一、氢原子的薛定谔方程

在氢原子中，电子的势能函数为

$U=-\frac{e^{2}}{4\pi \xi _{0}r}$

将U代入薛定谔方程得

$\frac{\partial^{2} \psi }{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi }{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi }{\partial z^{2}}+\frac{2m}{h^{2}}(E+\frac{e^{2}}{4\pi \xi _{0}r})\psi =0$

采用球极坐标 $(r,\theta ,\varphi )$ 代替直角坐标 $(x,y,z)$ ，因 $x=rsin\theta cos\varphi ,y=rsin\theta sin\varphi ,z=rcos\theta$ ,所以上式化成

$\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial }{\partial r}(r^{2}\frac{\partial \psi }{\partial r})+\frac{1}{r^{2}sin\theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(sin\theta \frac{\partial \psi }{\partial \theta })+\frac{1}{r^{2}sin^{2}\theta}\frac{\partial^2 \psi }{\partial \varphi ^2}+\frac{2m}{h^{2}}(E+\frac{e^{2}}{4\pi \xi _{0}r})\psi =0$

通常采用分离变量法，即有

$\psi (r,\theta,\varphi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\varphi )$

1.能量量子化

$E_{n}=-\frac{me^{4}}{32\pi ^{2}\xi ^{2}_{0}h^{2}}\frac{1}{n^{2}}=-\frac{me^{4}}{8\xi ^{2}_{0}h^{2}}\frac{1}{n^{2}}$

式中n=1,2,3,...,称为主量子数

2.“轨道”角动量量子化

电子绕核运动的角动量必须满足量子化条件

$L=\sqrt{l(l+1)}\frac{h}{2\pi }$

式中l=0,1,2,3,...(n-1),称为角量子数

3. “轨道”角动量空间量子化

$L_{z}=m_{l}\frac{h}{2\pi }$

式中 $m_{l}=0,\pm 1,\pm2,...,\pm l$ 称为磁量子数。对于一定的角量子数 $l,m_{l}$ 可取(2l+1)个值

早在 1896年塞曼发现，当光源处于外磁场中，它发出的一条谱线将分裂成若干条非常靠近的谱线，这种现象称为塞曼效应.

二、氢原子中电子的概率分布

在氢原子中，求解薛定谔方程得到的电子波函数 $\psi (r,\theta ,\varphi )$ 对应每一组量子数 $(n,l,m_{l})$ ，有一确定的波函数描述一个确定的状态.

$\psi _{n,l,m_{l}}(r,\theta ,\varphi )=R_{n,l}(r)\Theta _{l,m_{l}}(\theta )\Phi _{ml}(\varphi )$

电子出现在原子核周围的概率密度为

$\left | \psi (r,\theta ,\varphi ) \right |^{2}=\left | R(r)\Theta (\theta )\Phi(\varphi ) \right |$

在空间体积元 $dV=r^{2}sin\theta drd\theta d\varphi$ 内，电子出现的概率为

$\left | \psi \right |^{2}dV=\left | R \right |^{2}\left | \Theta \right |^{2}\left | \Phi \right |^{2}r^{2}sin\theta drd\theta d\varphi$

$\left | R \right |^{2}r^{2}dr$ 表示电子在半径为r和r+dr薄球壳内的概率，它与坐标 $\theta$ 与 $\varphi$ 无关，因此 $r^{2}\left |R \right |^{2}$ 称为径向概率密度，用p(r)表示

当氢原子处于基态时(n=1,l = 0)，电子出现在玻尔半径 $a_{0}$ 附近的概率最大

量子力学得出电子出现在某处的概率，不能断言电子在某处出现

所谓电子云，并不表示电子真的像一团云雾罩那样弥漫在原子核周围，而只是电子概率分布的一种形象化描述而已.

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