第三章：3.5 傅里叶变换

推导过程

由前面的分析可知，信号的周期越大，在频域上离散的信号就越来越密，当信号的周期趋近于无穷大的时候，离散信号就趋近于连续信号（T趋于无穷大的时候谱线高度的降低，在这里没有体现出来）

如图所示，当周期趋于零的时候w1也趋于零。离散的间隔逐渐减小。此时频谱的幅度也是趋于零的，为了方便分析。我们对公式进行一些变换，作出一个比值关系（之前的无穷乘零无法算）。定义新的F（w）称为频谱密度。即是单位频谱范围内谱线的多少，以后我们都称之为频谱函数。

与傅里叶变换类似，我们给出傅里叶反变换的推导过程

我出门现在来看一下傅里叶变换的性质，对于F(-w)而言，它实际上相当于对e−jwte^{-jwt}取了一个共轭，如果想要把共轭符号提到积分号的外面，需要对积分内的所有函数都取共轭才可以实现。又因为系统本身是实函数的条件，因此f（t）取共轭和不取共轭都是一样的。所以积分内又得到了F（w），积分外有一个共轭

由此，我们得到了共轭对称性

对称性分析

我们讲解傅里叶变换的对称性有什么用呢？其中一种最基本的用法就是简化对一些信号的求解，我们举一个例子

如图所示，比起直接计算，我们利用对称性可以更容易得到十分优美的结果

以后的学中我们还会多次用到傅里叶变换的对称性

有没有一个信号可以只经过一次傅里叶变换，就可以得到自身函数形式相同的频谱呢？（和自身之相差一个常量）。如果存在的话，这个函数，就是傅里叶变换的特征函数。对应的常数就是改变换对应的特征值

还记得我们在典型信号中所学到的特征函数吗？我们举几个例子

变换存在条件

如图所示，对于这样的限制条件。显然像是单位阶跃信号等这样的常用信号是无法进行傅里叶变换的，这将大大限制傅里叶变换的使用。为此我们需要一种新的定义

如图所示，这样我们就根据广义傅里叶变换求出了这个问题，具体证明过程我们不再讨论，另外这个结论我们根据傅里叶变换的对称性也可以得到

练习题

如图所示，此处的cos（2t）显然w=2，没有w=0的分量。所以频谱中没有w=0所对应的分量

一道值得注意的练习题

关于这道题我们关于频域的计算最好将t当做一个常量。频域计算不要将时间分开，最好将时间看成是静止的，因此不要将积分割裂开来讨论。算积分可以分为小于零和大于零进行考虑。但是最后积分的结果要进行叠加。如下图所示的计算时错误的，应该这样算

这道题我不会