CUR分解算法及Python实现

CUR分解

要理解CUR分解，需要先看下SVD分解。SVD理论以及Python实现

算法流程

给定输入的矩阵A。

A=C∗U∗RA = C* U *RA=C∗U∗R

随机选r个列构成C和r个行构成R（也可以使用，平方和加权过的行和列（常用））
然后选取W矩阵（C和R的交集，也就是被选出来的部分，在C和R中同时出现的A矩阵中的位置。）
对W做SVD分解，得到X∑YTX\sum Y^TX∑YT
对∑\sum∑做广义逆矩阵(∑)+(\sum)^+(∑)+，也就是只有非0元的部分才变成原来的倒数。
U=Y∗(∑)+∗XTU = Y*(\sum)^+* X^TU=Y∗(∑)+∗XT

Python实现

导入包

import numpy as np

数据

A = np.linspace(0, 14, 15).reshape((3, -1))

算法

def CUR(A, n): A_sq = A ** 2sum_A_sq = np.sum(A_sq)sum_A_sq_0 = np.sum(A_sq, axis=0)sum_A_sq_1 = np.sum(A_sq, axis=1)P_x_c = sum_A_sq_0 / sum_A_sqP_x_r = sum_A_sq_1 / sum_A_sqr, c = A.shapec_index = [np.random.choice(np.arange(0, c), p=P_x_c) for i in range(n)]r_index = [np.random.choice(np.arange(0, r), p=P_x_r) for i in range(n)]
#     print(c_index, r_index)C = A[:, c_index]R = A[r_index, :]W = C[r_index]
#     print(C, R, W)def SVD(A, n):M = np.dot(A, A.T)eigval, eigvec = np.linalg.eig(M)indexes = np.argsort(-eigval)[:n]U = eigvec[:, indexes]sigma_sq = eigval[indexes]M = np.dot(A.T, A)eigval, eigvec = np.linalg.eig(M)indexes = np.argsort(-eigval)[:n]V = eigvec[:, indexes]sigma = sigma_sq # not diag and not sqrtreturn U, sigma, VX, sigma, Y = SVD(W, n)for i in range(len(sigma)):if sigma[i] == 0:continueelse:sigma[i] = 1 / sigma[i]sigma = np.diag(sigma)U = np.dot(np.dot(Y, sigma), X.T)return np.dot(np.dot(C, U), R)

调用

CUR(A, 3)

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