SICP 第一章的练习

没想到家里网欠费了，家人没回来，只能看书度日了….
于是乎翻了图书馆借来快一个月的SICP，开看…
(该记录，包含书中的大部分练习，以及一些书中内容的感受，做了85%~90%的代码题)
还有scheme的正则序、应用序求值，还有if、cond、define这些特殊形式等等知识。
代码慢慢整理，先贴上加上一些自己的理解，代码的顺序和练习的都差不多，所以有点懒得求标题号了(懒

(看了大概4天了，当然实际的时间并没那么多，刚好算是看完第一章，第一章大多都是数值计算，练习做完的感觉，从开始对递归与迭代的陌生，在高级语言如C++或者脚本python中有for while 之类的循环来写迭代，而在scheme(lisp的方言)上，都是以递归写，然后来写递归过程与迭代过程，感觉自己对递归的写法更加掌握以及理解，以及迭代的理解，在看的过程中，发现很多抽象思想很好，值得去学习，还算是复习到了一些数学知识以及了解一些数值计算方法，还有gcd的写法，以前傻不拉几的一步一步用循环迭代写，现在发现了短短几行的递归代码就能实现，也了解到了计算中数学的重要性)

#lang planet neil/sicp(define (inc x)(+ x 1))
(define (dec x)(- x 1))
(define (square x)(* x x))(define (max x y z)(define (max-iter x y)(if (< x y) y x))(if (= (max-iter x y) y) (max-iter y z) (max-iter x z))) (define (sqrt x)(define (sqrt-iter val rval)(define (b-enough val rval) //bad-way(< (abs (- (* val val) rval)) 0.0001))(define (g-enough val rval) //good-way 与bad的区别在于是用前后比例，避免了要求的数小于误差(< (/ (abs (- val (improve val rval))) (improve val rval)) 0.0001))(define (average x y)(/ (+ x y) 2))(define (improve x y)(average x (/ y x)))(if (g-enough val rval)val(sqrt-iter (improve val rval) rval)))(sqrt-iter 1.0 x))(define (cube x) //求立方根(define (cube-g-enough val rval)(< (/ (abs (- val (c-improve val rval))) (c-improve val rval)) 0.0001))(define (c-improve y x)(/ (+ (/ x (* y y)) (* 2 y)) 3))(define (cube-iter val rval)(if (cube-g-enough val rval)val(cube-iter (c-improve val rval) rval)))(cube-iter 1.0 x))(define (Jc x) //求阶乘(if (> x 0) (* x (Jc (- x 1))) 1))(define (dd-Jc x) //迭代的方式(define (iter result count n)(cond ((= count (inc n)) result)((= n 0) 1)(else (iter (* result count) (inc count) n))))(iter 1 1 x))//下面两个函数是一个关于，把1美元=100美分，划分为1、5、10、25、50的种类个数
//如果让我不看题解，我直接想到的方法就是用5重循环，求解解的个数。
//当然如果仔细分析，你就会发现这是一个动态规划的问题
//我们把钱类排序，步骤一：不用第一种面值进行计算的划分数目，用另外几种划分钱。
//             步骤二：使用第一种面值后，用剩下的钱用所有面值划分的数目。
//然后这两个步骤加起来的就是所有可分配的种数。
//因为步骤一，不使用第一种面值划分，步骤二使用了第一种面值来划分，则两者数目相加就是总数。
//然后有递推公式 f(money,kinds)=f(money,kinds-1)+f(money-moneyKinds[kinds],kinds) 成立.
//这就是数学的魅力么..我开始看也是不太理解，不过仔细想这合理。
(define (moneyKinds kinds) (cond ((= kinds 1) 1)((= kinds 2) 5)((= kinds 3) 10)((= kinds 4) 25)((= kinds 5) 50)))
(define (type-count money kinds)(define (f m n)(cond ((= m 0) 1)((or (< m 0) (= n 0)) 0)(else (+ (f m (- n 1)) (f (- m (moneyKinds n)) n)))))(f money kinds))//练习题 dg-递归 dd-迭代
(define (dg-f n)(cond ((< n 3) n)(else (+ (dg-f (dec n)) (* 2 (dg-f (dec (dec n)))) (* 3 (dg-f (dec (dec (dec n)))))))))(define (dd-f n)(define (iter x y z count n)(if (= count n) x(iter (+ x (* 2 y) (* 3 z)) x y (+ count 1) n)))(iter 2 1 0 2 n))//杨辉三角，二项式系数，即便你不会二项式通式，可以根据书上的三角形归纳
// f(m,n)=f(m-1)(n-1)+f(m)(n-1),n为三角形的序号,m为层数
(define (cc m n)(if (or (= m 0) (= m n) ) 1(+ (cc (dec m) (dec n)) (cc m (dec n)))))
//even偶数,remainder为计算余数
//本来想写一个求余数，但是没有取整的方法或者不知道，计算出来的要么是分数，要么是循环小数..
(define (is-even n)(= (remainder n 2) 0))// b^n=(b^(n/2))^2 (n偶数)
//     b*b^(n-1)  (奇数)
(define (fast-exp m n)(define (iter result m n)(cond ((= n 0) 1)((= n 1) (* m result))((is-even n) (iter result (* m m) (/ n 2)))(else (iter (* result m) m (dec n)))))(iter 1 m n))//bad 这是没看懂题意写的,而且计算的规模是-1的速度，很慢
//good 折半，因为乘法可以用加法表示，a x b = (a * 2) x (b/2) b偶数
//                              a x b = a x (b - 1) + a b奇数
(define (fast-mulit m n)(define (double x)(+ x x))(define (halve x)(/ x 2))(define (b-iter result a b)  //bad(cond ((= b 0) 0)((= b 1) (+ a result))(else (b-iter (+ result a) a (- b 1)))))(define (g-iter result a b) //good (cond ((= b 0) 0)((= b 1) (+ a result))((is-even b) (b-iter result (double a) (halve b)))(else (g-iter (+ a result) a (- b 1)))))(g-iter 0 m n))// 根号n的检验素数
(define (prime n) (define (div a b)(= (remainder a b) 0))(define (find-div n cheak )(cond ((> (square cheak) n ) n)((div n cheak) cheak)(else (find-div n (+ cheak 2) ))))(define (smallest-div n)(find-div n 2)(= (smallest-div n) n)) //快速检测素数，以及费马检测，若 n 是素数，则有a<n,a^n mod n =a
//若n不是素数，有部分依旧满足以上，有部分不满足，通过多次检验，若不符合则不是素数。。
(define (expmod m n p)(cond ((= n 0) 1)((is-even n) (remainder (square (expmod m (/ n 2) p)) p))(else (remainder (* m (expmod m (- n 1) p)) p))))(define (fermat-test n)(define (try a)(= (expmod a n n) a))(try (+ (random (- n 1)) 1)))
//写这个想起了写timer..
(define (fermat-timer n times)(cond ((= times 0) true)((fermat-test n) (fermat-timer n (- times 1)))(else false)))
//(fermat-timer 5 10) test//上数值分析课的时候似乎碰见过，但是不认真听讲，用C/C++按公式打过一遍
//第一种m-的是我想不到怎么按书上例子，不使用sum编写的
//百度过别人的做法，似乎计算出错还是怎么
//辛普森解法结果为 0.25147191134420877，感觉100的步数，精确度比书上例子的差，不过1000步数的精度好用一些
(define (m-sympson f a b n)(define h (/ (- b a) n))(define (func k)(f (+ a (* k h))))(define (iter result k)(if (> k n) result(iter (+ result (func k)) (inc k))))(* (/ h 3) (iter 0 0)))
//练习1.30叫填空...我就把上面的补充进去了，使用了例子的sum,算是对上面的一种完善..?
(define (c-sympson f a b n)(define h (/ (- b a) n))(define (func k)(f (+ a (* k h))))(define (next x)(inc x))(define (sum term a next b)(define (iter result k)(if (> k n)result(iter (+ result (func k)) (next k))))(* (/ h 3) (iter 0 0)))(sum func 0 next n))//(c-sympson cube 0 1 100.0) test//看规律有，会发现奇数项，分子比分母小1，偶数项，分子比分母大1
//根据这个规律推出一个递推式 a>b 则下一项 a=a,b=a+1,否则a=b+1 b=b, a b初始值是2 3
//通过判断n奇偶，来使用a b判断第n项(define (pi-mulit n)(define (iter a b result)(cond ((and (is-even n) (= a (+ n 2))) (* result (/ a b)))((and (not (is-even n)) (= b (+ n 2))) (* result (/ a b)))((> a b) (iter a (inc a) (* result (/ a b))))(else (iter (inc b) b (* result (/ a b))))))(iter 2.0 3.0 1))//(pi-mulit 2000) test//递归方式重写上面
//重写的完成时候，对递归和迭代的理解相对之前明了许多(我感觉写的不太像递归过程..)
//对比两种方法:
//我们在迭代的时候，是使用初始值，根据规律，推到后面的每一项,且每计算完一项就保存从之前到现在的结果
//而递归，我们是从后面，也就是第n项，根据规律，往前推，不需要设置初始值，只需要保存当前项的结果
//递归展开后，就把之前的结果一层一层返回合并着算
//这两道解题并没有按照书上的要求写要给factorial来写(即写一个类似于书上sum的mulit)(define (dg-pi-mulit n)(define (iter n r)(cond ((= n 0) r)((is-even n) (* r (iter (dec n) (/ (+ n 2) (inc n)))))((not (is-even n)) (* r (iter (dec n) (/ (inc n) (+ n 2)))))))        (iter n 1.0))//(dg-pi-mulit 100) test //关于上面中提出的sum和mulit，也就是[a,b]内求和与求积公式
//可以把他们写成下面两种形式
//term函数相当于把初始化a序号的数据格式，next就相当于是下一项
(define (plus-f term a next b)(if (> a b)0(+ (term a) (plus-f term (next a) next b))))
(define (mulit-f term a next b)(if (> a b)1(* (term a) (mulit-f term (next a) next b)))//理解上面着两个，你就可以按照下面这样写，我昨天没理解大意//上面两种就是递归求和，与求积的大概形式，我前面大多都是写迭代//所以前面写的都不是基于着两种写的//使用mulit-f :
(define (dg-mulit-pi n)(define (next x)(+ x 1))(define (iter n)(cond ((is-even n) (/ (+ n 2.0) (inc n)))((not (is-even n)) (/ (inc n) (+ n 2.0)))))(mulit-f iter 1 next n))//(dg-mulit-pi 100) test//因为plus-f与mulit-f代码相同的部分很多
//我们还可以进一步抽象化，让代码更简洁明了
//combiner可以看作逻辑符号、运算符之类，或者是两个参数的过程函数，value则是d对应combiner的一些数
(define (accumulate combiner value term a next b)(if (> a b)value(combiner (term a) (accumulate combiner value term (next a) next b))))
//测试accumulate,还是上面算pi/4的值功能
(define (test-accul n)(define (next x)(+ x 1))(define (iter n)(cond ((is-even n) (/ (+ n 2.0) (inc n)))((not (is-even n)) (/ (inc n) (+ n 2.0)))))(accumulate * 1 iter 1 next n))//添加过滤器版本的-accmulate
(define (filter-accul filter combiner value term a next b)(if (> a b)value(combiner (filter (term a)) (filter-accul filter combiner value term (next a) next b))))
//[a,b)中所有素数的求和
(define (ss-sum a b)(define (next x)(inc x))(define (filter x)(if (prime x) x 0))(define (iter x) x)(filter-accul filter + 0 iter a next b))
//gcd
(define (gcd n m)(if (= m 0)n(gcd m (remainder n m))))
//<n与n互素的正整数乘积
(define (mulit-hs  n)(define (next x)(inc x))(define (filter x)(if (= (gcd x n) 1)x1))(define (iter x) x)(filter-accul filter * 1 iter 1 next n))//(mulit-hs 5)       test(define (fixed-point f guess)(define (is-enough v1 v2)(< (/ (abs (- v1 v2)) v2) 0.0001))(define (iter guess)(let ((next (f guess)))(newline)(display next)(if (is-enough guess next)next(iter next))))(iter guess))(define (gold-line x)(+ 1 (/ 1 x)))
(define (test-sin x)(sin x))
(define (test-log x)(/ (+ x (/ (log 1000) (log x))) 2))
//无穷连式递归，写出函数，确定改变项，迭代或者递归次数
(define (cont-frac n d k)(define (iter r k)(let ((term (lambda (x) (/ n (+ d x)))))(if (= k 0)r(iter (term r) (dec k)))))(iter 2.0 k))(define (dd-cont-frac n d k)(define (iter c)(let ((term (lambda (x) (/ n (+ d x)))))(if (= c k)2.0(term (iter (inc c))))))(iter 1))//第一级状态
(define (cubic a b c)(lambda (x) (+ (* x (square x)) (* a (square x)) (* b x) c)))
(define (f-double f)(lambda (x) (f (f x))))(define (compose f g)(lambda (x) (f (g x))))(define (repeated f n)(define (iter n x)(if (= n 1)(f x)(f (iter (dec n) x))))(lambda (x) (iter n x)))(define (smooth f)(lambda (x) (/ (+ (f (- x 0.0001)) (f x) (f (+ x 0.0001))) 3)))//((repeated (smooth (lambda (x) (square x))) 5) 5) test

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