DTOJ #5328 找苹果

题目

L 弟娃儿家里种了一棵苹果树，总共有 n n n 个结点，由 ( n − 1 ) \left(n-1\right) (n−1) 条边连接，每个结点上结有 a i a_i ai 个苹果，每个苹果都不相同。有一天他突发奇想，决定爬上去玩。他想在苹果树上找到一条环路，这样他就可以在这条环路上一直滑行，直到他父亲来喊他。然而众所周知，树上是没有环的，所以 L 弟娃儿的愿望根本无法实现，但 L 弟娃儿哪是一般人啊，他得知真相后十分愤怒，决定强行选择两个不同的苹果，在他们所属的结点上连上一条边，这样就会有环路了。L 弟娃儿于是得意的开始爬树，爬到某一个顶点后，他使用了他的神力，然而他发现，形成的这个环路并没有包含他当前所在的这个结点，他又没有更多的力气爬到另外一个环路上去了，于是他只好另外选择两个苹果，直到他自己所在的结点处在一个环路中。

L 弟娃儿觉得这样太累了，他想知道能使他当前所属结点被包含在环路中的选择苹果的方式有多少种，希望你能帮帮他。由于答案可能很大，你只需要输出答案对 998244353 998244353 998244353 取模的结果。（注意，选择的两个苹果是无序的）当然 L 弟娃儿家的苹果树也不是一般的苹果树，他在疯狂生长，同时 L 弟娃儿也在疯狂游走于树上，所以他会向你提出很多次问题。

数据范围

对于所有测试点，满足 1 ≤ n , m ≤ 5 × 1 0 5 1\le n,m\le5\times10^5 1≤n,m≤5×105， 0 ≤ a i , a < 998244353 0\le a_i,a<998244353 0≤ai,a<998244353， 1 ≤ x , y ≤ n 1\le x,y\le n 1≤x,y≤n。

对于前 20 % 20\% 20% 的数据， n , m ≤ 1 0 3 n,m\le10^3 n,m≤103；

另有 20 % 20\% 20% 的数据， n , m ≤ 1 0 5 n,m\le10^5 n,m≤105；

另有 15 % 15\% 15% 的数据，苹果树是一个 1 1 1 结点为其中一个端点的链；

另有 15 % 15\% 15% 的数据，苹果树除 1 1 1 以外的所有结点与 1 1 1 结点相连。

题解

考虑用所有的苹果对的数量减去不合法的苹果对的数量。
即 n × ( n − 1 ) − ∑ j s i z [ j ] × ( s i z [ j ] − 1 ) 2 \frac {n \times (n-1) - \sum_{j} siz[j] \times (siz[j]-1)}{2} 2n×(n−1)−∑jsiz[j]×(siz[j]−1), 所以问题就转化为怎么动态维护各个子树的平方和。（ s i z [ j ] × ( s i z [ j ] − 1 ) = s i z [ j ] 2 − s i z [ j ] siz[j] \times (siz[j]-1)=siz[j]^2-siz[j] siz[j]×(siz[j]−1)=siz[j]2−siz[j]，而 s i z [ j ] siz[j] siz[j]的和可以随便维护）。
所以考虑到树剖：
对于一个点，用树状数组直接求出他的重儿子的子树大小，然后轻儿子的子树我们暴力求：
就是维护一个点的轻儿子的子树大小的平方和。先初始化求出最开始的平方和。
然后对于一个修改操作，只需要往重链头跳，设修改的点 x x x 所在的重链头为 t o p [ x ] top[x] top[x]，所以我们只需要修改 f a [ t o p [ x ] ] fa[top[x]] fa[top[x]] 的轻儿子子树大小平方和即可（ f a [ t o p [ x ] ] fa[top[x]] fa[top[x]] 与 t o p [ x ] top[x] top[x] 之间是轻边）。因为修改大小需要用到 s i z [ t o p [ x ] ] siz[top[x]] siz[top[x]]，所以我们只需要同时修改重链头的 s i z siz siz 值即可，这样就能直接调用，不用在 l o g log log 树状数组查一遍 s i z siz siz 了。
于是便做完了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=5e5+10;
const int P=998244353;
const ll Inv=499122177;
inline ll read(){ll k=0,f=1;char c;while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9')k=k*10+c-'0',c=getchar();return k*f;
}
int n,m,son[N],siz[N],a[N],l[N],r[N],tot_eula,f[N],top[N];
int tot,ver[N*2],fst[N],nxt[N*2];
ll siz_a[N],c[N],S,s_A[N];
inline void add(int x,int y){ver[++tot]=y;nxt[tot]=fst[x];fst[x]=tot;}
void dfs_1(int x,int fa){siz[x]=1;siz_a[x]=a[x];l[x]=++tot_eula;int k=0;for(int i=fst[x];i;i=nxt[i]){int y=ver[i];if(y==fa)continue;f[y]=x;dfs_1(y,x);siz_a[x]=(siz_a[x]+siz_a[y])%P;siz[x]+=siz[y];if(siz[y]>siz[k])k=y;}son[x]=k;r[x]=tot_eula;
}
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
inline void insert(int x,ll d){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))c[i]=(c[i]+d+P)%P;
}
inline ll ask(int x){ll s=0;for(int i=x;i;i-=lowbit(i))s=(s+c[i])%P;return s;
}
void dfs_2(int x,int fa){for(int i=fst[x];i;i=nxt[i]){int y=ver[i];if(y==fa)continue;if(son[x]==y)top[y]=top[x];else s_A[x]=(s_A[x]+siz_a[y]*siz_a[y]%P)%P;dfs_2(y,x);}
}
void prework(){for(int i=1;i<=n;++i)top[i]=i;f[1]=0;dfs_2(1,0);
}
int main(){n=read();m=read();for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read(),S=(S+a[i])%P;for(int i=1;i<n;++i){int x=read(),y=read();add(x,y);add(y,x);}dfs_1(1,0);for(int i=1;i<=n;++i)insert(l[i],a[i]);prework();while(m--){int op=read(),x=read();if(op==1){ll A=read();insert(l[x],A);a[x]=(a[x]+A+P)%P;S=(S+A+P)%P;while(x!=1&&x>0){int fx=f[top[x]];         if(fx)s_A[fx]=(s_A[fx]+P+P+P+2*A*siz_a[top[x]]%P+A*A%P)%P;siz_a[top[x]]=(A+siz_a[top[x]])%P;x=fx;}}else{ll S_=(ask(r[x])-ask(l[x]-1)+P)%P,s_=0;if(son[x])s_=(ask(r[son[x]])-ask(l[son[x]]-1)+P)%P;s_=s_*s_%P;ll sum_A=(S*(S-1+P)%P-(s_A[x]+s_-(S_-a[x]+P)%P+(S-S_)*(S-S_-1+P)%P+P+P)%P+P+P)%P;printf("%lld\n",sum_A*Inv%P);}}return 0;
}

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