图论学习--4 欧拉图与哈密尔顿图（思维导图）
欧拉图与哈密尔顿图
Euler图
定义
经过G的每条边的迹被称为欧拉迹
- 迹的边，每个边只出现一次，但是点不一定，可以多次
能够闭合的迹被称为闭迹
- 存在欧拉闭迹的图称为欧拉图
- 欧拉闭迹又称为欧拉回路
欧拉图等价性质
图G的每个点的度都是偶数
- 证明：令C为G中的一条欧拉回路，G中任一个给定的点在C中每出现一次恰好关联两条边，因为G的每条边在C仅出现一次，所以该点的度为该店在C中出现的次数的两倍，是偶数
推论：连通图G有欧拉迹当且仅当G最多有两个奇点
- 证明：显然，G有欧拉闭迹时当且仅有0个奇点。而若G有欧拉非闭迹，并设点u和v分别是C的奇点和终点，记在C中添加一条连接u和v的边e后所得到的图为C+e，显然，C+e是一条欧拉闭迹，则由已知结论可知，C+e有0个奇点，所以C有两个奇点。反之，设G是恰有两个奇点u和v的连通图，在u和v之间添加新边e得图G+e，则G+e没有奇点，由已知结论，G+e有欧拉闭迹，所以G有欧拉迹，综上，结论成立
图G的边集能划分为边不重的圈的并
- 由上一个性质来证明该性质，当G的边数为1时，G只能是自环，结论显然成立。假设G的边数大于1，从任意一点出发，寻找一条通路直到某一个顶点再次遇到，假设为v，则v到v的通路构成一个圈。从G中移除得到的圈，则得到的每个连通分支是一个满足条件，边数较少的圈。
- 可以想象，一个大圈，被拧巴成那种麻花，成了几个小圈
一笔画
- 多少笔画完取决于有多少对奇点
若G有2k个奇度顶点，则存在k条边不重的迹Q1,Q2...Qk使得E(G)=E(Q1)∪E(Q2)∪...∪E(Qk)
- 证明：只就连通图进行证明，对2k个奇点，两两配对且不相邻，添加k条新的边，从而G‘变成了欧拉图，G’存在欧拉回路C，在C中删除刚才新加的边，得k个边不重的迹Qi，从而得证
一些性质(例题)
若G是非平凡的欧拉图，则G的每个块也是欧拉图
- 证明：设B是G的任意一个块，C是G的一个欧拉回路，从B的某一点v出发，沿着C前进，由块的定义知，欧拉回路C只有经过G的割点才能离开B，也只有经过同一割点才能回到B中，我们将C中不属于B的那些边去掉，得到一个回路，该回路经过了B的每条边，因此，该回路是B的欧拉回路，所以B是欧拉图。
若G和H是欧拉图，则GxH是欧拉图
- 首先GxH是积图的意思，(x,y)，新图中相连必须一个坐标相等，另外一个相连
- 证明要从（度数偶数，连通图来入手）
度数偶数：对于任意u∈V(G)，v∈V(H)，必有
- 如此便能得到积图度数为偶数
其次，GxH必为连通图，对任意顶点(u1,v1)∈V(GxH)，(u2,v2)∈V(GxH)，它们之间必存在一条通路，由于G是欧拉图，则G必为连通图，因此，在G中存在一条连接u1和u2的路(u1,x1,x2,...xp,u2)，同理在H中存在一条连接v1和v2的路(v1,y1,y2,...,yq,v2)，所以GxH中存在一条连接(u1,v1)和(u2,v2)的路(u1,v1)(x1,v1)...(xp,v1)(u2,v1)(u2,y1)(u2,y2)...(u2,yq)(u2,v2)
- 综上，GxH是每个顶点度数为偶数的连通图，所以GxH是欧拉图
G是非平凡的欧拉图，且v∈V(G)，G的每条以v为起点的迹都能扩展成G的欧拉回路当且仅当G-v为森林
- 扩展的意思是从迹的终点继续走下去，延伸
- 森林，就是无圈图
必要性：若不然，G-v包含圈C，考虑G1=G-E(C)的包含顶点v的连通分支H，由于G是欧拉图，则G的每个顶点度数为偶数，圈C的每个顶点度数为偶数，所以G1的每个顶点的度数都是偶数，从而H是顶点度数都是偶数的连通图，H是欧拉图。设T为H的欧拉回路，则T可以看做是图G的以v为起点与终点的一条迹。这里可以证明T与C不相交，且图G与v关联的边都在T中。假设T与C相交，即有公共边，则在G-E(C)时就会将其删掉，则不可能再H中构成回路，所以T与C不相交；同时，圈C是由G-v得到，所以与v相关联的边一定不在圈C上，然后与v关联的边一定出现在v所在的连通分支上，不出现在其他连通分支上，这显然，所以一定在T中。此时，与v关联的边都在T中，无法继续走下去，所以无法扩展，所以矛盾，所以G-v一定不包含圈，所以G-v是森林
- 一句话：反证，点v除了在圈中，不和剩余部分相连，所以矛盾
充分性：若不然，则设Q=(v,w)是G的一条不能扩展为G的欧拉回路的最长的迹。首先，v=w，即Q是一条闭迹，否则，v和w是G-Q仅有的两个奇度点，从而，G-Q中存在以w为奇点，v为终点的迹P，因此，迹Q可以通过P继续扩展，所以Q必须是闭迹。其次，Q包含与v关联的所有边，否则，Q还可以延长。所以，G-v包含包含G-Q的所有边，且G-Q的每个顶点的度数都是偶数。所以G-Q的非平凡连通分支是欧拉图，所以存在圈，所以G-v中也存在圈，这和充要条件G-v是森林矛盾，故充分性证闭。
- 一句话，反证，最长的迹时闭迹，推导出G-v也是度数为偶数的图，存在圈
Fleury算法
- 描画一条边不重复的迹，割边在没有其他选择时才会被描画
目的：找欧拉图的欧拉回路
- 对于半欧拉图的欧拉迹也可以，因为它和欧拉图也就差了一条边，填上这条边，就可以用fleury算法寻找欧拉回路，删掉添的边，就成了欧拉迹
算法过程
- 每次在当前轨迹的终点选择边，从当前可选边的非割边中任意选一条边，然后继续走下去，若只有割边，那就只能选割边往下走了
中国邮递员问题
问题描述
- 从某点出发，每条边至少走一遍，回到该点，总路程最小
- 不一定是欧拉回路，因为有的路是重复走的，欧拉回路中每条路都是只走一次的
该问题的图论模型：在一个连通的具有非负权的赋权图G中找一条包含每条边(允许重复)且边权之和最小的闭途径，称之为最优环游
- 若图G是欧拉图，则直接找出G的欧拉回路即可
- 若图G是一般图，其解法为：添加重复边使G成为欧拉图G‘，并使添加的重复边的边权之和最小，再求G’的欧拉回路
定理：假定G‘是在图G中添加一些重复边得到的欧拉图，则G’具有最小权值的充要条件是：（1）G的每一条边最多被添加一次（2）对于G‘的每个圈来说，新添加的边的总权值不超过该圈总权值的一半
- 必要性：若G中某条边在G’中被添加的次数超过1，则去掉其中两条重复边，将得到一个总权值更小，且以G为子图的欧拉图。所以每条边最多被添加一次。假定G‘中存在某个圈使得新添加的边的总权值大于该圈权值的一半，设该圈为C，那么在G’中，将C上新添加的边全部去掉，然后将原来的每条边都添加一次，这样就能够得到总权值更小的以G为子图的欧拉图，所以（2）需要满足
- 充分性：要证明，满足两个条件的任意两个图都有相同的总权值。设Y1与Y2分别表示G1与G2中添加的边的集合，令Y是Y1和Y2的非公共部分。G[Y]的每个顶点的度数必为偶数(可证明，这里不证明)，由此，G[Y]的每个分支都是欧拉图，可以做圈分解，对于每个圈，其添加的权值都相等(可证明，这里不证明)。由此，可证得G1和G2有相同的权值。（这里两个可证明而不证明的地方，因为证明内容太长，所以就暂时不写了，考到的可能性比较低）
非欧拉图求最优环游方法
- 用每条边最多添加一次的方式去任意添加一些重复边是图G称为一个欧拉多重图G‘
- 考察G’的圈，若存在圈C，其中重复边的总权值大于该圈权值的一半，则再圈C上交换重复边和不重复边得到一个新的欧拉多重图。重复这个过程，直到满足不大于一半
- 用Fleury算法来求G‘的欧拉回路
最优环游例题解决
如果一个赋权图G中只有两个奇度顶点u和v，设计一个求其最优欧拉环游的算法
- 在u和v之间求出一条最短路P，在最短路P上，给每条边添加一条平行边得到G的欧拉多重图G’，在欧拉多重图G‘中用Fleury算法求出一条欧拉回路
E图与H图
线图L(G)
- V(L(G))=E(G)
- (e1,e2)∈E(L(G))当且仅当e1与e2相邻
n次迭线图
- 线图的线图，n-1次迭代
线图的性质
- 线图L(G)的顶点数等于G的边数
- 若e=uv是G的边，则e作为L(G)的顶点，度数为
若G有n个点，m条边，则线图L(G)的边数为
- 证明，对于G中任一顶点v，关联于该顶点的d(v)条边在L(G)中产生的边数为d(v)(d(v)-1)/2（两两相邻的顶点），求和便是该结果
一个图同构与它的线图，当且仅当它是圈
- 若图G1和G2有同构的线图，则除了一个是K3另一个是K1,3外，G1和G2同构
n次细分图
- 只将G的每条边都插入n个2度顶点，迭代n次（符号Sn）
定理：（1）若G是E图，则L(G)既是E图又是H图（2）若G是H图，则L(G)是H图
- （1）因为G是E图，所以每个点的度数是偶数，然后线图的每个点度数都是偶数，连通，所以线图是E图。沿着欧拉图的欧拉回路走一圈，就是线图的H图
- （2）不会，不管了···
一个图G是E图的充要条件是L3(G)为H图
若G是具有n个点m条边的非平凡连通图，且不是一条路，则k≥n-3时，图Lk(G)是H图
TSP问题
问题描述：完全图，恰好遍历每个点，返回，且最终总路程最短
图论模型：在赋权完全图G中求具有最小权的哈密尔顿圈，即最优圈
边交换技术
- 权重小的边去替换权重大的边
- 选出的边是要交叉的
- 得到的结果是近似最优解
- 可以通过几个不同的初始圈开始，通过边交换技术得到几个近似的最优解，然后选其中最好的
最优圈的下界
- 方法：在G中任意删掉一点得图G1，在图G1中求出一棵最小生成树T，在v的关连边中选出两条权值最小者e1和e2，若C是G的最优圈，则W(C)≥W(T)+W(e1)+W(e2)
- 关于那个例题，三角不等式的，还是比较好理解的，通过最小生成树的欧拉图来构建H圈那个，ppt上说的是从第三个点开始删点，这个很不好理解，视频上说是沿着T1的欧拉圈来构建H图，是通过每遍历一个新的点，就加进路径，这样例如v1,v2,v3,v4,v5,v6,v1就是H圈，结合三角不等式，一定比最小生成树的欧拉圈权值要小，即最小生成树权值的两倍
度极大的非哈密尔顿图
概念
度极大非H图
- 非H图
- 度不弱于其他非H图
- 度弱是度序列排序后比较第i个大小
Cm,n图
-
- 可以展开
- 有必要说，1≤m<n/2
理解其生成规则：左边m个孤立点，中间一个Km完全图，右边一个Kn-2m的完全图，中间分别和左右做联运算，即每个点都与左右两边的点连接
-
Cmn的度序列是什么样的呢
- (m,...m,(m个),n-m-1...n-m-1(n-2m个),n-1...n-1(m个))
- 挺好理解的
Cmn图不是H图
- 如果删去中间m个顶点，删去它们，会得到m+1个连通分支，这不符合H图的性质3，所以其不是H图
Cmn图对于任意两个不相邻的顶点，添加一条边，则会成为H图
- 故，Cmn图是极大的非H图
定理：(Chvatal) 若G是n≥3的非H简单图，则G度弱与某个Cmn图
- 用度序列判定定理的逆否命题来证明即可
- Cmn图族中每个图都是某个n阶非简单图的极图
- 如果n阶简单图G度优于所有的Cmn图族，则G一定是H图
定理的条件是必要条件而非充分条件
- 比如5阶圈C5，度弱于C2,5，但它还是H图
即：非H图，一定度弱于Cmn图族中的某个，度优于所有Cmn图族一定是H图。
- 除此之外，别无它意
- 所以，用该定理来判断H图时，写出G(n)的度序列，再写出所有的Cmn图族度序列，如果度优于所有，则它是H图，否则不能判断
推论：G为n阶简单图，若n≥3且满足下面条件，则其一定为H图
- 则可以得到非H图的边数上限
- 满足边数如此的非H图只有C1,n和C2,5
- 证明：若不然，由Chvatal定理，G一定度弱于Cm,n，计算Cmn，他是小于等于上面的一串的，所以|E|也小于那一串，和条件中大于那一串矛盾
- 只是充分条件，非充要
哈密尔顿图
定义
- 经过图G中每个点的路称为哈密尔顿路，H路
- 经过图G中每个点的圈称为哈密尔顿圈，H圈
- 存在哈密尔顿圈的图称为哈密尔顿图，H图
性质
- 性质1：如果二部图G是哈密尔顿图，则它的二部划分(X,Y)满足|X|=|Y|
性质2：若G1和G2是H图，则G1xG2是H图
- 证明：G1的H圈为u1u2...upu1，G2的H圈为v1v2...vqv1，分为奇数和偶数来讨论
- 奇数与偶数的区别在于遍历到每个点的顺序不一样，因为要从(u1,v1)点出发，你需要最终到达(up,v1)或者(u1,vq)才可，不然的话是构不成圈的，而因为奇偶的问题，到这从(u1,v1)到达(up,v1)和(u1,vq)的路线不同，所以需要分类来讨论，这里都是偶数为行，奇数为列来排列点
-
性质3（定理）：若G是H图，则对于V的每个非空真子集S，均有ω(G-S)≤|S|
- 证明：设C的H圈。对V的任意非空子集S，易知ω(C-S)≤|S|(这是圈嘛)。C是G的生成子图，生成子图肯定没有原图结构牢靠一些，所以ω(G-s)≤ω(C-S)，所以得证
- 这只是必要条件，不是充分条件，即H图都具有这个性质，但是满足该条件不一定是H图
- 彼得森图不是H图，但满足定理
- 可以用于判断某图不是H图
- 对这个定理，可以将S设为一点x，则ω(G-x)≤|x|=1，则ω(G-x)=1，则说明哈密尔顿图没有割点
性质4：若连通图不是2-连通的，则G不是H图
- 证明：若连通图不是2-连通的，所以其一定是1连通的，所以存在割点，假设割点为v，所以ω(G-v)=2>|v|=1，所以该图不是H图
- 所以，H简单图中一定不存在割点
性质5：若图G包含H路，则对V(G)的每个真子集S有，ω(G-S)≤|S|+1
- 证明：这个和性质3很像，证明是一样的，从一条路上删去一个点，最多两个连通分支，删去k个，则最多有K+1个连通分支
性质6：若图G是H图且不是圈，则G至少包含2个度不小与3的顶点
- 证明：因为连通图G不是圈，则图G至少包含一个度数大于3的顶点，否则图G是圈。若图G只包含一个度数大于等于3的顶点，则其结构必为几个块相交于一点，因此该点为割点，所以该图不是H图，矛盾，所以得证
H图的判定
充分条件1：Dirac定理。对于n≥3的简单图G，如果G中有δ(G)≥n/2，那么G是H图 （充分条件）
- 证明：反证：若不然，设G是一个满足定理条件的极大非H简单图，显然G不能是完全图，否则G是H图，所以，在G中任意取两个不相邻顶点u和v，考虑G+uv，由G的极大性，G+uv是H图，有与G是非H图，G+uv的每个H圈必然包含边uv，所以在G中存在起点为u终点为v的H路P。设P为v1v2...vn，v1=u，vn=v，令S={vi|uvi+1∈E(G)}，T={vj|vjv∈E(G)}，对于S和T，显然vn不在S∪T中，|S∪T|＜n，同时S∩T=∅，否则设vi∈S∩T，由vi∈T可得vnvi∈E，则v1vi+1也∈E，则v1vi+1vivn...v1则为圈，且H圈，所以矛盾，所以S∩T=∅，所以d(u)+d(v)=|S|+|T|=|S∪T|<n，这与条件矛盾，所以得证
- 感觉只要会用就行
充分条件2：Ore定理，对于n≥3的简单图G，如果G中任意两个不相邻的顶点u与v，有d(u)+d(v)≥n，则G是H图（充分条件）
- Ore定理比Dirac更紧
- 证明与Dirac完全类似
- 下界不能再变化
充分条件3：若G1和G2是同一个点集V的两个闭图，则G=G1∩G2是闭图
- 定义：若对d(u)+d(v)≥n的任意一对点和v都是相邻的，则称G是闭图
- 证明：对任意的w∈V，有dG(w)≤dG1(w)，dG(w)≤dG2(w)，所以由dG(u)+dG(v)≥n可得，dG1(u)+dG1(v)≥n，dG2(u)+dG2(v)≥n，由G1和G2是闭图，u和v在G1和G2中都邻接，所以u和v在G1和G2中都相邻，故u和v在G中也相邻，从而G是闭图
- 闭图的交一定是闭图，但是并不一定
闭包
定义：若一个与G有相同点集的闭图G‘，使G包含于G'，且对异于G‘的任何图H，若有G包含于H包含于G’，则H不是闭图，则称G‘是G的闭包
- 也就是说，G的闭包是包含G的极小闭图，搁这扯犊子呢，定义一大堆
闭包的构造方法：将图中度数之和至少是图的顶点个数的非邻接顶点对递归的连接起来，知道不再由这样的顶点对存在为止。
- 即，使得度数之和≥n的顶点对都成为邻接的，从而成为闭图
一个图的闭包不一定是完全图
定理：任意图G的闭包是唯一的
- 证明：设G1和G2是G的闭包，则显然由G包含于G1，G包含于G2，可得G包含于G1交G2，由于由闭包定理，G1交G2是闭图，其包含于G1也包含于G2，如若它比G1G2还小，则G1G2就不能称之为闭包了，所以它们三者相等
充分条件4：G是n阶简单图，u和v是G中不相邻的顶点，且满足d(u)+d(v)≥n，则G是H图的充要条件是，G+uv为H图
- 和Ore定理有点像，但是又不完全一样，忽略了任意的uv
- 证明：必要性：若G是H图，则显然G+uv也是H图。充分性：设G+uv是H图，C是一个H圈，如果C不含边uv，则G中本来就含有H圈，则得证，如果圈C中有uv边，设C=uvv3v4...vnu，令G1=G+uv，则dG1(u)=dG(u)+1,dG1(v)=dG(v)+1，所以dG1(u)+dG1(v)=dG(u)+dG(v)+2≥n+2，一定存在i(3≤i≤n-1)使得u与vi相邻，v与vi+1相邻，若不存在这样的i，因为v3,v4...,vn-1中有dG1(u)-2个点u相邻，则v4,v5..vn就有dG1(u)-2个点不能与v相邻，从而dG1(v)≤(n-1)-(dG1(u)-2)=n+1-dG1(u)，这与dG(u)+dG(v)+2≥n+2矛盾，所以一定存在i(3≤i≤n-1)使得u与vi相邻，v与vi+1相邻，从而，G中存在不经过uv的H圈C1=uvivi-1...v3vi+1vi+2...vnu，所以G是H图
充分条件5：Bondy定理，一个简单图G是H图，当且仅当它的闭包是H图
- 证明：若G的闭包等于G，结论显然成立，若G的闭包和G不同，设ei是为了构造G的闭包而依次添加的所有边，G是H图当且仅当G+e1是H图，G+e1是H图当且仅当G+e1+e2是H图，如此反复下去，可以得到定理结论
推论：设G是n≥3的简单图，若G的闭包是完全图，则G是H图
- 显然呀，完全图一定是H图，闭包是H图，则一定是H图
推论：G是n≥3的简单图，若G中每个点的度d(v)≥n/2，则G是H图
- dirac定理，废话···
推论：G是n≥3的简单图，若G中任何两个不邻接的点u和v均有d(u)+d(v)≥n，则G是H图
- 就是Ore定理
充分条件6：度序列判定法，设简单图G的度序列是(d1,d2...dn)，d1≤...dn，且n≥3，若对任意的k<n/2，或有dk>k，或有dn-k≥n-k，则G是H图
- 也就是对于小于n/2的k，满足两个条件中的一个就可以
- 这个太麻烦了，不用证明
例题：若G是度序列(d1,d2,...dn)的非平凡简单图，且满足d1≤d2≤...≤dn，证明：弱不存在小于(n+1)/2的正整数m，使得：dm<m且dn-m+1<n-m，则G有H路
- 证明：在G外加一个新点v，把它和G的所有顶点连接得图G1，G1度序列(d1+1,d2+1,...dn+1,n)，因为不存在····，由度序列判定定理知G1是H图，所以去掉点v，显然G有H路
补充：有割点的图不一定是非哈密尔顿图：注意这里是图，而非简单图，若是简单图成立，而图的话，可以是哈密尔顿图加一个自环，即为反例
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