并查集——最小连接路径和Kruskal（hdu1301）

*没听说过并查集的同学先移步看一下上篇博客http://blog.csdn.net/sm9sun/article/details/53256232

好，首先说一下并查集的标准定义：

概述：

在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题近几年来反复出现在信息学的国际国内赛题中，其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在比赛规定的运行时间（1～3秒）内计算出试题需要的结果，只能用并查集来描述。

结构：

并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。
集就是让每个元素构成一个单元素的集合，也就是按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并。

操作：

初始化
把每个点所在集合初始化为其自身。
通常来说，这个步骤在每次使用该数据结构时只需要执行一次，无论何种实现方式，时间复杂度均为O(N)。
查找
查找元素所在的集合，即根节点。
合并
将两个元素所在的集合合并为一个集合。
通常来说，合并之前，应先判断两个元素是否属于同一集合，这可用上面的“查找”操作实现。

回到上篇博客的题目，畅通工程的边没有权值，所以相对来说，比较简单，如果有权值或者单向图，并查集可以做吗？显然也是可以的。

因为并查集是树形结构，本身其边就是带有指向性。

我们说并查集的主要用途在于连接、查找、合并操作，那么其应用最广的领域即为图的最小生成树问题——

图的最小生成树：如果连通图G的一个子图是一棵包含G的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树。生成树是连通图的包含图中的所有顶点的极小连通子图。（图的生成树不惟一。从不同的顶点出发进行遍历，可以得到不同的生成树）而权值最小的树就是最小生成树。

我们比较熟悉的最小生成树算法是prim算法，其思路是把每两个点的连接状态全部存储下来，即一个二维的邻接矩阵。然后通过贪心的方法进行连接

但如果其点非常多，NxN的邻接矩阵可能会扛不住，而未必每两个点的连接情况都有价值。比如说大部分两个点都没有连接关系。

那么这种情况，我们就适合用于以边计算的Kruskal算法。

Kruskal算法就是在剩下的所有未选取的边中，找最小边，如果和已选取的边构成连接，则放弃，选取次小边。那么连接操作、判断是否已经构成连接，就是运用的

并查集的算法思想。我们看一道例题：

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1301

题目描述：

给定村庄数n，用字母表的前n个字母表示，接下来n-1行每行一个村庄字母和与其连接的村庄数以及各村庄的字母和距离。求最小生成树。

解题思路：

用Kruskal算法解决此题，先将所有的边进行排序，依次选取最小的边进行连接，如果该边的2个点已经连接，则遍历次小的边

首先我们构造边的结构体：

struct Side
{
int V_nPoint_a; //a点
int V_nPoint_b; //b点
int V_Value_By_ab;//连接ab的边权值
}V_SideMap[5050];

并查集：

int find(int x) //查找根
{
if(P_nNextPoint[x]!=x)
P_nNextPoint[x]=find(P_nNextPoint[x]);
return P_nNextPoint[x];
}

int Union(int a,int b) //合并
{
int x,y;
x=find(a);
y=find(b);
if(x==y) return 1;
else
{
P_nNextPoint[y]=x;
return 0;
}
}

完整代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>int Get_PointId_by_PointName(char c)
{return int(c-64);
}struct Side
{int V_nPoint_a;int V_nPoint_b;int V_Value_By_ab;
}V_SideMap[5050];int C_nSideCount;void Sort_By_Side(int l,int r)
{if(l>=r)return;Side t;int j=r;int i=l;int si=(l+r)/2;while(i<j){for(;j>si;j--)if(V_SideMap[j].V_Value_By_ab<V_SideMap[si].V_Value_By_ab){      t=V_SideMap[j];V_SideMap[j]=V_SideMap[si];V_SideMap[si]=t;si=j;break;       }for(;i<si;i++)if(V_SideMap[i].V_Value_By_ab>V_SideMap[si].V_Value_By_ab){             t=V_SideMap[i];V_SideMap[i]=V_SideMap[si];V_SideMap[si]=t;si=i;     break;      }}Sort_By_Side(l,i-1);Sort_By_Side(j+1,r);
}//Union_Find
int P_nNextPoint[30];int find(int x)
{if(P_nNextPoint[x]!=x)P_nNextPoint[x]=find(P_nNextPoint[x]);return P_nNextPoint[x];
}int Union(int a,int b)
{int x,y;x=find(a);y=find(b);if(x==y) return 1;else {P_nNextPoint[y]=x;return 0;}
}int main()
{char N_cStPoint,N_cEnPoint_temp;
int C_nListSum;
int V_nSide_temp;
int Point_St_id,Point_En_id;
int n;
int V_nMinAns;
while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n)
{getchar();C_nSideCount=1;V_nMinAns=0;
for(int i=1;i<n;i++)
{scanf("%c", &N_cStPoint);scanf("%d", &C_nListSum);while(C_nListSum--){getchar();scanf("%c", &N_cEnPoint_temp);scanf("%d", &V_nSide_temp);Point_St_id=Get_PointId_by_PointName(N_cStPoint);Point_En_id=Get_PointId_by_PointName(N_cEnPoint_temp);V_SideMap[C_nSideCount].V_nPoint_a=Point_St_id;V_SideMap[C_nSideCount].V_nPoint_b=Point_En_id;V_SideMap[C_nSideCount].V_Value_By_ab=V_nSide_temp;C_nSideCount++;}getchar();
}for(int i=1;i<=n;i++)
P_nNextPoint[i]=i;Sort_By_Side(1,C_nSideCount-1);for(int i=1;i<C_nSideCount;i++)
if(!Union(V_SideMap[i].V_nPoint_a,V_SideMap[i].V_nPoint_b))
V_nMinAns+=V_SideMap[i].V_Value_By_ab;printf("%d\n",V_nMinAns);
}
return 0;
}

注：此题n取值范围并不答，更适用于prim算法，只是为了说明并查集应用Kruskal算法。后续会有针对于本题的prim题解~

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