01背包

1、dp数组以及下标含义

dp[i][j]标识从下标为[0,1]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少？

2、确定递推公式

dp[i][j]可以由两个方向推出：

1、dp[i-1][j]，背包容量为j，里面不放入物品i的最大价值，此时dp[i][j] = dp[i-1][j]

2、dp[i-1][i-weight[i]]推出，背包容量为i-weight[i]的时候此时dp[i][j] = dp[i-1][j-weight[i]]+valuep[i];

所以递推公式为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);

3、dp数组如何初始化

关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合。

如果背包容量j为0的话,dp[i][0]无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

由递推可知i是由i-1推出来的，那么i为0时一定要初始化。

dp[0][j]存放编号为0的物品时，各个容量的背包能存放的最大价值：

for(int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--)
{dp[0][j] = dp[0][j-weight[0]] + value[0];
}

这里需要注意，初始化是倒序遍历。

dp[0][j]表示容量为j的背包存放物品0时候的最大价值。由于每个物品只有1个，如果dp[0][j]必须为初值，正序遍历，物品0会被重复加入多次。

dp[i][j]在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数，那么下标初始化为0.如果价值里面有负数，初始化为负无穷。只要保证dp数组在递推公式的过程中取最大的价值，而不是被初始值覆盖。

所以dp数组初始化如下：

vector<vector<int>> dp(weight.size() + 1,vector<int>(bagWeight + 1,0));
for(int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--)
{dp[0][j] = dp[0][j-weight[0]] + value[0];
}

4、确定遍历顺序

有两个遍历维度：物品与背包重量，先遍历物品更好理解。

for(int i = 1; i < weight.size(); i++) //遍历物品
{for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) //遍历背包容量    {   if(j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j];    //else  dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+values[i])}
}

滚动数组优化

1、确定dp数组的定义

dp[j]：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

2、一维dp递推公式

dp[j]可以通过dp[j-weight[i]]推导，其表示容量为j-weight[i]的背包所背的最大价值。

dp[j-weight[i]]+value[i]表示容量为j-物品i重量的背包加上物品i的价值。（即容量为j的背包放入物品i之后的价值）此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j]，一个是取dp[j-weight[i]]+value[i].

所以递推公式为：

dp[j] = max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);

3、初始化

假设物品价值都是大于0的，dp数组初始化的时候都初始化为0

4、确定遍历顺序

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) //遍历物品
{for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--)   //遍历背包容量{dp[j] = max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);}
}

二维遍历时，背包容量从小到大，一维遍历，背包容量从大到小。

这是因为倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次。二维dp，dp[i][j]是通过上一层dp[i-1][j]计算得到的，所以本层的dp[i][j]并不会产生覆盖。

一维01背包测试代码：

void test_one_dim_01bag()
{vector<int> weight = {1,3,4};vector<int> value = {15,20,30};int bagWeight = 4;//初始化vector<int> dp(bagWeight+1,0);for(int i = 0; i < weight[i]; i++)    //遍历物品{for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) //遍历背包容量{dp[j] = max(dp[j],dp[j-weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[bagWeight] << endl;
}

416. 分割等和子集

求集合里是否出现总和为sum/2的子集。

背包体积为sum/2

背包放入的商品的重量为元素的数值，价值也为元素的数值

背包如何正好被装满，说明找到了总和为sum/2的子集

背包中每个元素都是不可重复放入的。

1、确定dp数组以及下标含义

dp[j]表示容量为j的背包，所背物品价值可以最大为dp[j]。

dp[j]表示背包总容量为j，最大可以凑成j的子集总和为dp[j]。

2、确定递推公式

dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]] + nums[i]);

3、初始化

vector<int> dp(target+1,0);   //target为背包容量

4、确定遍历顺序

for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
{for(int j = target; j >= nums[i]; j--){dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);}
}

AC代码：

class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = 0;for(int num : nums){sum += num;}if(sum % 2 != 0) return false;int target = sum / 2;vector<int> dp(target+1,0);for(int i = 0; i < nums.size(); i++){for(int j = target; j >= nums[i]; j--){dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);if(dp[j] == target) return true;}}if(dp[target] == target) return true;else return false;}
};

1049. 最后一块石头的重量 II

将石头尽量分成两堆相同重量，然后相撞。分成两堆的思路与上一题一致。

class Solution {
public:int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {int sum = 0;for(int stone : stones){sum += stone;}int target = sum / 2;//dp[target]，容量为target的背包最多能背多重的石头vector<int> dp(target+1,0);for(int i = 0; i < stones.size(); i++){for(int j = target; j >= stones[i]; j--){dp[j] = max(dp[j],dp[j-stones[i]] + stones[i]);}}return sum - dp[target]*2;}
};

494. 目标和

所有数字可以分为两堆，一堆符号为正，一堆符号为负。
pos + neg = S 且 pos - neg = sum
所以pos = (S+sum)/2,问题转化为集合nums中找出和为pos的组合。
此时问题就转化为，装满容量为pos背包，有几种方法。
这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。
本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。
1、确定dp数组以及下标
dp[j]表示，填满体积为j的背包，有dp[j]种方法。

2、确定递推公式
不考虑nums[i],填满容量为j-nums[i]的背包，有dp[j-nums[i]]种方法，
如果能搞到nums[i],则填满容量为j-nums[i]的背包，就有dp[j]+dp[j-nums[i]]种方法。

dp[j] += dp[j-nums[i]]

3、初始化dp数组
dp[0] = 1，装满容量为0的背包，有1种方法。其他dp[i]均设置为0，在不知道nums[i]的情况下，没有方法。

4、确定遍历顺序
nums外循环，j内循环倒序。

AC代码：

class Solution {
public:int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {int sum = 0;for(int num : nums)sum += num;//如果绝对值和比targetabs小，说明都用同一个符号也不能凑成if(sum < abs(target)) return 0;//如果不能完整的分成两组，那么说明没有方法if((target + sum) % 2 == 1) return 0;int bagWeight = (target + sum)/2;vector<int> dp(bagWeight+1,0);dp[0] = 1;for(int i = 0; i < nums.size(); i++){for(int j = bagWeight; j >= nums[i]; j--){dp[j] += dp[j-nums[i]];}}return dp[bagWeight];}
};

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