@(hdu 6625求两个序列异或最小值的排列)

题意：

\(T(100)\)组，每组两个长度为\(n(100000)\)的排列，你可以将\(a[]\)和\(b[]\)随机排列，可以得到\(c[i]=a[i]\)^\(b[i]\)，求字典序最小的\(c[]\)。

解析

一个显然对的贪心做法：
针对本题

• 每次两颗字典树同时往下走，如果都有\(0\)或者\(1\)这条路径，就随便同时走\(0\;or\;1\)这条路径，否则只能一个走\(0\)，一个走\(1\)。这样复杂度是严格\(O(log)\)的，最后将得到的\(n\)个数字排序即为最后答案。
• 这样为什么正确呢？
• 如果当前两字典树都有\(0\)和\(1\)的路径，同时走\(0\)这条路得到数字肯定不能保证是当前能异或出来的最小值，但是可以肯定的是他一定是字典序最小的序列所包含的某个值。
• 如果想单纯的求两个01字典树异或最小值，个人感觉还没有较好的复杂度的做法。

一个可以推广的正解：

• 出题人\(dreamoon\)提供的正解：
• 现在\(a[]\)中随便找一个数字\(x\)，然后在\(b[]\)中相应找一个和\(x\)匹配异或最小的数字\(y\)，再在\(a[]\)里面找一个和\(y\)匹配最小的数字\(z\)，递归下去一定会找到一个大小为2的环。
• 把这个环这两个数字取出来，再回到上一个失配位置继续递归下去。
• 这样得到的\(n\)个数字排序后即为最终答案。
• 复杂度同样很科学并且这个思路适用性很广。

Code1

const int MXN = 1e5 + 7;
const int MXE = 2e6 + 7;
int n, m;
int ar[MXN], br[MXN];
struct Trie {int tot;int nex[MXE][2], num[MXE], val[MXE];Trie(){nex[0][0] = nex[0][1] = -1;}void newnode() {++ tot;nex[tot][0] = nex[tot][1] = -1;}void inisert(int x) {int rt = 0;for(int i = 31, tmp; i >= 0; --i) {tmp = ((x>>i)&1);if(nex[rt][tmp] == -1) newnode(), nex[rt][tmp] = tot;rt = nex[rt][tmp];num[rt] ++;}val[rt] = x;}void del(int x) {int rt = 0;for(int i = 31, tmp; i >= 0; --i) {tmp = ((x>>i)&1);int lst = rt;rt = nex[rt][tmp];nex[lst][tmp] = -1;num[rt] = 0;}}
}cw[2];
bool check(int id, int rt, int tmp) {return cw[id].nex[rt][tmp] != -1 && cw[id].num[cw[id].nex[rt][tmp]] > 0;
}
int getans() {int rt1 = 0, rt2 = 0;for(int i = 31; i >= 0; --i) {if(check(0, rt1, 0) && check(1, rt2, 0)) {rt1 = cw[0].nex[rt1][0];rt2 = cw[1].nex[rt2][0];-- cw[0].num[rt1];-- cw[1].num[rt2];}else if(check(0, rt1, 1) && check(1, rt2, 1)) {rt1 = cw[0].nex[rt1][1];rt2 = cw[1].nex[rt2][1];-- cw[0].num[rt1];-- cw[1].num[rt2];}else if(check(0, rt1, 1) && check(1, rt2, 0)) {rt1 = cw[0].nex[rt1][1];rt2 = cw[1].nex[rt2][0];-- cw[0].num[rt1];-- cw[1].num[rt2];}else if(check(0, rt1, 0) && check(1, rt2, 1)) {rt1 = cw[0].nex[rt1][0];rt2 = cw[1].nex[rt2][1];-- cw[0].num[rt1];-- cw[1].num[rt2];}}return cw[0].val[rt1] ^ cw[1].val[rt2];
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("/home/cwolf9/CLionProjects/ccc/in.txt", "r", stdin);
//    freopen("/home/cwolf9/CLionProjects/ccc/out.txt", "w", stdout);
#endifint tim = read();while(tim --) {n = read();cw[0].tot = cw[1].tot = 0;for(int i = 1; i <= n; ++i) ar[i] = read(), cw[0].inisert(ar[i]);for(int i = 1; i <= n; ++i) br[i] = read(), cw[1].inisert(br[i]);vector<int> vs;for(int i = 1; i <= n; ++i) vs.eb(getans());sort(all(vs));for(int i = 0; i < SZ(vs); ++i) printf("%d%c", vs[i], " \n"[i == SZ(vs) - 1]);for(int i = 1; i <= n; ++i) cw[0].del(ar[i]), cw[1].del(br[i]);}return 0;
}

Code2

const int MXN = 1e5 + 7;
const int MXE = 2e6 + 7;
int n, m;
int ar[MXN], br[MXN];
struct Trie {int tot;int nex[MXE][2], num[MXE], val[MXE];Trie(){nex[0][0] = nex[0][1] = -1;}void newnode() {++ tot;nex[tot][0] = nex[tot][1] = -1;}void inisert(int x) {int rt = 0;for(int i = 30, tmp; i >= 0; --i) {tmp = ((x>>i)&1);if(nex[rt][tmp] == -1) newnode(), nex[rt][tmp] = tot;rt = nex[rt][tmp];num[rt] ++;}val[rt] = x;}int query(int x) {int rt = 0;for(int i = 30, tmp; i >= 0; --i) {tmp = ((x>>i)&1);if(nex[rt][tmp] != -1 && num[nex[rt][tmp]]) rt = nex[rt][tmp];else rt = nex[rt][!tmp];}return val[rt];}int find() {int rt = 0;for(int i = 30, tmp; i >= 0; --i) {if(nex[rt][0] != -1 && num[nex[rt][0]]) rt = nex[rt][0];else if(nex[rt][1] != -1 && num[nex[rt][1]]) rt = nex[rt][1];}if(rt == 0) return -1;return val[rt];}void del() {for(int i = 0; i <= tot + 1; ++i) num[i] = 0, clr(nex[i], -1);tot = 0;}void sub(int x) {int rt = 0;for(int i = 30, tmp; i >= 0; --i) {tmp = ((x>>i)&1);rt = nex[rt][tmp];num[rt] --;}}
}cw[2];
/** 这种做法不能保证每次求出来的异或最小值都是单调递增的，但是将n次得到的值排序后一定是正确答案* 如果想单纯的求两个01字典树异或最小值，个人感觉还没有较好的复杂度的做法。* 关于本题，还有一个出题人提供适用性更加广泛的正解：* 现在a中随便找一个数字，然后在b中找一个和他匹配最小的数字，再在a里面找一个和上个数匹配最小的数字，递归下去一定会找到一个大小为2的环* 把这个环取出来，在回到上一个位置继续递归下去。得到的n个数字排序即为最终答案。* */
vector<int> vs;
int dfs(int id, int x, int lst) {int tmp = cw[!id].query(x);if(tmp == lst) {vs.eb(tmp ^ x);cw[id].sub(x);cw[!id].sub(tmp);return id;}int ret = dfs(!id, tmp, x);if(ret != id) return ret;
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("/home/cwolf9/CLionProjects/ccc/in.txt", "r", stdin);
//    freopen("/home/cwolf9/CLionProjects/ccc/out.txt", "w", stdout);
#endifint tim = read();while(tim --) {n = read();for(int i = 1; i <= n; ++i) ar[i] = read(), cw[0].inisert(ar[i]);for(int i = 1; i <= n; ++i) br[i] = read(), cw[1].inisert(br[i]);vs.clear();while(1) {int tmp = cw[0].find();if(tmp == -1) break;dfs(1, tmp, -1);}sort(all(vs));for(int i = 0; i < SZ(vs); ++i) printf("%d%c", vs[i], " \n"[i == SZ(vs) - 1]);cw[0].del(), cw[1].del();}return 0;
}

原题描述