∣=O(h4)
- ∣f(1)−S(1)∣=O(h3)|f^{(1)} - S^{(1)}| = O(h^3)∣f(1)−S(1)∣=O(h3)
- ∣f(2)−S(2)∣=O(h2)|f^{(2)} - S^{(2)}| = O(h^2)∣f(2)−S(2)∣=O(h2)
- ∣f(3)−S(3)∣=O(h)|f^{(3)} - S^{(3)}| = O(h)∣f(3)−S(3)∣=O(h)
第6章 方程求根
二分法
- xt=at+bt2=[at,bt]x_t = \frac{a_t + b_t}{2} = [a_t,b_t]xt=2at+bt=[at,bt].
- [a0,b0]=[a,b][a_0,b_0] = [a,b][a0,b0]=[a,b]
- ∣x∗−xt∣⩽bt−at2=b0−a02t+1|x^* - x_t| \leqslant \frac{b_t - a_t}{2} = \frac{b_0 - a_0}{2^{t+1}}∣x∗−xt∣⩽2bt−at=2t+1b0−a0
迭代法
- 收敛求根
- 压缩映射原理, 巴拿赫空间不动点.
- 收敛条件
- ϕ(x)∈[a,b]\phi(x) \in [a,b]ϕ(x)∈[a,b]
- ∣ϕ′(x)∣⩽L<1|\phi'(x)| \leqslant L < 1∣ϕ′(x)∣⩽L<1
- ∣xt+1−xt∣⩽L∣xt−xt−1∣|x_{t+1} - x_t| \leqslant L |x_t - x_{t-1}|∣xt+1−xt∣⩽L∣xt−xt−1∣
- ∣xt+1−xt∣⩽Lt∣x1−x0∣|x_{t+1} - x_t| \leqslant L^t |x_1 - x_0|∣xt+1−xt∣⩽Lt∣x1−x0∣
- ∣xt+d+1−xt∣⩽Lt(1+⋯+Ld)∣x1−x0∣⩽Lt1−L∣x1−x0∣|x_{t+d+1} - x_t| \leqslant L^t (1 + \cdots + L^{d}) |x_1 - x_0| \leqslant \frac{L^t}{1 - L} |x_1 - x_0|∣xt+d+1−xt∣⩽Lt(1+⋯+Ld)∣x1−x0∣⩽1−LLt∣x1−x0∣
- ∣x∗−xt∣⩽Lt1−L∣x1−x0∣|x_* - x_t| \leqslant \frac{L^t}{1 - L} |x_1 - x_0|∣x∗−xt∣⩽1−LLt∣x1−x0∣
- ∣x∗−xt+1∣=∣ϕ(x∗)−ϕ(xt)∣⩽L∣x∗−xt∣|x_* - x_{t+1}| = |\phi(x_*) - \phi(x_t)| \leqslant L |x_* - x_t|∣x∗−xt+1∣=∣ϕ(x∗)−ϕ(xt)∣⩽L∣x∗−xt∣
- 局部收敛
- [a,b]=[x−δ,x+δ][a,b] = [x-\delta,x+\delta][a,b]=[x−δ,x+δ]
- ∣ϕ′(x)∣<1|\phi'(x)| < 1∣ϕ′(x)∣<1
- 闭区间连续函数 ∣ϕ′(x)∣⩽supx∣ϕ′(x)∣=L<1|\phi'(x)| \leqslant \sup\limits_{x} |\phi'(x)| = L < 1∣ϕ′(x)∣⩽xsup∣ϕ′(x)∣=L<1
- ϕ(x)∈[a,b]\phi(x) \in [a,b]ϕ(x)∈[a,b] 可由上述性质推出
- ∣x∗−xt+1∣=∣ϕ(x∗)−ϕ(xt)∣⩽L∣x∗−xt∣|x_* - x_{t+1}| = |\phi(x_*) - \phi(x_t)| \leqslant L |x_* - x_t|∣x∗−xt+1∣=∣ϕ(x∗)−ϕ(xt)∣⩽L∣x∗−xt∣
- 迭代过程的加速
- 思想
- x1−x∗≈L(x0−x∗)x_1 - x_* \approx L(x_0 - x_*)x1−x∗≈L(x0−x∗)
- x∗=11−Lx1+−L1−Lx0x_* = \frac{1}{1-L}x_1 + \frac{-L}{1-L}x_0x∗=1−L1x1+1−L−Lx0
- Aitken方法
- x1−x∗x2−x∗≈x0−x∗x1−x∗\frac{x_1 - x_*}{x_2 - x_*} \approx \frac{x_0 - x_*}{x_1 - x_*}x2−x∗x1−x∗≈x1−x∗x0−x∗
- x∗≈x2−(x2−x1)2x0−2x1+x2x_* \approx x_2 - \frac{(x_2-x_1)^2}{x_0-2x_1+x_2}x∗≈x2−x0−2x1+x2(x2−x1)2
- Newton公式
- f(x)=ϕ(x)−xf(x) = \phi(x) - xf(x)=ϕ(x)−x
- x∗=x0+11−L(x0−x1)x_* = x_0 + \frac{1}{1-L}(x_0 - x_1)x∗=x0+1−L1(x0−x1)
- x∗=x0−1L−1(x1−x0)x_* = x_0 - \frac{1}{L - 1}(x_1 - x_0)x∗=x0−L−11(x1−x0)
- x∗=x0−f(x0)f′(x0)x_* = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}x∗=x0−f′(x0)f(x0)
- 思想
Newton法
- 线性化
- x∗=x0−f(x0)f′(x0)x_* = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}x∗=x0−f′(x0)f(x0)
- f(x)=f(x0)+f′(xk)(x−xk)=0f(x) = f(x_0) + f'(x_k) (x - x_k) = 0f(x)=f(x0)+f′(xk)(x−xk)=0
- (局部收敛性)收敛速度
- ψ(xt)=ψ(x∗)+ψ(p)(ξ)p!(xt−x∗)p\psi(x_t) = \psi(x_*) + \frac{\psi^{(p)}(\xi)}{p!} (x_t - x_*)^pψ(xt)=ψ(x∗)+p!ψ(p)(ξ)(xt−x∗)p
- ψ(x)=x−f(x)f′(x)\psi(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)}ψ(x)=x−f′(x)f(x)
- ψ′(x)=1−(f′(x))2−f′′(x)f(x)(f′(x))2=f′′(x)(f′(x))2f(x)=0\psi'(x) = 1 - \frac{(f'(x))^2 - f''(x)f(x)}{(f'(x))^2} = \frac{f''(x)}{(f'(x))^2} f(x) = 0ψ′(x)=1−(f′(x))2(f′(x))2−f′′(x)f(x)=(f′(x))2f′′(x)f(x)=0
- 至少平方收敛
- Newton下山法
- ∣f(xt+1)∣<∣f(xt)∣|f(x_{t+1})| < |f(x_t)|∣f(xt+1)∣<∣f(xt)∣
- x~t+1=λxt+1+(1−λ)xt\tilde{x}_{t+1} = \lambda x_{t+1} + (1-\lambda) x_tx~t+1=λxt+1+(1−λ)xt
- 探索下山因子
多项式求值的秦九韶算法
- f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处的各阶导数
- f(x)=f(z)+f′(z)(x−z)+f′′(z)2(x−z)2+⋯f(x) = f(z) + f'(z) (x-z) + \frac{f''(z)}{2} (x-z)^2 + \cdotsf(x)=f(z)+f′(z)(x−z)+2f′′(z)(x−z)2+⋯
- f(x)=f(z)+(x−z)p(x)f(x) = f(z) + (x-z) p(x)f(x)=f(z)+(x−z)p(x)
- f(x)=a0+⋯+anxnf(x) = a_0 + \cdots + a_n x^nf(x)=a0+⋯+anxn
- p(x)=b0+⋯+bn−1xn−1p(x) = b_0 + \cdots + b_{n-1} x^{n-1}p(x)=b0+⋯+bn−1xn−1
- a0=b0a_0 = b_0a0=b0
- ai=bi+zbi−1a_i = b_i + z b_{i-1}ai=bi+zbi−1
- an=f(z)−zbn−1a_n = f(z) - z b_{n-1}an=f(z)−zbn−1
- p(x)=f′(z)+(x−x0)q(x)p(x) = f'(z) + (x - x_0)q(x)p(x)=f′(z)+(x−x0)q(x)
- 代数方程的Newton法
- 使用秦九韶算法导数
其他话题
第4章 数值积分与数值微分
Romberg公式
- 递推
- 递推复化梯形
- T2n=12Tn+h2∑k=0k−1f(xk+12)T_{2n} = \frac{1}{2} T_n + \frac{h}{2} \sum\limits_{k=0}^{k-1} f(x_{k+\frac{1}{2}})T2n=21Tn+2hk=0∑k−1f(xk+21)
- 递推复化梯形加速
- I−T2nI−Tn=(12)2\frac{I - T_{2n}}{I - T_n} = (\frac{1}{2})^2I−TnI−T2n=(21)2
- I=43T2n−13Tn=SnI = \frac{4}{3} T_{2n} - \frac{1}{3} T_n = S_nI=34T2n−31Tn=Sn
- 递推复化Simpson加速
- I−S2nI−Sn=(12)4\frac{I - S_{2n}}{I - S_n} = (\frac{1}{2})^4I−SnI−S2n=(21)4
- I=1615S2n−115Sn=CnI = \frac{16}{15} S_{2n} - \frac{1}{15} S_n = C_nI=1516S2n−151Sn=Cn
- 递推复化Cotes加速
- I−C2nI−Cn=(12)6\frac{I - C_{2n}}{I - C_n} = (\frac{1}{2})^6I−CnI−C2n=(21)6
- I=6463C2n−163Cn=RnI = \frac{64}{63} C_{2n} - \frac{1}{63} C_n = R_nI=6364C2n−631Cn=Rn
- 递推复化梯形
Richardson外推加速法
- 复化梯形余项
- f∈C∞[a,b]f \in C^\infty[a,b]f∈C∞[a,b]
- R(f)=a2h2+a4h4+a6h6+⋯R(f) = a_2 h^2 + a_4 h^4 + a_6 h^6 + \cdotsR(f)=a2h2+a4h4+a6h6+⋯
- T0(h)=I+a2h2+a4h4+a6h6+⋯T_0(h) = I + a_2 h^2 + a_4 h^4 + a_6 h^6 + \cdotsT0(h)=I+a2h2+a4h4+a6h6+⋯
- T1(h)=I+b4h4+b6h6+⋯T_1(h) = I + b_4 h^4 + b_6 h^6 + \cdotsT1(h)=I+b4h4+b6h6+⋯
- T1(h)=43T0(h2)−13T0(h)T_1(h) = \frac{4}{3} T_0(\frac{h}{2}) - \frac{1}{3} T_0(h)T1(h)=34T0(2h)−31T0(h)
- T2(h)=I+b6h6+⋯T_2(h) = I + b_6 h^6 + \cdotsT2(h)=I+b6h6+⋯
- T2(h)=1615T2(h2)−115T1(h)T_2(h) = \frac{16}{15} T_2(\frac{h}{2}) - \frac{1}{15} T_1(h)T2(h)=1516T2(2h)−151T1(h)
- T0(h2n)→IT_0(\frac{h}{2^n}) \to IT0(2nh)→I
- Tn(h)→IT_n(h) \to ITn(h)→I
第6章 方程求根
弦截法与抛物线法
- 弦截法
- xt+1=xt−f(xt)f′(xt)≈xt−f(xt)f[xt,xt−1]x_{t+1} = x_t - \frac{f(x_t)}{f'(x_t)} \approx x_t - \frac{f(x_t)}{f[x_t, x_{t-1}]}xt+1=xt−f′(xt)f(xt)≈xt−f[xt,xt−1]f(xt)
- Aitken方法的几何解释
- x=ϕ(x)⟺y=x∩y=ϕ(x)x = \phi(x) \iff y = x \cap y = \phi(x)x=ϕ(x)⟺y=x∩y=ϕ(x)
- 弦截法用弦代替ϕ\phiϕ
- Aitken方法求得y=xy = xy=x与弦的交点
- Newton法在根的邻近是平方收敛的, 弦截法具有超线性的收敛性. (p=1+52≈1.618p = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618p=21+5≈1.618)
- 抛物线法
- p(x)=f(xt)+f[xt,xt−1](x−xt)+f[xt,xt−1,xt−2](x−xt)(x−xt−1)p(x) = f(x_t) + f[x_t,x_{t-1}] (x-x_t) + f[x_t,x_{t-1},x_{t-2}] (x-x_t)(x-x_{t-1})p(x)=f(xt)+f[xt,xt−1](x−xt)+f[xt,xt−1,xt−2](x−xt)(x−xt−1)
- xt+1=xt−2f(xt)ω±ω2+σx_{t+1} = x_t - \frac{2f(x_t)}{\omega \pm \sqrt{\omega^2 + \sigma}}xt+1=xt−ω±ω2+σ2f(xt)
- ω=f[xt,xt−1]+f[xt,xt−1,xt−2](xt−xt−1)\omega = f[x_t,x_{t-1}] + f[x_t,x_{t-1},x_{t-2}] (x_t-x_{t-1})ω=f[xt,xt−1]+f[xt,xt−1,xt−2](xt−xt−1),σ=−4f(xt)f[xt,xt−1,xt−2]\sigma = - 4 f(x_t)f[x_t,x_{t-1},x_{t-2}]σ=−4f(xt)f[xt,xt−1,xt−2]
- (p≈1.840p \approx 1.840p≈1.840)
代数方程求根
- 劈因子法
- ω(x)=x2+ux+v\omega(x) = x^2 + ux + vω(x)=x2+ux+v
- f(x)=ω(x)p(x)+r1x+r0=(x2+ux+v)p(x)+r1x+r0f(x) = \omega(x)p(x) + r_1x + r_0 = (x^2 + ux + v) p(x) + r_1x + r_0f(x)=ω(x)p(x)+r1x+r0=(x2+ux+v)p(x)+r1x+r0
- ri(u,v)r_i(u,v)ri(u,v)
- ri+∂ri∂uΔu+∂ri∂vΔv=0r_i + \frac{\partial r_i}{\partial u} \Delta u + \frac{\partial r_i}{\partial v} \Delta v = 0ri+∂u∂riΔu+∂v∂riΔv=0 (类Newton法迭代)
- 求解ri(u,v)r_i(u,v)ri(u,v)
- 二次因式秦九韶算法 (比较系数)
- 求解∂ri∂w(u,v)\frac{\partial r_i}{\partial w}(u,v)∂w∂ri(u,v)
- p(x)+(x2+ux+v)∂ri∂wp(x)+x∂ri∂wr1+∂ri∂wr0=0p(x) + (x^2 + ux + v) \frac{\partial r_i}{\partial w} p(x) + x \frac{\partial r_i}{\partial w} r_1 + \frac{\partial r_i}{\partial w} r_0 = 0p(x)+(x2+ux+v)∂w∂rip(x)+x∂w∂rir1+∂w∂rir0=0 (比较系数)
- 求解ri(u,v)r_i(u,v)ri(u,v)
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