直线型一阶倒立摆3---控制器设计
四、控制器设计
如前文所述，倒立摆状态空间方程表明系统能够被控制、被观测。倒立摆或者其它受控系统达到受控稳定状态，其实质上是指系统的各状态量收敛至一目标稳定值。对于状态空间描述而言，系统矩阵A的特征值为负数，对传递函数而言其特征值在复数平面的左半平面系统状态收敛。因此，设计系统控制器，其本质上是对系统极点进行从新配置。理论上，系统矩阵特征值越远离左半平面，收敛速度越快。但实际上，系统状态收敛速度受到外在物理条件限制。
1.系统矩阵极点配置 
系统极点配置就是对输入变量u'进行设计，故假设u'=r-KX。其中K=[k1 k2 k3 k4]。化简之后系统 矩阵变为(A-BK),其中BK为对原状态矩阵A进行配置的反馈量。计算det(sI-(A-BK))=0得到加入控制律之后的特征值方程，将特征值方程因式分解，根据实际需求配置合适的极点即可。 适用于低阶(二阶、三阶)状态方程极点配置。
(15)
高阶状态方程极点配置可使用线性代数解法。
2.传递函数描述下的控制器设计
传递函数描述下，需要考虑摆杆起摆的过程，在考虑摆杆镇定问题。以下，先介绍摆杆镇定问题。
在传递函数描述下，常用的控制器是比例-积分-微分组成的控制器或称为PID控制器。由于传递函数只能描述一对输入输出关系，因此，最简单的控制结构就是一个PID控制器。倒立摆模型有四个状态量需要控制，分别为小车位置、小车速度、摆杆角度、摆杆角速度。其中，小车速度量引起摆杆状态变化，小车位置不起直接控制作用。因此，可以先考虑控制小车速度、摆杆角度、摆杆角速度。
对于这三个状态量，可以采用串级PID进行控制，再采用负反馈进行反馈控制。其串级PID控制框图可以表述为
第一个PID控制器对小车速度进行控制，目标值为0m/s、第二个PID控制器对摆杆角速度进行控制，目标值为0rad/s、第三个PID控制器对摆杆角度进行控制,目标值为0°。三个状态量对应有三个负反馈环节。当其中某一个目标值未达到预期范围时，控制器调节过程不会停止。
串级PID控制器仿真：略
倒立摆视频汇总:自动学习起摆和稳定一阶倒立摆
VREP仿真之直线型一阶倒立摆:起摆与稳摆
最后附上Alan V. Oppenheim/奥本海姆对倒立摆的讲解：反馈举例-倒立摆
其它博文链接：直线型一阶倒立摆1---概念篇
直线型一阶倒立摆2---建模
直线型一阶倒立摆3---控制器设计
直线型一阶倒立摆4---能量起摆
直线型一阶倒立摆5---硬件平台搭建
直线型一阶倒立摆6---软件设计
直线型一阶倒立摆7---总结
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