1 皮尔逊相关性

1.1 定义

给定两个随机变量，XXX 和 YYY，则 XXX 和 YYY 之间的（皮尔逊）相关性定义为：
Corr(X,Y)=Cov(X,Y)Var(X)⋅Var(Y),\text{Corr}(X, Y) = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)} \cdot \sqrt{\text{Var}(Y)}}, Corr(X,Y)=Var(X)⋅Var(Y)Cov(X,Y),
其中 X,Y∈RX, Y \in \mathcal{R}X,Y∈R。

1.2 性质

Corr(X,X)=1\text{Corr}(X, X) = 1Corr(X,X)=1。
Corr(X,Y)=Corr(Y,X)\text{Corr}(X, Y) = \text{Corr}(Y, X)Corr(X,Y)=Corr(Y,X)。
Corr(aX+b,Y)=sign(a)Corr(X,Y)\text{Corr}(aX+b, Y) = \text{sign}(a)\text{Corr}(X,Y)Corr(aX+b,Y)=sign(a)Corr(X,Y)，对于任意的 a,b∈Ra,b \in \mathcal{R}a,b∈R。
−1≤Corr(X,Y)≤1-1 \leq \text{Corr}(X, Y) \leq 1−1≤Corr(X,Y)≤1，当 Corr(X,Y)>0\text{Corr}(X, Y) > 0Corr(X,Y)>0 时表示正（线性）关系，当 <0< 0<0 表示负（线性）关系。
∣Corr(X,Y)∣=1\lvert \text{Corr}(X, Y) \rvert =1∣Corr(X,Y)∣=1 当且仅当 Y=aX+bY= aX+bY=aX+b 时，其中 a,b∈R,a≠0a,b \in \mathcal{R}, a \neq 0a,b∈R,a=0。
如果 X,YX, YX,Y 互相独立，则 Corr(X,Y)=0\text{Corr}(X, Y) = 0Corr(X,Y)=0。
如果 Corr(X,Y)=0\text{Corr}(X, Y) = 0Corr(X,Y)=0，不能得出 X,YX, YX,Y 互相独立。
如果 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 是双变量正态的且 Corr(X,Y)=0\text{Corr}(X, Y)=0Corr(X,Y)=0，则 X,YX,YX,Y 是相互独立的。

2 协方差

Cov(X,Y)=∑i=1n(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)n=E[(X−E[X])(Y−E[Y])].\text{Cov}(X, Y) = \sum_{i=1}^n \frac{(X_i - \bar{X}) (Y_i - \bar{Y})}{n} = E\left[(X - E[X]) (Y - E[Y]) \right]. Cov(X,Y)=i=1∑nn(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)=E[(X−E[X])(Y−E[Y])].

3 方差和协方差的关系

Var(X)=E[(X−E[X])2]=Cov(X,X).\text{Var}(X) = E \left[ (X - E[X])^2 \right] = \text{Cov}(X, X). Var(X)=E[(X−E[X])2]=Cov(X,X).

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