计算机图形学几何变换

Transformation（变换）

2D线性变换

Scale 缩放变换

[x′y′]=[sx00sy][xy]\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}[x′y′]=[sx00sy][xy]

缩放矩阵：scale(Sx,sy)=[sx00sy]scale(S_x,s_y)=\begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}scale(Sx,sy)=[sx00sy]

Reflection 镜像变换

x′=−xx'=-xx′=−x

y′=−yy'=-yy′=−y

[x′y′]=[−1001][xy]\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}[x′y′]=[−1001][xy]

Shear 错切

把物体一边固定，然后拉另外一边

水平切片：

[x′y′]=[1a01][xy]\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & a\\ 0 &1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}[x′y′]=[10a1][xy]

通过找对应关系来找出变换后的点

Rotate 二维旋转

默认：绕原点逆时针旋转

Rθ=[cosθ−sinθsinθcosθ]R_\theta=\begin{bmatrix}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}Rθ=[cosθsinθ−sinθcosθ]

通过特殊点证明，如(0,1)→(−sinθ,cosθ)(0,1)\rarr(-sin\theta,cos\theta)(0,1)→(−sinθ,cosθ)和(1,0)→(cosθ，sinθ)(1,0)\rarr(cos\theta，sin\theta)(1,0)→(cosθ，sinθ)

R−θ=[cosθsinθ−sinθcosθ]=RθT=Rθ−1R_{-\theta}=\begin{bmatrix}cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}=R_\theta^T=R_\theta^{-1}R−θ=[cosθ−sinθsinθcosθ]=RθT=Rθ−1

总结

线性变换：可以写成下面这种形式

[x′y′]=[abcd][xy]\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a&b \\c&d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}[x′y′]=[acbd][xy]

Translation平移变换

[x′y′]=[abcd][xy]+[txty]\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a&b \\c&d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}t_x\\t_y\end{bmatrix}[x′y′]=[acbd][xy]+[txty]，不符合线性变换的表达式

如何把平移变换归结到线性变换？

引入齐次坐标，增加一个维度

2Dpoint=(x,y,1)T2D \quad point =(x,y,1)^T2Dpoint=(x,y,1)T
2Dvector=(x,y,0)T2D \quad vector =(x,y,0)^T2Dvector=(x,y,0)T保证向量平移不变性

为什么要分点和向量呢？

vecor + vector = vector
point - point = vector
point + vector = point
point + point = mid point

(xyw)\begin{pmatrix}x\\y\\w\end{pmatrix}⎝⎛xyw⎠⎞ 变成二维的点为 (xwyw1)\begin{pmatrix}\frac{x}{w}\\\frac{y}{w}\\1\end{pmatrix}⎝⎛wxwy1⎠⎞，w≠0w\neq0w=0

由此可以得到以下形式
(x′y′w′)=(10tx01ty001)⋅(xy1)=(x+txy+ty1)\begin{pmatrix}x'\\y'\\w'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&0&t_x\\0&1&t_y\\0&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x+t_x \\y+t_y\\1 \end{pmatrix} ⎝⎛x′y′w′⎠⎞=⎝⎛100010txty1⎠⎞⋅⎝⎛xy1⎠⎞=⎝⎛x+txy+ty1⎠⎞

Affine Transformations仿射变换

Affine map = linear map + translation

(x′y′)=(abcd)⋅(xy)+(txty)\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t_x\\t_y\end{pmatrix}(x′y′)=(acbd)⋅(xy)+(txty)

Using homogenous coordinates(写成齐次坐标的形式)
(x′y′1)=(abtxcdty001)⋅(xy1)\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a&b&t_x\\c&d&t_y\\0&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y\\1 \end{pmatrix} ⎝⎛x′y′1⎠⎞=⎝⎛ac0bd0txty1⎠⎞⋅⎝⎛xy1⎠⎞

用齐次坐标表示各种线性变换：

Scale

S(sx,sy)=(sx000sy0001)S(s_x,s_y)=\begin{pmatrix}s_x&0&0\\0 &s_y&0\\0&0&1\end{pmatrix}S(sx,sy)=⎝⎛sx000sy0001⎠⎞

Rotation

R(α)=(cosα−sinα0sinαcosα0001)R(\alpha)=\begin{pmatrix}cos\alpha&-sin\alpha&0\\sin\alpha&cos\alpha&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}R(α)=⎝⎛cosαsinα0−sinαcosα0001⎠⎞

Translation

T(tx,ty)=(10tx01ty001)T(t_x,t_y)=\begin{pmatrix}1&0&t_x\\0&1&t_y\\0&0&1\end{pmatrix}T(tx,ty)=⎝⎛100010txty1⎠⎞

Inverse Transform(逆变换)

M′M'M′（可以通过逆矩阵来理解）

变换的合成与分解

合成

可以类比矩阵乘法的结合律

An(...A2(A1(x)))=An⋅⋅⋅A2⋅A1⋅(xy1)A_n(...A_2(A_1(x)))=A_n \cdot \cdot \cdot A_2\cdot A_1 \cdot \begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}An(...A2(A1(x)))=An⋅⋅⋅A2⋅A1⋅⎝⎛xy1⎠⎞

其中An⋅⋅⋅A2⋅A1A_n \cdot \cdot \cdot A_2\cdot A_1An⋅⋅⋅A2⋅A1可以结合为一个矩阵，从而表示复杂的变换

分解

例如：将图像绕点C旋转α\alphaα度

可以分解为以下几步

将C点移动到原点，T(C)T(C)T(C)
绕原点旋转α\alphaα度，R(α)R(\alpha)R(α)
将C点移回原位置，T(−C)T(-C)T(−C)

故变换矩阵为T(C)⋅R(α)⋅T(−C)T(C) \cdot R(\alpha) \cdot T(-C)T(C)⋅R(α)⋅T(−C)

3D Transforms(三维变换)

类比二维

齐次坐标形式如下：

3D point = (x,y,z,1)T(x,y,z,1)^T(x,y,z,1)T
3D vector = (x,y,z,0)T(x,y,z,0)^T(x,y,z,0)T

(x,y,z,w)(w!=0)(x,y,z,w)\quad (w!=0)(x,y,z,w)(w!=0)表示三维空间的点(xw,yw,zw)(\frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{z}{w})(wx,wy,wz)

使用4×44\times44×4的矩阵表示仿射变换如下：
(x′y′z′1)=(abctxdeftyghitz0001)⋅(xyz1)\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b & c & t_x\\ d & e & f & t_y\\ g & h & i & t_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎛x′y′z′1⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛adg0beh0cfi0txtytz1⎠⎟⎟⎞⋅⎝⎜⎜⎛xyz1⎠⎟⎟⎞
先进行线性变换，再平移

Scale

S(sx,sy,sz)=(sx0000sy0000sz00001)S(s_x,s_y,s_z)= \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & s_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} S(sx,sy,sz)=⎝⎜⎜⎛sx0000sy0000sz00001⎠⎟⎟⎞

Translation

T(tx,ty,tz)=(100tx010ty001tz0001)T(t_x,t_y,t_z)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & 0 & t_y\\ 0 & 0 & 1 & t_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} T(tx,ty,tz)=⎝⎜⎜⎛100001000010txtytz1⎠⎟⎟⎞

Rotation

绕x，y，z轴旋转
Rx(α)=(10000cosα−sinα00sinαcosα00001)R_x(\alpha)= \begin{pmatrix} 1 &0&0&0\\ 0&cos\alpha&-sin\alpha&0\\ 0&sin\alpha&cos\alpha&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} Rx(α)=⎝⎜⎜⎛10000cosαsinα00−sinαcosα00001⎠⎟⎟⎞

Ry(α)=(cosα0sinα00100−sinα0cosα00001)R_y(\alpha)= \begin{pmatrix} cos\alpha&0&sin\alpha&0\\ 0&1&0&0\\ -sin\alpha&0&cos\alpha&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} Ry(α)=⎝⎜⎜⎛cosα0−sinα00100sinα0cosα00001⎠⎟⎟⎞

Rz(α)=(cosα−sinα00sinαcosα0000100001)R_z(\alpha)= \begin{pmatrix} cos\alpha&-sin\alpha&0&0\\ sin\alpha&cos\alpha&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} Rz(α)=⎝⎜⎜⎛cosαsinα00−sinαcosα0000100001⎠⎟⎟⎞

由于x×y=z,x×z=−y,y×z=xx\times y=z,x\times z =-y,y\times z=xx×y=z,x×z=−y,y×z=x，故当关于y轴旋转时需要将对应的旋转部分的二维矩阵与其他两个不同

绕任意轴(过原点）的3D旋转

Rxyz(α,θ,γ)=Rx(α)Ry(θ)Rz(γ)R_{xyz}(\alpha,\theta,\gamma)=R_x(\alpha)R_y(\theta)R_z(\gamma)Rxyz(α,θ,γ)=Rx(α)Ry(θ)Rz(γ)

上述角度称为欧拉角，可以通过飞机的roll、pitch、yaw操作进行理解

Rodrigues’ Rotation Formula

绕旋转轴n\boldsymbol{n}n旋转α\alphaα角
R(n,α)=cos(α)I+(1−cos(α))nnT+sin(α)(0−nznynz0−nz−nynx0)⏟NR(\boldsymbol{n},\alpha)=cos(\alpha)\boldsymbol{I}+(1-cos(\alpha)) \boldsymbol{nn}^T+sin(\alpha) \underbrace{ \begin{pmatrix} 0&-n_z&n_y\\ n_z&0&-n_z\\ -n_y&n_x&0 \end{pmatrix} }_N R(n,α)=cos(α)I+(1−cos(α))nnT+sin(α)N⎝⎛0nz−ny−nz0nxny−nz0⎠⎞
若轴不过原点，可以先将轴的中心点平移至原点，再旋转，最后再将轴平移回去

Viewing transformation(观测变换)

model transformation模型变换
view transformation视图变换
projection transformation投影变换

类比拍照

找好的地方 → model
找好的角度 → view
拍摄 → projection

View/Camera Transformation

定义相机

Position（位置） e⃗\vec{e}e
gaze direction（角度） g⃗\vec{g}g
Up direction（向上方向） t⃗\vec{t}t

数学表示

Mview=RviewTviewM_{view}=R_{view}T_{view}Mview=RviewTview

其中
Tview=[100−xe010−ye001−ze0001]T_{view}=\begin{bmatrix} 1&0&0&-x_e\\ 0&1&0&-y_e\\ 0&0&1&-z_e\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} Tview=⎣⎢⎢⎡100001000010−xe−ye−ze1⎦⎥⎥⎤
对于RviewR_{view}Rview，则是将 g⃗\vec{g}g 旋转到 −Z-Z−Z 轴，t⃗\vec{t}t 旋转到 YYY 轴，(g⃗×t⃗)(\vec{g}\times \vec{t})(g×t) 旋转到 XXX 轴

直接写出RviewR_{view}Rview 可能比较麻烦，我们可以从逆变换的角度先写Rview−1R_{view}^{-1}Rview−1 ，再根据旋转矩阵为正交矩阵，正交矩阵的逆矩阵为它的转置写出RviewR_{view}Rview
Rview−1=[xg⃗×t⃗xtx−g0yg⃗×t⃗yty−g0zg⃗×t⃗ztz−g00001]⇒Rview=[xg⃗×t⃗yg⃗×t⃗zg⃗×t⃗0xtytzt0x−gy−gz−g00001]R_{view}^{-1}=\begin{bmatrix} x_{\vec{g}\times \vec{t}} & x_t & x_{-g} & 0\\ y_{\vec{g}\times \vec{t}} & y_t & y_{-g} & 0\\ z_{\vec{g}\times \vec{t}} & z_t & z_{-g} & 0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \quad \Rarr \quad R_{view}=\begin{bmatrix} x_{\vec{g}\times \vec{t}} & y_{\vec{g}\times \vec{t}} & z_{\vec{g}\times \vec{t}} & 0\\ x_t& y_t & z_t & 0\\ x_{-g}& y_{-g} & z_{-g} & 0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} Rview−1=⎣⎢⎢⎡xg×tyg×tzg×t0xtytzt0x−gy−gz−g00001⎦⎥⎥⎤⇒Rview=⎣⎢⎢⎡xg×txtx−g0yg×tyty−g0zg×tztz−g00001⎦⎥⎥⎤

Projection Transformation(投影变换)

正交投影和透视投影对比如下：

Orthographic projection(正交投影)

无近大远小的现象

简单理解：

将相机放到原点，看向−Z-Z−Z方向，向上方向为YYY轴正方向
去掉ZZZ坐标
伸缩变换到[−1,1]2[-1,1]^2[−1,1]2

正式操作：

将一个空间的立方体[l,r]×[b,t]×[f,n][l,r]\times[b,t]\times[f,n][l,r]×[b,t]×[f,n]映射到标准立方体（canonical cube）[−1,1]3[-1,1]^3[−1,1]3
将中心点平移到原点，缩放到标准立方体

矩阵形式：
Mortho=[2r−l00002t−b00002n−f00001][100−r+l2010−t+b2001−n+f20001]M_{ortho}=\begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2}\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Mortho=⎣⎢⎢⎡r−l20000t−b20000n−f200001⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡100001000010−2r+l−2t+b−2n+f1⎦⎥⎥⎤

Perspective projection(透视投影)

有近大远小的现象

如何完成透视投影？

可以先将锥体“压扁”为立方体（n→n,f→fn\rarr n,f\rarr fn→n,f→f)（Mpersp→orthoM_{persp\rarr ortho}Mpersp→ortho）
做一次正交投影（MorthoM_{ortho}Mortho）

规定：近平面上点的坐标不变，远平面的z坐标不变，远平面的中心点坐标不变

那么如何“压扁”呢？

我们需要找到变换后的点(x′,y′,z′)(x',y',z')(x′,y′,z′)和它的原始点(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)之间的关系，我们从y−zy-zy−z平面看，发现y′=nzyy'=\frac{n}{z}yy′=zny，具体如下

同理：x′=nzxx'=\frac{n}{z}xx′=znx

现在我们可以得到如下变换
Mpersp→ortho(4×4)(xyz1)⇒(nxznyzunknown1)=×z(nxnystillunknownz)M^{(4\times 4)}_{persp\rarr ortho} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} \frac{nx}{z}\\\frac{ny}{z}\\unknown\\1 \end{pmatrix} \xlongequal[]{\times z} \begin{pmatrix} nx\\ny\\still\quad unknown\\z \end{pmatrix} Mpersp→ortho(4×4)⎝⎜⎜⎛xyz1⎠⎟⎟⎞⇒⎝⎜⎜⎛znxznyunknown1⎠⎟⎟⎞×z⎝⎜⎜⎛nxnystillunknownz⎠⎟⎟⎞
故我们可以得到Mpersp→ortho(4×4)M^{(4\times 4)}_{persp\rarr ortho}Mpersp→ortho(4×4)的一部分
Mpersp→orhto(4×4)=(n0000n00????0010)M^{(4\times 4)}_{persp\rarr orhto}= \begin{pmatrix} n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ ?&?&?&?\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix} Mpersp→orhto(4×4)=⎝⎜⎜⎛n0?00n?000?100?0⎠⎟⎟⎞
我们可以观察到近平面上的点不变，即
Mpersp→orhto(4×4)(xyz1)=(nxnyunknownz)，用z代替n可得(xyn1)⇒(xyn1)==(nxnyn2n)M^{(4\times 4)}_{persp\rarr orhto} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} nx\\ny\\unknown\\z \end{pmatrix} ，用z代替n可得 \begin{pmatrix} x\\y\\n\\1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} x\\y\\n\\1 \end{pmatrix} ==\begin{pmatrix} nx\\ny\\n^2\\n \end{pmatrix} Mpersp→orhto(4×4)⎝⎜⎜⎛xyz1⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛nxnyunknownz⎠⎟⎟⎞，用z代替n可得⎝⎜⎜⎛xyn1⎠⎟⎟⎞⇒⎝⎜⎜⎛xyn1⎠⎟⎟⎞==⎝⎜⎜⎛nxnyn2n⎠⎟⎟⎞
因此Mpersp→ortho(4×4)M^{(4\times 4)}_{persp\rarr ortho}Mpersp→ortho(4×4)的第三行应该为(00AB)(0\quad 0\quad A\quad B)(00AB)这种形式
(00AB)(xyn1)=n2(0\quad 0\quad A\quad B) \begin{pmatrix} x\\y\\n\\1 \end{pmatrix}=n^2 (00AB)⎝⎜⎜⎛xyn1⎠⎟⎟⎞=n2
可以得到An+B=n2An+B=n^2An+B=n2

同样的道理远平面的中心点(00f1)(0\quad 0\quad f\quad 1)(00f1)经过"压扁"后还是(00f1)(0\quad 0\quad f\quad 1)(00f1)，也就是(00f2f)(0\quad 0\quad f^2\quad f)(00f2f)（利用特殊值法求解）

故
(00f1)⇒(00f1)==(00f2f)\begin{pmatrix} 0\\0\\f\\1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 0\\0\\f\\1 \end{pmatrix}== \begin{pmatrix} 0\\0\\f^2\\f \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎛00f1⎠⎟⎟⎞⇒⎝⎜⎜⎛00f1⎠⎟⎟⎞==⎝⎜⎜⎛00f2f⎠⎟⎟⎞
可以得到Af+B=f2Af+B=f^2Af+B=f2

联立{An+B=n2Af+B=f2\left\{ \begin{aligned} An+B=n^2 \\Af+B=f^2 \end{aligned} \right.{An+B=n2Af+B=f2，可以得到{A=n+fB=−nf\left\{ \begin{aligned} A=n+f \\B=-nf \end{aligned} \right.{A=n+fB=−nf

综合上述:

Mpersp→orhto(4×4)=(n0000n0000n+f−nf0010)Mpersp=MorthoMpersp→orhto(4×4)M^{(4\times 4)}_{persp\rarr orhto}=\begin{pmatrix}n&0&0&0\\0&n&0&0\\0&0&n+f&-nf\\0&0&1&0\end{pmatrix}\\ M_{persp}=M_{ortho}M^{(4\times 4)}_{persp\rarr orhto} Mpersp→orhto(4×4)=⎝⎜⎜⎛n0000n0000n+f100−nf0⎠⎟⎟⎞Mpersp=MorthoMpersp→orhto(4×4)